Nol logarifm operatori. Logarifmlar bilan qoidaning logarifmi dííí. O'zgarishlar bilan logarifmik virusni qanday o'zgartirish mumkin

Keling, logarifmlar bilan davom etaylik. Ushbu maqolada biz bu haqda gaplashamiz logarifmlarni hisoblash, butun jarayon deyiladi logarifm. Keling, uchrashuvlar uchun logarifmlarni hisoblashni ko'rib chiqaylik. Keling, bir ko'rib chiqaylik, go'yo biz ularning kuchlarining logarifmlarining qiymatlarini bilamiz. Keyingi qadam, boshqa logarifmlarning qiymatlarini belgilash orqali logarifmlarni hisoblashdir. Nareshti, logarifmlar jadvallarini qanday hisoblashni o'rganing. Butun nazariyani hisobot qarorlari bilan qo'llash mumkin.

Yon tomonda navigatsiya.

Uchrashuvlar uchun logarifmlarni hisoblash

Eng oddiy vipadkalarda siz shvidkoni tugatishingiz va osongina vikonati qilishingiz mumkin qiymat uchun logarifmni bilish. Keling, butun jarayon qanday ko'rinishini ko'rib chiqaylik.

Bu a c ni ko'rganda b soni ma'lumotlaridagi polagaê ning mohiyati, yulduzlar c ê sonining logarifmiga logarifmning qiymatlariga tayinlangan. Tobto, tengliklarni vídpodaê oldinga nayza tayinlash uchun znahodzhennya logarifm: log a b = log a a c = c.

Bundan buyon, qiymat uchun logarifmni hisoblash shunday c sonining qiymatiga tushiriladi, shunday qilib a c \u003d b va c ning o'zi logarifmning qiymati hisoblanadi.

Vraxovuchi ínformatsiyu í oldingi paragraflarda, agar logarifm belgisi ostidagi raqam logarifmning o'nlik qadami bilan berilgan bo'lsa, unda nima uchun logarifm yaxshiroq ekanligini aniq ayta olasiz - qadam ko'proq indikatorga o'xshaydi. Biz ilovalarning yechimini ko'rsatamiz.

dumba.

Log 2 2 −3 ni toping, shuningdek e 5.3 sonining natural logarifmini hisoblang.

Yechim.

Logarifmning ta'rifi darhol log 2 2 -3 = -3 ekanligini aytishga imkon beradi. Albatta, logarifm belgisi ostidagi raqam yanada rivojlangan, 2-3 qadam.

Xuddi shunday, biz boshqa logarifmni bilamiz: lne 5.3 = 5.3.

Taklif:

log 2 2 -3 = -3 va lne 5,3 =5,3.

Logarifm belgisi ostidagi b soni logarifm asosining qadamlari sifatida o'rnatilmaganligi sababli, b raqamini c sifatida ko'rsatish mumkinmi, deb hurmat bilan hayron bo'lish kerak. Ko'pincha bunday namoyon bo'ladi, ayniqsa logarifm belgisi ostidagi raqam 1, 2 yoki 3, ... bosqichlarida to'g'ri bo'lsa.

dumba.

log 5 25 i logarifmlarini sanab o'ting.

Yechim.

25 = 5 2 birinchi logarifmni hisoblash imkonini bermasligini eslash oson emas: log 5 25 = log 5 5 2 = 2.

Biz boshqa logarifmni hisoblashga o'tamiz. Raqam 7 raqami darajasida ifodalanishi mumkin: (iste'molchini hayron qilish uchun). Otzhe, .

Keling, bunday ko'rinishning uchinchi logarifmini qayta yozamiz. Endi siz suhbatlashishingiz mumkin, sho , yulduzlar to'plangan, scho . Ota, logarifm uchun .

Qisqacha aytganda, yechimni quyidagicha yozish mumkin: .

Taklif:

log 5 25 = 2, і .

Agar logarifm belgisi ostida katta natural son qo'shish zarur bo'lsa, uni oddiy ko'paytirgichlarga ajratish mumkin emas. Tse ko'pincha logarifmni almashtirib, qo'shiq dunyosi oldida bunday raqamni ochishga yordam beradi, so'ngra uchrashuvlar uchun logarifmni hisoblab chiqadi.

dumba.

Logarifmning qiymatini toping.

Yechim.

Logarifmlarning kuchi darhol logarifmlarning qiymatini ko'rsatishga imkon beradi. Bunday kuchlardan oldin birlik logarifmining kuchi sonning logarifmining kuchi deb hisoblanadi, bu yaxshi asosdir: log 1 1 = log a a 0 = 0 í log a a = log a a 1 = 1. Ya'ni, agar logarifm belgisi ostida 1 raqami topilsa yoki a soni logarifmaga teng bo'lsa, u holda bu hollarda logarifmalar 0 va 1 ga teng bo'ladi.

dumba.

