Elips

Ellips. Diqqat. Rivnyannia elips. Fokusli ko'rinish.

Ellipsning kichik o'qi ajoyib. Eksantriklik. Rivnyanniya

dotikdan ellipsgacha. Umovning buralish to'g'ri chizig'i va ellipsi.

Elipsom (1-rasm ) nuqtalarning geometrik joyi deyiladi, berilgan ikkita nuqtagacha bo'lgan sonlar yig'indisi F 1 ta F 2 nayranglar elipsa, ê doimiy qiymat.

Rivnyannya elipsa (1-rasm):

Bu yerga koordinatalar kobiê ellips simmetriya markazi, A koordinatalar o'qlari simmetriya o'qlaridir. Daa > bo'qda yotish uchun ellipsning nayranglari OH (1-rasm), bilan a< b o'qda yotish uchun ellipsning nayranglari Pro Y, va qachon a= belíps staê kolo(ellipsning o'choqlari qoziq markazi atrofida qaysi yo'nalishda o'tadi). shunday tarzda, kolo ê okremy vipadok elipsa .

Vídrizok F 1 F 2 = 2 h, de , chaqirildi fokus uzunligi . VídrizokAB = 2 achaqirdi ellipsning katta pardasi , lekin vydryzok CD = 2 b – kichik vazn ellipsa . Raqame = c / a , e < 1 называется ekssentriklik ellipsa .

Qo'ysangchi; qani endi R(X 1 , da 1 ) elipning nuqtasi, todidotikni ellipsga tenglashtirish V

Kirish

Ilgari, boshqa tartibdagi egri chiziqlar Platonning ta'limotlaridan biri bilan burilgan. Yogo roboti hujumga o'tdi: agar siz bir-biriga bog'langan ikkita to'g'ri chiziqni olsangiz va ularni kutning bisektrixiga o'rab qo'ysangiz, u holda weide konussimon sirtdir. Agar siz sirtni tekis sirt bilan ag'darib qo'ysangiz, u holda perimetrda turli xil geometrik figuralar paydo bo'ladi va ellips, kolo, parabola, giperbola va virogen figuralarning spratlari.

Biroq, 17-asrda, agar sayyoralar elliptik traektoriyalarda qulab tushayotgani va garmonik raketa parabolik bo'ylab uchishi ma'lum bo'lsa, ilmiy bilim kamroq bilardi. Agar siz tanaga birinchi kosmik kuchni bersangiz, u kuch zichligi ortishi bilan - ellips bo'ylab va boshqa Yerning kosmik kuchiga erishgandan so'ng, Yer yaqinidagi ustunga qulab tushishini bilish yanada yomonlashdi. , tana parabola bo'ylab tortishish maydonini yo'qotadi.

Elips ta yogo rivnyannia

Uchrashuv 1. Ellips - tekislikdagi nomsiz nuqta, fokuslar deb ataladigan ikkita berilgan nuqtalar terisidagi umumiy nuqtalar yig'indisi doimiy qiymatdir.

Ellips o'choqlari harflar bilan va o'choqlar orasida - orqali va ellips o'choqlari orasidagi o'choqlar yig'indisi - orqali belgilanadi. Bundan tashqari, 2a > 2c.

Ellipsning kanonik tenglashuvi quyidagicha ko'rinishi mumkin:

de pov'yazaní mízh i vívnystyu a 2 + b 2 \u003d c 2 (yoki b 2 - a 2 \u003d c 2).

Kattalik katta vazn deb ataladi va ellipsning kichik og'irligi.

Belgilanishi 2. Eksantriklik ellips eski katta o'qgacha fokuslar orasidagi o'tish deyiladi.

Bu harf bilan ifodalanadi.

2a>2c tayinlash uchun shardlar, ekssentriklik har doim to'g'ri kasr sifatida ifodalanadi, ya'ni. .

Krapki F 1 (–c, 0) bu F 2 (c, 0) deb ataladi ellips fokuslari qaysi qiymat uchun 2 c bildiradi interfokal ko'rinish .