Nima uchun logarifmlar va lg10 teng?

Yechim.

Oskylki, keyin biz ko'rib logarifm tayinlash dan .

Yana bir misolda logarifma belgisi ostidagi 10 soni uning asosidan olingan, shuning uchun o'n dovnyu 1 ning o'ninchi logarifmi, keyin lg10=lg10 1 =1.

Taklif:

І log10=1.

Shunisi e'tiborga loyiqki, topshiriqlar uchun logarifmlarni hisoblash (oldingi bandda olganimizdek) log a a p =p paritetining o'zgarishi asosida bo'lishi mumkin, chunki u logarifmalarning vakolatlaridan biridir.

Amalda, agar logarifm belgisi ostidagi raqam va logarifm asosi o'nlik sonning qadami shaklida osongina ko'rinsa, formulani qo'lda burish oson. , bu logarifmlarning vakolatlaridan birini ko'rsatadi. Keling, g'olib formulani ko'rsatadigan logarifm bilimlari misolini ko'rib chiqaylik.

dumba.

Logarifmni hisoblang.

Yechim.

Taklif:

.

Logarifmlarning kuchini taxmin qilmaslik ham hisoblash uchun hisoblanadi, ammo biz bu haqda keyingi paragraflarda gaplashamiz.

Logarifmlarni boshqa logarifmlar orqali bilish

Ushbu bandning ma'lumotlari logarifmlarning hisoblash soati uchun kuchini aniqlash mavzusini davom ettiradi. Ammo bu erda asosiy farq shundan iboratki, oxirgi logarifmni ikkinchi logarifm orqali ko'chirish uchun logarifmlarning vakolatlari g'alaba qozonadi, uning ma'nosi ko'rinadi. Keling, tushuntiruvchi misol keltiraylik. Faraz qilaylik, log 2 3 ≈ 1,584963 log 2 6 ni ham bilishimiz mumkin, logarifmning qo‘shimcha quvvati uchun biroz o‘zgartirgandan keyin: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

O'tkir dumba bilan biz yaratilish logarifmi kuchini zabt etishimiz kifoya edi. Biroq, vazifalar orqali chiqish logarifmini hisoblash uchun ko'pincha logarifmlar vakolatlarining kengroq arsenalidan foydalanish kerak bo'ladi.

dumba.

27 ning logarifmini 60 ga asoslanib hisoblang, chunki log 60 2=a va log 60 5=b ko‘rinadi.

Yechim.

Otzhe, biz log 60 27 bilishimiz kerak. 27=3 3 va oxirgi logarifm, qadam logarifmining kuchi tufayli, 3 log 60 3 sifatida qayta yozilishi mumkinligini eslash oson emas.

Endi berilgan logarifmlar orqali log 60 3 ni qanday ko'rish mumkinligi qiziq. Ko'proq fundamental bo'lgan son logarifmining kuchi 60 60 = 1 tenglik jurnalini yozishga imkon beradi. Qisqa tomonda log 60 60 = log60 (2 2 3 5) = log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . shunday tarzda, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Otzhe, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Chiqish logarifmini hisoblaymiz: log 60 27 = 3 log 60 3 = 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Taklif:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Okremo varto formulaning ma'nosi va shakl logarifmining yangi bazasiga o'tish haqida gapiradi. . Von har qanday asosli logarifmalardan ma'lum bir asosga ega bo'lgan logarifmalarga o'tishga imkon beradi, ularning ma'nosi yoki ularning vodshkati ehtimoli ko'rinadi. O'tish formulasidan keyin chiqish logarifmasidan foydalanib, 2, e yoki 10 podstansiyalaridan birining logarifmasiga o'ting, shunda siz ularning qiymatlarini birinchi darajadagi aniqlik bilan hisoblash imkonini beruvchi logarifmlar jadvallaridan foydalanishingiz mumkin. Bu vaqtda biz sizga qanday qo'rqish kerakligini ko'rsata olamiz.

Logarifmlar jadvallari, ularning soni

Taxminiy hisob-kitoblar uchun logarifmlarning qiymatini olish mumkin logarifmlar jadvallari. Ko'pincha, bazadagi logarifmlar jadvali 2 ta natural logarifmalar jadvali va o'nlab logarifmlar jadvalidir. O'ninchi tizimda ishlaganda, raqamlar o'nga asoslangan logarifmlar jadvali bilan qo'lda o'rnatiladi. Z. logarifmlarning ma'nosini tushunishga yordam beradi.

Berilgan jadval sizga 1000 dan 9999 gacha bo'lgan raqamlarning o'ninchi logarifmlarining qiymatini (Komidan keyin uchta belgi bilan) o'ndan mingdan birgacha aniqlik bilan bilish imkonini beradi. O'nlab logarifmlarning qo'shimcha jadvali uchun logarifmning ahamiyati printsipi ma'lum bir dastur bo'yicha aniqlanishi mumkin. Biz lg1.256 ni bilamiz.

O'nlab logarifmlar jadvalining chap ustunida biz 1,256 raqamining birinchi ikkita raqamini bilamiz, shuning uchun biz 1,2 ni bilamiz (aniqlik uchun u ko'k rangda aylanada joylashgan). 1.256 raqamining uchinchi raqami (5-raqam) pastki qatordagi zlivaning birinchi yoki qolgan qatorida ma'lum (butun raqam qizil chiziq bilan o'ralgan). 1.256 chiqish raqamining to'rtinchi raqami (6-raqam) gorizontal chiziqda o'ng qo'lning birinchi yoki qolgan qatorida ma'lum (butun raqam yashil chiziq bilan o'ralgan). Endi biz logarifmlar jadvallarining o'rtasida joylashgan raqamlarni tayinlangan qator va tayinlangan qatorlar qatorida bilamiz (raqam raqamlari to'q sariq rangda ko'rinadi). Raqamlar qiymatlarining yig'indisi o'ninchi logarifm qiymatini Komi, tobto, log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Qanday qilib g'alaba qozongan jadval bilan raqamlarning o'nlab logarifmalarining qiymatlarini bilish mumkin, qanday qilib Komidan keyin uchtadan ortiq raqam haqida o'ylash mumkin, shuningdek, 1 dan 9,999 gacha? Demak mumkin. Dumba ustida qanday kurashish kerakligi ko'rsatiladi.

Biz lg102.76332 ni hisoblaymiz. Xabarni yozish kerak standart ko'rinish soni: 102.76332 = 1.0276332 10 2 . Bu mantisdan keyin Komidan keyin uchinchi kasrga yaxlitlash mumkin 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, buning uchun o'ninchi logarifm ayirib tashlangan sonning logarifmiga taxminan teng bo'lsa, u holda lg102,76332≈lg1,028·10 2 ni qabul qilsak. Endi biz logarifmning kuchini to'xtatamiz: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Nareshti, biz o'ninchi logarifmalar lg1.028 0.0086 +0.0034 = 0.012 jadvaliga ko'ra lg1.028 logarifmining qiymatini bilamiz. Natijada, logarifmni hisoblashning butun jarayoni quyidagicha ko'rinadi: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Nasamkinets varto o'nlab logarifmlarning g'alaba qozongan jadvalini har qanday logarifm qiymatiga yaqin hisoblash mumkinligini ko'rsatadi. Kim uchun qo'shimcha formula uchun o'nlab logarifmlarga o'tish, ularning qiymatlarini jadvallardan bilish va etishmayotgan hisoblar sonini bilish kifoya.

Misol uchun, log 2 3 ni hisoblashimiz mumkin. Yangi bazaga o'tish uchun formuladan keyin logarifm bo'lishi mumkin. O'ninchi logarifmlar jadvalidan lg3 ≈ 0,4771 va lg2 ≈ 0,3010 ahamiyatlidir. shunday tarzda, .

Adabiyotlar ro'yxati.

• Kolmogorov A.M., Abramov A.M., Dudnitsin Yu.P. Bu algebra va kob tahlili: 10-11 sinf yoritish moslamalari uchun usta.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika kollejlari talabalari uchun qo'llanma).

Pochnemo zí birning logarifmi kuchi. Quyidagi formula quyidagicha: birning logarifmi nolga teng, tobto, log a 1=0 a>0, a≠1 uchun. Tasdiqlash uchun katlama kerak emas: a>0 va a≠1 yuqori onglarni qanoatlantiradigan har qanday a uchun parchalar a 0 =1 bo'lsa, log a 1=0 ning tengligi tayinlangan logarifmadan darhol ko'rinadi.

Tekshirilayotgan sig'imga to'xtalib o'tamiz: log 3 1=0 , lg1=0 i .

Keling, hujumkor kuchga o'tamiz: sonning logarifmi, teng asoslash, eskilar, tobto, log a a=1 a>0, a≠1 uchun. To'g'ri, har qanday a uchun a 1 =a ni parchalaydi, keyin log a a=1 ning logarifmi tayinlanadi.

vikoristannya ts_êí̈ kuch logarifmlari ê parite log 5 5 = 1, log 5,6 5,6 í lne = 1 ko'tlari.

Masalan, log 2 2 7 \u003d 7, lg10 -4 \u003d -4 i .