Krapki A 1 (–A, 0), A 2 (A, 0), Da 1 (0, –b), B 2 (0, b) deyiladi ellips tepalari (Mal. 9.2), esa A 1 A 2 = 2A Men butun ellipsni ajoyib qilaman va Da 1 Da 2 - kichik, - elips markazi.

Yoga shaklini tavsiflovchi ellipsning asosiy parametrlari:

ε = h/a – ellips ekssentrikligi ;

– ellipsning fokus radiuslari (belgi M elipsu ustida yotish), bundan tashqari r 1 = a + ex, r 2 = a – ex;

– Directrix elipsa .

Bu ellips uchun to'g'ri: rejissyorlar kordonni va ellipsning ichki qismini ag'darib tashlamaydilar, balki kuchni ham chayqadilar.

Ellipsning ekssentrikligi dunyoni toraytiradi.

Yakscho b > a> 0, keyin elipslar teng (9,7) ga beriladi.

Todi 2 A- kichik vazn, 2 b- hamma narsa ajoyib, - e'tibor (9.3-rasm). Kim bilan r 1 + r 2 = 2b,
ε = c/b, Direktorlar teng ravishda tayinlanadi:

Aql uchun, radius yaqinida ma'mo (elips, okremy elyps ko'rinishida) R = a. Kim bilan h= 0, keyinroq, ε = 0.

Ellipsning nuqtalari bo'lishi mumkin xarakterli kuch : teridan fokuslargacha bo'lgan masofalar yig'indisi doimiy, 2 ga teng A(9.2-rasm).

Uchun parametrik vazifa elips (formula (9.7)) t ellipsda joylashgan nuqtaning radius vektori va musbat to'g'ridan-to'g'ri o'qi orasidagi kuta qiymatini olish mumkin. ho'kiz:

Agar ellipsning markazi xuddi shu joyda joylashgan bo'lsa, uni ko'rish mumkin:

misol 1. Ellipsni tenglashtirishni keltiring x 2 + 4y 2 \u003d 16 kanonik ko'rinishga va yogo parametrlarining qiymatiga. Elips chizish.

Yechim. Keling, daryoni ikkiga ajrataylik x 2 + 4y 2 \u003d 16 dan 16 gacha, shundan so'ng biz quyidagilarni olamiz:

Olingan tenglashtirishni ko'rib, ellipsning kanonik tenglashtirish (formula (9.7)), de A= 4 - ajoyib pívvís, b= 2 - kichik pivvis. Demak, elipsning uchlari nuqtadir A 1 (–4, 0), A 2 (4, 0), B 1 (0, –2), B 2(0, 2). Shardlar interfokal chiziqning yarmi, keyin nuqtalar ellipsning o'choqlari. Eksantriklikni hisoblang:

Direktor D 1 , D 2 teng bilan tavsiflanadi:

Ellips ko'rsatiladi (9.4-rasm).

dumba 2. Elips parametrlarini toping

Yechim. Bu almashtirish markazi bilan ellipsning kanonik moslashuvi bilan cherkovning moslashuviga teng. Biz elipslarning markazini bilamiz V: Katta pívvís kichik pívvís to'g'ri chiziqlar - asosiy o'q Interfokal nuqtaning yarmi va shuning uchun ekssentriklik Directrixga qaratilgan. D 1 i D Qo'shimcha yordam uchun 2 ta'riflanishi mumkin (9.5-rasm).

misol 3. Egri chiziqning tenglarga qanday berilishini belgilang, uni tasvirlang:

1) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0; 2) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 6 = 0;

3) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0; 4) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 17 = 0;

Yechim. 1) binomialning mutlaq kvadratini ko'rib, uni kanonik shaklga keltiramiz:

x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0;

(x 2 + 4x) + (y 2 – 2y) + 4 = 0;

(x 2 + 4x + 4) – 4 + (y 2 – 2y + 1) – 1 + 4 = 0;

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Bu darajadagi tenglikni esga olish mumkin

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Qoziqning markaz bilan nuqta (-2, 1) va radiusga mos kelishi R= 1 (9.6-rasm).

2) Biz teng va hamma narsaga qodirning chap qismida binomiallarning bir xil kvadratlarini ko'ramiz:

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = –1.