Ikki musbat sonning ko‘paytmasiga logarifm x va y log a (x y) = log a x + log a y, a>0, a≠1. Biz logarifmning kuchini yaratishga keltiramiz. Qadamning kuchi tufayli a log a x + log a y = log a x log a y, va asosiy logarifmik totonizmga kelsak, a log a x = x í a log a y = y, keyin log a x a log a y = x y bo'ladi. Bu tartibda, a log a x + log a y = x · y, logarifmni tayinlash uchun belgilar juda teng bo'lib, uni ko'tarish kerak.

Daromadning logarifmiga kuch qoidasini qo‘llash mumkinligini ko‘rsatamiz: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 .

Yaratish logarifmining kuchi x 1, x 2, ..., x n yak musbat sonlarning yakuniy n sonini oshirish uchun ishlatilishi mumkin. log a (x 1 x 2 ... x n) = log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Tsya rashk muammosiz olib keldi.

Masalan, yaratilishning natural logarifmini 4 , e , i sonlarining uchta natural logarifmi yigʻindisi bilan almashtirish mumkin.

Shaxsiy ikkita musbat sonning logarifmi x va y Xususiy logarifmning kuchi shakl formulasiga bog'liq, de a>0, a≠1, x í y musbat sonlar. Formulaning adolati formula kabi yaratilish logarifmiga keltiriladi: oskalki , keyin logarifmni qanday aniqlash mumkin.

Biz logarifm kuchining g'alaba qozonish nuqtasini yo'naltiramiz: .

Ko'chirish mumkin kuch logarifmi qadami. Bosqichning logarifmi asosiy qadam modulining logarifmiga qadam ko'rsatkichini qo'shishdan ko'ra ko'proq. Qadam logarifmining kuchini formula ko'rinishida yozamiz: log a b p = log a | b |, de a>0, a≠1, b va p shunday raqamlar, qaysi qadamlar b p maê sens i b p >0 .

Boshqa tomondan, biz kuchni ijobiy b ga keltiramiz. Asosan, logarifmik identifikatsiya bizga b raqamini log a b keyin b p = (a log a b) p sifatida ochishga imkon beradi va qadamning kuchi tufayli otrimane viraz ko'proq a p · log a b . Shunday qilib, biz b p = a p · log a b tengligiga kelamiz, buning uchun log a b p = p · log a b bo'lishi uchun logarifmni moslashimiz mumkin.

Mening kuchimni salbiyga olib kelish uchun yo'qolgan b. Bu erda manfiy b bilan log a b p bosqichning juftlashgan ko'rsatkichlari bilan kamroq mantiqiy ekanligi hurmatga sazovordir (b p bosqichining qiymatini masshtablash noldan katta bo'lishi mumkin, boshqacha tarzda logarifm muhim emas), lekin boshqa yo'l bilan b p = |b| p. Todi b p = | b | p = (a log a | b |) p = a p · log a | b |, Yulduzlar log a b p = p log a | b | .

Masalan, i ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

Oldingi hokimiyat qichqirmoqda logarifmning ildizdan olingan kuchi: n-qadam ildizining logarifmi virus ildizining logarifmi bo'yicha 1/n kasrga ko'proq rivojlangan, tobto, , bu yerda a>0, a≠1,n - natural son, birdan katta, b>0.

Isbot har qanday musbat b va logarifm qadamining kuchiga taalluqli bo'lganidek, tenglikka (ajoyib) asoslanadi: .

Vikoristannya tsíêíy hukmronligining o'qi: .

Endi qila olamiz yangi asosiy logarifmaga o'tish formulasi aql . Kim uchun adolatni tenglikka keltirish kifoya log c b = log a b log c a. Asosan, logarifmik identifikatsiya bizga b raqamini log a b yoki log c b = log c a log a b sifatida ko'rsatishga imkon beradi. Qadamning logarifmida quvvat tezligini yo'qotdi: log ca log ab = log a b log c a. Shunday qilib log c b = log a b log ca tengligi keltirildi va shuning uchun o'tish formulasi logarifmning yangi bazasiga keltirildi.

Biz logarifmlarning stosuvannya tsíêíy quvvatiga bir nechta misollarni ko'rsatamiz: i .

Yangi asosga o'tish formulasi logarifmlar bilan ishlashga o'tishga imkon beradi, shunda siz "qo'lda" asos yaratishingiz mumkin. Misol uchun, yordam bilan siz natural yoki o'ninchi logarifmlarga o'tishingiz mumkin, shunda siz logarifmalar jadvali logarifmining qiymatini hisoblashingiz mumkin. Logarifmning yangi bazasiga o'tish formulasi, agar siz boshqa asoslar bilan boshqa logarifmlarning qiymatlarini bilsangiz, ma'lum usullar bilan logarifmning qiymatini bilishga imkon beradi.