Shaxssiz haqiqiy raqamlarda hech qanday ma'no yo'q, chap qismning parchalari o'zgarishlarning har qanday haqiqiy qiymatlari uchun manfiy emas. xі y, Va huquqlar - salbiy. Uning fikriga ko'ra, "aniq qoziq" ning maqsadi aks holda samolyotning bo'sh ma'nosiz nuqtasini belgilaydi.

3) Biz bir xil kvadratlarni ko'ramiz:

x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0;

(x 2 – 2x + 1) – 1 + 4(y 2 + 4y + 4) – 16 + 1 = 0;

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 – 16 = 0;

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 16.

Otzhe, teng ko'rishim mumkin:

Otrimane rivnyannya, otzhe va kun oxirida bir elips so'rang. Elipsning markazi nuqtada joylashgan Pro 1 (1, –2), asosiy o'qlar tenglar bilan berilgan y = –2, x= 1, bundan tashqari, pivvis katta A= 4, kichik pivvis b= 2 (9.7-rasm).

4) Oxirgi kvadratlarni ko'rgandan so'ng, ehtimol:

(x – 1) 2 + 4(y+ 2) 2 - 17 + 17 = 0 yoki ( x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 0.

Otriman tenglashtirish koordinatalari (1, -2) bilan tekislikning bitta nuqtasini o'rnatadi.

5) Keling, uni kanonik ko'rinishga keltiramiz:

Shubhasiz, u asosiy o'q nuqtasida joylashgan elipslar bilan belgilanadi, ularning markazi tenglar bilan beriladi va qanchalik katta bo'lsa, kichikroq (9.8-rasm).

dumba 4. 2 radiusli ustunga nuqtaning hizalanishini markazni ellipsning o'ng fokusida yozing. x 2 + 4y 2 \u003d 4 butun ordinatadan chiziq nuqtasida.

Yechim. Ellipsning tekislanishi kanonik shaklga keltiriladi (9.7):

Otzhe, va o'ng fokus - Tom, shukane radiusi 2 teng ulush ko'rinishi mumkin (9.9-rasm):

Aylana nuqtalardagi barcha ordinatalarni o'zgartiradi, ularning koordinatalari tenglashtirish tizimidan aniqlanadi:

Biz olamiz:

Menga bir nechta dog'larni bering N(0; -1) bu M(0; 1). Otzhe, siz ikki dotichni pobuduvat mumkin, sezilarli darajada í̈x T 1 i T 2. Vídomoyu quvvatining orqasida dotichna dotik nuqtasiga chizilgan radiusga perpendikulyar.

Menga yana bir bor ruxsat bering T 1 kelajakda men qarayman:

O'rtacha, yoki T 1: Vono tengdan ko'proq tengdir

Uchrashuv 7.1. Samolyotdagi barcha nuqtalarning ko'pchiligi, ikkita sobit nuqtagacha bo'lgan har qanday yig'indisi uchun F 1 va F 2 ê doimiy qiymat beriladi, deyiladi. ellips.

Ellipsning belgilanishi yoga geometrik ilhomning bunday usulini beradi. U F 1 va F 2 ikkita nuqta tekisligida o'rnatiladi va sezilmaydigan doimiy qiymat 2a orqali sezilarli bo'ladi. F1 va F2 nuqtalari orasida 2c gacha harakat qilaylik. Ko'rinib turibdiki, qo'sh 2a bilan cho'zilmagan ip F 1 va F 2 nuqtalarida, masalan, ikkita boshning yordami orqasida o'rnatiladi. ≥ s uchun kamroq bo'lishi mumkinligini tushundim. Ipni zaytun bilan tortib, biz chiziqni kesib o'tdik, go'yo ellips (7.1-rasm).

Otzhe, multiplikator bo'sh emas, yakscho a ≥ s. Qachon a \u003d elips ê vídrízok z kíntsami F 1 va F 2 va c \u003d 0 bo'lsa, keyin. qo'zg'almas nuqtalar belgilangan ellipsda o'rnatilgan bo'lsa, vin a radiusiga yaqin. Kuzda virogenlar mavjudligini hisobga olsak, biz > z > 0 deb taxmin qilishimiz kerak.