Ko'pincha formuladagi o'zgarishlar sonining o'zgarishi va c=b da logarifmning yangi asosiga o'tish mavjud. . Bu log ab va log ba – ekanligini ko'rish mumkin. Masalan, .

Formula ham ko'pincha g'alaba qozonadi logarifmlarning ma'lum qiymati bilan yak zruchna. Ularning so'zlarini tasdiqlash uchun logarifm qiymatini hisoblashda qanday yordam berish kerakligi ko'rsatilgan. Maymo . Formulani isbotlash uchun a logarifmi uchun yangi asosga o'tish formulasini tezlashtirish kifoya: .

Logarifmlarning kuchini keltirish uchun yo'qolgan.

Har qanday musbat sonlar uchun b1 í b2, b1 ekanligini ko'rsatamiz log a b 2, a>1 uchun esa log a b 1 notekisligi

Nareshti, logarifmlarning qolgan kuchini olib kelish uchun etarli emas edi. Birinchi qismning isboti bilan birgalikda a 1 >1, a 2 >1 va 1 ekanligini isbotlashimiz mumkin. 1 rost log a 1 b> log a 2 b . Logarifmlarning kuchi haqidagi boshqa tasdiqlar ham xuddi shunday printsipga keltiriladi.

Nomaqbul narsani ko'rish usuli bilan tezlashtirish. Faraz qilaylik, 1 >1 uchun a 2 >1 í a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b rost. Logarifmlarning kuchi va notekisligi uchun siz qayta yozishingiz mumkin і ravshan va ulardan log b a 1 ≤ log b a 2 i log b a 1 ≥ log b a 2 yaqqol ko‘rinib turibdi. Keyin, bir xil poydevorga ega bo'lgan qadamlarning kuchi uchun, tenglik aybdor bo'lishi kerak b log b a 1 b log b a 2 í b log b a 1 b log b a 2, keyin, a 1 a 2. Shunday qilib, mi dyyshli aqlning o'ta keskinligi a 1

Adabiyotlar ro'yxati.

• Kolmogorov A.M., Abramov A.M., Dudnitsin Yu.P. Bu algebra va kob tahlili: 10-11 sinf yoritish moslamalari uchun usta.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika kollejlari talabalari uchun qo'llanma).

Bugun biz gaplashamiz logarifm formulalari va ayollar ko'rsatmoqda yechimni qo'llang.

O'z-o'zidan, arafasida, qarorning shablonlari logarifmlarning asosiy kuchiga mos keladi. Birinchidan, olcha uchun logarifmlarning barcha zastosovuvat formulalari uchun biz siz uchun barcha kuchning boshlanishini taxmin qilamiz:

Endi bu formulalar (kuchlar) asosida ko'rsatilgan logarifmlarning virishennyasini qo'llang.

Quyidagi formulalarning logarifmlarini kengaytirishni qo'llang.

Logarifm a o'rnini bosuvchi musbat b soni (log a b ko'rsatilgan) - bu qadamning ko'rsatkichi, u holda b > 0, a > 0 va 1 bilan b ni olish uchun a ni bilish kerak.

Bu a x = b ga ekvivalent bo'lgan a b = x logning tayinlanishiga mos keladi, bu log a a x = x.

logarifmlar, Qo'llash:

log 28 = 3, chunki 2 3 = 8

log 7 49 = 2 chunki 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, chunki 5 -1 = 1/5

O'nlik logarifm- yakuniy logarifm, uning asosida 10 ma'lum.U lg sifatida ko'rsatilgan.

log 10100 = 2 chunki 10 2 = 100

tabiiy logarifm- shuningdek, eng katta logarifm logarifmdir, lekin e bazasi bilan (e \u003d 2.71828 ... - irratsional son). U ln sifatida belgilangan.

Logarifmlarning kuchi uchun formulalarni yodda tutish kerak, shuning uchun logarifmlarni, logarifmik tengliklarni va tartibsizliklarni parchalash vaqtidagi badbo'y hidga muhtojmiz. Keling, dumba ustidagi teri formulasini qaytadan sinab ko'raylik.

• Asosiy logarifmik umumiylik
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logarifmalar yig'indisini yaratish uchun logarifm.
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1 * 10) = log 3 81 = 4

• Chakana savdo logarifmlarining shaxsiy narxining logarifmi
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 / 9 log 5 2 = 9 log 5 50 - log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Logarifm sonining quvvat darajasi va logarifm asosi

  Jurnal qadam ko'rsatkichi log a b m = mlog a b

  Asosiy logarifmning qadam ko'rsatkichi log a n b \u003d 1 / n * log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  agar m = n bo'lsa, log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Yangi poydevorga o'tish
  log a b = log c b / log c a,

  agar c = b, log b b = 1 bo'lsa

  keyin log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Baxit singari, logarifmlar formulalari ham berilganidek buzilmaydi. Endi logarifmlarni ishlab chiqish misollarini ko'rib chiqsak, biz logarifmik tengliklarga o'tishimiz mumkin. Logarifmik tengliklarning hosilasini qo'llang va hisobotni maqolada ko'rish mumkin: "". O'tkazib yuborma!

Agar siz ovqatni yoki biror narsani yo'qotgan bo'lsangiz, ularni maqolaga sharhlarda yozing.

Eslatma: vyrishili zdobuti ozviti osvytu ynshoy klass nauchannya chet elda yak varianti rozvitku podiy.

Hurmat markazida tsíêí̈ statti - logarifm. Bu erda biz logarifmni tayinlaymiz, go'yoki baholashni qabul qilamiz, logarifmlarni qo'llaymiz va keling, tabiiy o'nlab logarifmlar haqida gapiraylik. Keling, asosiy logarifmik umumiylikni ko'rib chiqaylik.

Yon tomonda navigatsiya.

Logarifmning ahamiyati

Vinicaê píd h vyvíshennya zavdannya logarifmini tushunish, agar qadamning berilgan qiymatlari va berilgan qadam uchun qadam ko'rsatkichini belgilash kerak bo'lsa, sensí zvorotnoí.

Qo'ng'iroq qilish uchun, "logarifm nima" deb so'rash vaqti keldi? Damo aniq tayinlangan.

Uchrashuv.

b sonining a asosidagi logarifmi, bu erda a>0, a≠1 í b>0 - natija b ni olishi uchun a raqamini chaqirish uchun zarur bo'lgan qadam ko'rsatkichi.

Ushbu bosqichda "logarifm" so'zini ishlatish juda muhim, uni ikki marta takrorlash mumkin: "qanday raqam" va "nima sababdan". Aks holda, shunchaki logarifm yo'qdek tuyuladi va ê faqat noto'g'ri asoslashning s sonining logarifmidir.

Darhol tanishtirildi logarifm: a ga asoslangan b sonining logarifmi log a b deb qabul qilinadi. E asosidagi b sonining logarifmi va 10 asosidagi logarifmi o'zining maxsus ma'nosiga ega bo'lishi mumkin lnb í lgb aniq, shuning uchun log e b emas, balki lnb í log 10 b emas, balki lgb yozing.

Endi siz ko'rsatishingiz mumkin: .
Va yozuvlar hech qanday ma'no yo'q, logarifm belgisi ostidagi birinchi í̈xdagi bo'laklar manfiy sonni, ikkinchisida - o'rnini bosuvchidagi manfiy sonni, uchinchisi - logarifm belgisi ostidagi manfiy sonni va birlikdagi manfiy sonni o'zgartiradi. asoslash.

Endi gaplashaylik logarifmlarni o'qish qoidalari. Kirish jurnali a b "a ga asoslangan b ning logarifmi" deb o'qiladi. Masalan, log 2 3 uchta asosning butun logarifmi 2 va beshning asosiy kvadrat ildizining ikki yoki uchdan ikki qismining butun logarifmidir. Elektron nomga asoslangan logarifm tabiiy logarifm va lnb yozuvi "b ning natural logarifmi" sifatida o'qiladi. Misol uchun, ln7 - ettitaning natural logarifmi, lekin biz uni pi ning natural logarifmi sifatida o'qishimiz mumkin. 10-asosdagi logarifm ham maxsus nomga ega - o'ninchi logarifm, va lgb yozuvi "b ning o'ninchi logarifmi" sifatida o'qiladi. Masalan, lg1 bittaning o'ninchi logarifmi, lg2.75 esa yetmish besh sentlik ikkita butun sonning o'ninchi logarifmidir.

Varto odatda a>0, a≠1 va b>0 onglarida zupinitsya bo'lib, ular uchun logarifm tayinlanadi. Tushunarli, yulduzlar almashinuvdan olingan. Zrobiti tse aql ekvivalentlik yordam berish uchun, unvon, go'yo logarifm bu oliy maqsadi chiqib o'rta screeching holda.

a≠1 dan boshlaylik. Dunyoda yolg'iz qolish yolg'iz qolishdan qimmatroq bo'lganligi sababli, muvozanat faqat b = 1 bilan adolatli bo'lishi mumkin, ammo qaysi log 1 bilan u haqiqiy sonning bir turi bo'lishi mumkin. Boylik qadriyatlarini yo'q qilish va a≠1 ni qabul qilish uchun.