Belgilangan 7.1 ellipslardagi F 1 va F 2 mahkamlash nuqtalari (bo'lim. 7.1-rasm) deyiladi. ellips fokuslari, ular orasida, 2c orqali belgilangan, - fokus nuqtasi va F 1 M va F 2 M o'qlari ellipsdagi M nuqtasini o'z markazlari bilan etarlicha yaqinlashtiradi, - fokus radiuslari.

Elipsni ko'rish asosiy nuqta bo'lish ehtimoli ko'proq | F 1 F 2 | \u003d 2 í parametri bilan a, tekislikdagi pozitsiya sifatida - F 1 í F 2 nuqtalari juftligi.

Ellipsning belgilanishi - bu chiziq simmetrik va to'g'ri bo'lishi kerak, u F 1 va F 2 fokuslaridan o'tishi kerak, shuningdek, F 1 F 2 navp_l qo'llarini bo'linadigan va perpendikulyar bo'lishi kerak. yoma (7.2 a-rasm). Qi to'g'ridan-to'g'ri nomi ellips o'qlari. O í̈x shpalning ê nuqtasi elips simmetriya markazi va íh chaqiruvi ellipsning markazi, Va simmetriya o'qlari bilan ellips chizig'ining nuqtalari (7.2-rasmdagi A, B, C va D nuqtalari) - ellips tepalari.

Raqamni nomlang buyuk pívvíssyu elips, va b = √(a 2 - c 2) - yoga kichik pivvissyu. Shuni ta'kidlash kerakki, c>0 da ellips markazi va tinch cho'qqilar orasidagi masofa katta bo'ladi, chunki ular ellips fokuslari bilan bir o'qda joylashgan (7.2-rasmdagi A va B cho'qqilari). ), markaz va markaz orasidagi masofa boshqa ikkita cho'qqigacha kichikdir (7.2-rasmdagi C va D cho'qqilari, a).

Rivnyannia elips. Katta osmonning 2a F 1 va F 2 nuqtalarida fokuslari bo'lgan tekis ellipsni ko'rib chiqaylik. Keling, 2c - fokus masofasi, 2c = | F1F2 |

Biz tekislikda Oxy to'rtburchaklar koordinata tizimini tanlaymiz, shunda kob elips markazida bo'ladi va fokuslar yoniq bo'ladi. abscissa o'qi(7.2-rasm, b). Ushbu koordinatalar tizimi deyiladi kanonik tahlil qilingan ellips uchun va boshqa o'zgarishlar - kanonik.

Tanlangan koordinatalar tizimi uchun fokus F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0) koordinatalari bo'lishi mumkin. Vikoristovuyuchi formula vídstaní mízh nuqtalari, aql yozib | F 1 M | + | F 2 M | = 2a koordinatalarda:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Tsívnyannya qulay emas, chunki yangisida ikkita kvadrat radikal mavjud. Shuning uchun, keling, yoga bilan shug'ullanamiz. Teng (7.2) boshqa radikal y ni o'ng qismga va yulduz y kvadratiga o'tkazamiz:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

kamon ochish va shunga o'xshash dodankív otrimuêemo olib keyin

√((x + c) 2 + y 2) = a + ex

de e = c/a. Yana i radikalini olish uchun kvadratlash amalini takrorlaymiz: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2eax + e 2 x 2 yoki kiritilgan parametr e, (a 2 - c 2) x 2 qiymatini o'zgartirib. / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. Skilki a 2 - c 2 \u003d b 2\u003e 0, keyin

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Hizalama (7.4) ellipsda yotgan barcha nuqtalarning koordinatalarini qanoatlantiradi. Ale, g'alabali tenglashtirishni olishda tashqi tenglashtirishning ekvivalent bo'lmagan almashtirishlari mavjud edi (7.2) - kvadrat radikallarni qabul qiladigan ikkita kvadrat bog'lanish. Birliklar o'zgarishlarga ekvivalent ê kvadratiga teng, shuning uchun uning ikkala qismida qiymatlar bir xil belgi bilan bo'ladi, ular o'z o'zgarishlarida alkimyoni o'zgartirmaydilar.

Biz transformatsiyaning ekvivalentligi haqida o'ylay olmaymiz, go'yo u noto'g'ri. F 1 va F 2 nuqtalari juftligi | F 1 F 2 | \u003d 2c, samolyotlar ushbu nuqtalarda fokusli ellipslar oilasini belgilaydi. Samolyotning teri nuqtasi, víryzka F 1 F 2 ning jingalak nuqtasi belgilangan oilaning elipsusi kabi yotadi. Har qanday vaqtda ikkita ellips bir-biriga yopishmaydi, fokus radiuslari yig'indisining parchalari aniq ellipsni ko'rsatadi. Keyinchalik ko'priksiz ellipslar oilasi tasvirlangan bo'lib, butun maydonni qoplaydi, qip-qizil nuqta F1F2. Keling, koordinatalari (7.4) a parametrining qiymatlari bilan mos keladigan shaxsiy bo'lmagan nuqtalarni ko'rib chiqaylik. Kílkom elipsami orasida rozpodylyatisya ko'p nima mumkin? Ko'paytirgichning nuqtalarining bir qismi katta pívvíssya a bilan elípsu ustida yotadi. Buyuk pivvissyadan ellipsda yotadigan bu ko'plikda bir nuqta bo'lsin. Keyin nuqtalarning koordinatalari teng tartiblanadi

tobto. Ekvivalent (7.4) va (7.5) katta qarorlarga ega bo'lishi mumkin. Biroq, bu tizimni chalkashtirib yuborish oson

ã ≠ a uchun hech qanday yechim yo'q. Kim uchun, masalan, birinchi tenglikdan x ni kiritish kifoya:

scho qayta ishlashdan keyin tenglikni tarbiyalash

ã ≠ a bo‘lganda qaror qabul qila olmaydi, shards. Shuningdek, (7.4) ê ellipsni katta pívvíssyu bilan tenglashtirish a > 0 í kichik pívvíssyu b = √ (a 2 - c 2) > 0. ellipslarning kanonik tengliklariga.

Ellipsni ko'rib chiqish. Ellipsga ko'proq geometrik qarash ellipsning go'zal ko'rinishi haqida etarli dalillarni beradi. Ammo elips turlarini yogo kanonik ekvivalentligi (7.4) yordamida oqlash mumkin. Masalan, y ≥ 0 ni hisobga olgan holda, x ni ko'rib chiqishingiz mumkin: y \u003d b√ (1 - x 2 / a 2), i, bu funktsiyani bajarib, y grafigini induktsiya qilishingiz mumkin. Elipsni qo'zg'atishning yana bir usuli bor. Markazi ellipsning (7.4) kanonik koordinata sistemasi kobida joylashgan a radiusli ustun x 2 + y 2 = a 2 tengliklari bilan tavsiflanadi. a / b koeffitsienti > 1 vzdovzh bilan qanday qilib siqish kerak ordinatalar o'qlari, keyin teng x 2 + (ya/b) 2 = a 2 keyin elips bilan tasvirlangan egri chiziqni o'zgartiring.

Hurmat 7.1. Qanday qilib a / b koeffitsienti bilan bir xil miqdorni siqib chiqarasiz

Ellips ekssentrikligi. Ellipsning fokus uzunligining katta o'qga kengayishi deyiladi ellips ekssentrikligi va e bilan belgilang. Berilgan ellips uchun

kanonik tengliklar (7.4), e = 2c/2a = s/a. Qanday qilib (7.4) a va b parametrlari a ning nomuvofiqligi bilan bog'liq

c = 0 bilan, agar elips aylanaga aylansa, i e = 0. Boshqa hollarda 0.

(7.3) tenglama teng (7.4) ga ekvivalent, shardlar teng (7.4) va (7.2) ga teng. Elipsa shunga teng (7.3). Bundan tashqari, spívvídnoshennia (7.3) cíkave tim, scho oddiy beradi, radikallardan o'ch olmang, dozhini uchun formula | F 2 M | ellipsning M(x; y) nuqtasining fokus radiuslaridan biri: | F 2 M | = a + ex.