Obgruntuemo dotsylnist aql a\u003e 0. a = 0 bo'lganda, logarifm logarifm qiymatiga b = 0 uchun mumkin bo'lganidan kamroq tengdir. Aletodi log 0 0 haqiqiy son bo'lishi mumkin, shuning uchun har qanday turdagi nol qadamining noli nolga teng. a≠0 qiymatining boylik qiymatidan xalos bo'laylik. Va a uchun<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Nareshti, umova b>0 viplivaê z nerívosti a>0 , oskolki va ijobiy asosga ega bo'lgan qadamning qiymati har doim ijobiy bo'ladi.

Ushbu paragrafning oxirida, aytaylik, tayinlangan logarifmning tovushi logarifmning qiymatini bir marta ko'rsatishga imkon beradi, agar siz logarifm belgisidan foydalansangiz ê qadamning qo'shiq bosqichi. Haqiqatan ham, logarifmni tayinlash sizga stverdzhuva, schoo b=a p imkonini beradi, keyin a o'rnini bosuvchi bo'yicha b sonining logarifmi ko'proq p . Demak, log a a p = p tengligi to'g'ri. Masalan, biz bilamizki, 2 3 \u003d 8, keyin log 2 8 \u003d 3. Biz ular haqida maqolada gaplashamiz

Raqamning logarifmi N stendda A indikator bosqichi deb ataladi X , yakkada qo'ng'iroq qilish kerak A , raqamni olish uchun N

O'ylab ko'ring
,
,

Logarifmdan foydalanganda biz buni ko'rishimiz mumkin
, keyin.
- tsya tengligi asosiy logarifmik umumiylikdir.

10-asosdagi logarifmlarga oʻnlik logarifmlari deyiladi. o'rinbosari
yozish
.

Logarifmlar asosida e tabiiy deb ataladi va belgilanadi
.

Logarifmlarning asosiy kuchlari.

Nima bo'lishidan qat'i nazar, birlikning logarifmini nol o'rniga qo'ying

Ko'paytirgichlar logarifmlarining umumiy yig'indisining logarifmi.

3) Chakana savdo logarifmlarining xususiy qiymatining logarifmi

Multiplikator
logarifmlardan o'rinbosarlarga o'tish moduli deb ataladi a logarifmlarga asoslanadi b .

2-5 kuchlarning yordami uchun ko'pincha logarifmlar ustidagi oddiy arifmetik diy natijasiga katlanadigan virusning logarifmini chaqirish kerak.

Masalan,

Logarifmning bunday o'zgarishlariga logarifmlar deyiladi. Logarifmlarning teskari o'zgarishlari potentsiallar deyiladi.

Bo'lim 2. Oliy matematika elementlari.

1. Orasida

Chegara funksiyasi
ê yakuniy raqam A, go'yo pragnenny xx 0 teri uchun oldindan belgilangan
, bunday raqam bor
, faqat qanday yak
, Bu
.

O'rtasida bo'lishi mumkin bo'lgan funksiya cheksiz kichik qiymat bilan yangisiga o'xshaydi:
, de -b.m.v., tobto.
.

dumba. Funktsiyani ko'rib chiqaylik
.

Jismoniy mashqlar paytida
, funktsiyasi y pragne nolga:

1.1. Chegaralar haqidagi asosiy teoremalar.

Qadimgi qiymatning doimiy qiymati va doimiy qiymat o'rtasida

.

Funktsiyalarning oxirgi sonining yig'indisi (chakana) o'rtasida, bu funktsiyalar orasidagi qo'shimcha summa (chakana).

Bu funktsiyalar o'rtasida so'nggi funktsiyalar soni o'rtasida dobutku.

Ikki funktsiyaning qismlari o'rtasida bu funktsiyalar o'rtasida ko'proq shaxsiy bo'ladi, go'yo banner o'rtasida nolga teng emas.

Ajoyib chegaralar

,
, de

1.2. O'rtasida hisob-kitobni qo'llang

Biroq, ularning hammasi ham shunchalik oddiy hisoblanmaydi. Ko'pincha raqamlar orasidagi hisob-kitob turini bilmaslik darajasiga qisqartiriladi: yoki .

.

2. Boshqa funktsiyalar

Menga funksiya bering
, vydryzku ustida uzilishlarsiz
.

Dalil otrimav deyaky oshirish
. Todi va funksiya o'sishni olib tashlaydi
.

Argument qiymati funktsiya qiymatini tasdiqlang
.

Argument qiymati
funksiya qiymatini tasdiqlang.

Ota,.

Biz o'zaro almashishni bilamiz
. Agar u chegara bo'lsa, u iflos funktsiya deb ataladi.

3Virobnoy vazifalarini tayinlash
argument ortida argumentning ortishi nolga oshirishning yetarli darajasi bo'lsa, funktsiyaning ortishining argumentning ortishiga chegarasi deyiladi.