Boshqa fokus radiusi uchun shunga o'xshash formula, uni birinchi radikal tenglamaning (7.2) o'ng tomoniga emas, balki boshqasiga emas, balki inleyslarning takrorlanishining simmetriyasidan olib tashlash mumkin. Shuningdek, elípsí bo'yicha har qanday M(x; y) nuqta uchun (bo'lim. 7.2-rasm)

|F 1 M | = a - ex, | F 2 M | = a + ex, (7.6)

va tsikh rivnyan ê ellips dan teri teng.

7.1-misol. Biz buyuk pívvíssyu 5 va 0,8 eksantriklik bilan ellipsning kanonik moslashuvini bilamiz va yogo bo'ladi.

Katta pívvís elíps a = 5 va ekssentriklik e = 0,8 ni bilsak, biz kichik pívvís b ni bilamiz. Oskilki b \u003d √ (a 2 - s 2) va s \u003d ea \u003d 4, so'ngra b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Bu kanonik ravishda teng ko'rinishni anglatadi x 2 / 5 2 + y 2 / 3 2 \u003d 1. Ellipsni yaratish uchun qirralari ellips simmetriya o'qlariga parallel bo'lgan va bir xil o'qlarga to'g'ri keladigan kanonik koordinata tizimining kobiga markazi bilan to'rtburchakni qo'lda chizing. (7.4-rasm). Tsei rectocart bilan shug'ullanadi

A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3) cho'qqilarida elips o'qlari, bundan tashqari, elipsning o'zida yangi yozuvlar mavjud. Shaklda. 7.4, shuningdek, F 1.2 (± 4; 0) ellips o'choqlarini ko'rsatdi.

Ellipsning geometrik kuchi. Oldinroq (7.6) tenglikni |F 1 M| ko'rinishida qayta yozamiz = (a/e - x)e. Shunisi e'tiborga loyiqki, a > h uchun a / e - x qiymati musbat, ammo F 1 fokusi ellipsda yotmaydi. Tsya qiymati ê vertikal to'g'ri chiziqqa d: x \u003d a / e M (x; y) nuqtasida, u to'g'ri chiziq yo'nalishi bo'yicha chap qo'l bilan yotishi kerak. Rivnyannya elípsa ko'rinishida yozilishi mumkin

|F 1 M|/(a/e - x) = e

Demak, bu elips tekislikning tinch nuqtalaridan M(x; y) buklangan, buning uchun fokus radiusi F 1 M ning d to'g'ri chiziqqa kengayishi doimiy qiymat e ga teng (7.5-rasm).

d ê "dvíynik" to'g'ri chiziq d elips markazi kabi d ga simmetrik bo'lgan vertikal chiziqdir, shuning uchun x = -a / e teng bo'ladi. Jinoyatlar to'g'ridan-to'g'ri d va d nomi ellips direktorlari. Ellipsning direktrisalari ellipsning simmetriya o'qiga perpendikulyar bo'lib, burmalangan fokuslarda va ellips markazida a/e = a 2 /c masofada turadi (bo'lim 7.5-rasm).

Uning diqqat markaziga eng yaqin joylashgan Vídstan p víd directrix deyiladi ellipslarning fokus parametri. Ushbu parametr qimmatroq

p \u003d a / e - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c

Elips yana bir muhim geometrik kuchga ega: markazlashtirilgan radiuslar F 1 M va F 2 M nuqtadan elipsugacha bo'lgan M nuqtasida teng kutigacha (7.6-rasm).

Tsya vlastívíst maê naochny fízichny zmíst. Agar fokus F 1 yorug'lik chaqnashiga ega bo'lsa, u holda promin, boshqa fokusdan chiqib ketganingizda, ellipsni boshqa fokus radiusi bo'ylab urganingizdan so'ng, sharobni urgandan so'ng, xuddi shu kesmani egri chiziqqa o'zgartiramiz, keyin zarbaga. Shunday qilib, F 1 fokusdan chiqqan barcha o'zgarishlar boshqa F 2 fokusida va xuddi shu tarzda to'planadi. Ushbu talqindan hokimiyatga nom berish tayinlanadi ellipsning optik kuchi.