Boshqa funktsiyalar
ushbu daraja berilishi mumkin:

; ; ; .

Funktsiya 4 farqlash.

2.1. Mexanik tuyg'u bir xil.

Biz ma'lum bir qattiq jismning yoki moddiy nuqtaning to'g'ri chiziqli harakatiga qarashimiz mumkin.

Qo'shiq aytish vaqti bir soatga yetsin qulab tushadigan nuqta
ko'z oldida edi lager turi
.

Vaqt oralig'ida
von Vidstanga ko'chib o'tdi
. Sozlama =- moddiy nuqtaning o'rtacha tezligi
. Biz farqni bilamiz
.

Shu vaqtdan boshlab, moddiy punktning tezligi mittasini tayinlash soatiga shamol yo'lining manziliga olib boriladi.

2.2. O'xshashning geometrik qiymati

Menga grafik jihatdan tayinlangan deak funktsiyasiga ega bo'lsin
.

Mal. 1. Geometrik zmist

Yakscho
, keyin bir lekeli
, nuqtaga yaqinlashib, egri chiziq bo'ylab harakatlanadi
.

Otzhe
, keyin. argumentning berilgan qiymatiga o'xshash qiymat musbat to'g'ridan-to'g'ri o'qning bu nuqtasida sobit nuqtaning tangensidan son jihatdan ustundir
.

2.3. Farqlanishning asosiy formulalari jadvali.

Oyoq funktsiyasi

Displey funktsiyasi

logarifmik funktsiya

trigonometrik funktsiya

Teskari trigonometrik funktsiya

2.4. Farqlash qoidalari.

Pokhídna víd

Pokhídna sumi (chakana) funktsiyalari

Pokhídna roboti ikkita funktsiyali

Shaxsiy ikkita funktsiyani yo'qotish

2.5. Pokhídna víd katlama funktsiyasi.

Sizga bir funktsiyani beraman
shunday qilib, ko'rganda soliqqa tortilishi mumkin

і
, de o'zgartirish ê oraliq argument, keyin

Yigʻiladigan funksiyaning oʻtishi x dagi oraliq argumentning oʻtish uchun oraliq argumentdan keyin oʻtish funksiyasini almashtirishdan qimmatroq.

1-misol.

Butt2.

3. Differensial funksiya.

Kelinglar
, bu boshqa ko'rinishda farqlanadi
va menga ruxsat bering da funktsiyasi

,

keyin yozishingiz mumkin

(1),

de - cheksiz kichik qiymat,

kabi

Tenglikning barcha shartlarini (1) ga ko'paytirish
balki:

De
- B.M.V. katta xafa.

Qiymat
funksiyaning differensiali deyiladi
va belgilang

.

3.1. Differensialning geometrik qiymati.

Sizga bir funktsiyani beraman
.

2-rasm. Geometrik differensial qulf.

.

Shubhasiz, differentsial funktsiya
tsíy nuqtadagi nuqta ordinatasining o'sishiga.

3.2. Pokhídní va turli tartiblarning differentsiallari.

Yakshcho ê
shuningdek
birinchi pokhidnoy deb atalgan.

Birinchi pokhídnoyídagi Pokhídna boshqa tartibda pokhídnoy deb ataladi va qayd qilinadi.
.

n-tartibdagi nasl funksiyasi
(n-1)-tartib nomi bilan atalgan bo'lsa, u qayd etilgan:

.

Funksiyaning differentsial shaklidagi differensial boshqa differensial va boshqa tartibli differentsial deyiladi.

.

.

3.3 Razvyazannya biologik zavdan yz zastosuvannyam farqlash.

Vazifa 1. Tadqiqotlar shuni ko'rsatdiki, mikroorganizmlar koloniyasining o'sishi qonunga muvofiq
, de N - mikroorganizmlar soni (yew.), t -soat (kun).

b) Bu davrda koloniyalar soni ko'payadimi yoki o'zgaradimi?

Vidpovid. Koloniyalar soni ko'payadi.

Vazifa 2. Ko'ldagi suv patogen bakteriyalarga qarshi kurash uchun vaqti-vaqti bilan tekshiriladi. orqali t sinovdan bir necha kun o'tgach, bakteriyalar kontsentratsiyasi korrelyatsiya bilan aniqlanadi

.

Agar ko'lda bakteriyalarning minimal kontsentratsiyasi bo'lsa va siz yangi ko'lda qanday suzishingiz mumkin?

Yechim Funktsiya nolga o'xshash bo'lsa, maksimal yoki minga etadi.

,

Sezilarli darajada maksimal va min 6 kun ichida bo'ladi. Kimga do'st tutsam, o'laman.

Eslatma: 6 kundan keyin bakteriyalarning minimal konsentratsiyasi bo'ladi.