Kanonik jihatdan teng ellips ko'rinishi mumkin

de a - buyuk pívvís; b - kichik pivvislar. F1(c,0) va F2(-c,0) − c nuqtalari deyiladi

a, b - pivos ellips.

Znahodzhennya o'choqlari, ekssentriklik, direktor elypsa, yakshcho yogo kanonik teng.

Giperbolani tayinlash. Giperbola fokusi.

Uchrashuv. Giperbola tekislikning shaxssiz nuqtasi deb ataladi, buning uchun farq moduli berilgan ikkita nuqtaga teng, fokuslar deb ataladi va qiymati doimiy, fokuslar orasidagi farqdan kichikdir.

Uchrashuvlar uchun | r1 - r2 | = 2a. F1, F2 - giperbolaning o'choqlari. F1F2 = 2c.

Giperbolaning kanonik tenglashtirilishi. Giperbolli ichimliklar. Pobudovning giperbolasi, xuddi kanonik tenglik uyida.

Kanonik tekislash:

Katta pívvís giperbola ikki giperbola orasidagi minimal masofaning yarmiga aylanadi, o'qning ijobiy va salbiy tomonlarida (koordinatalar bo'ylab chap va o'ng qo'lda). Ijobiy tomondan bir roztashovanoy uchun, pívvís darívnyuvatime:

Chiziqning oxiri va ekssentriklikni ko'rishning bir usuli sifatida men buni kelajakda ko'raman:

Fokuslarning ahamiyati, ekssentrikligi, giperbolaning yo'nalishi, chunki u kanonik jihatdan teng ko'rinadi.

Giperbolaning ekssentrikligi

Uchrashuv. U giperbolaning ekssentrisiteti, de deyiladi

ularning yarmi fokuslar orasida va - diysna pivvís.

O'sha c2 - a2 = b2 ga qarab:

Agar a = b, e = bo'lsa, giperbola teng (teng tomonli) deb ataladi.

Giperbola kataloglari

Uchrashuv. Giperbolaning bo'linish o'qiga perpendikulyar va ko'zning old a/e qismidagi markazga simmetrik simmetrik bo'lgan ikkita to'g'ri chiziq giperbolaning rejissyorlari deyiladi. Їx teng: .

Teorema. Agar r giperbolaning keng tarqalgan M nuqtasidan istalgan fokusga o'tish kerak bo'lsa, d - xuddi shu nuqtadan direktrisaning to'g'ridan-to'g'ri fokusiga o'tish, keyin r / d - qiymat ekssentriklikka teng bo'ldi.

Parabolaning belgilanishi. Fokus va parabola yo'nalishi.

Parabola. Parabola - geometrik oraliqda joylashgan nuqta, uning terisi berilgan qo'zg'almas nuqtadan va berilgan qo'zg'almas to'g'ri chiziqdan masofada bir xil bo'ladi. Belgilanganlar bilan qanday borish kerakligi haqida Krapka, parabolaning diqqat markazi va to'g'ridan-to'g'ri - direktor deb ataladi.

Parabolaning kanonik tenglashtirilishi. parabolik parametr. Pobudova parabolalar.

To'rtburchaklar koordinatalar tizimida parabolaning kanonik tekislanishi: (aks holda, oylar bilan o'qlarni eslang).

P parametrining berilgan qiymati uchun Pobudov parabolalari boshlang'ich ketma-ketlikda g'alaba qozonadi:

Parabolaning barcha simmetriyasini bajaring va uni yangi o'rashga qo'shing KF=p;

Simmetriya o'qiga perpendikulyar bo'lgan K nuqta orqali DD1 direktrisasi chiziladi;

Vídrízok KF bo'linishi navpyl otrimuyut parabolaning yuqori qismi 0;

Cho'qqisida bir qator qo'shimcha nuqtalar 1, 2, 3, 5, 6 ko'rinadi, ular orasida asta-sekin o'sib boradi;

Qi nuqtalari orqali parabola o'qiga perpendikulyar qo'shimcha to'g'ri chiziqlar o'tkazing;

Qo'shimcha to'g'ri chiziqlarda, rejissyorga to'g'ri chiziqdagi chiziqqa teng radiusli tirqishlarni maydalang;

Nuqtalarni silliq egri chiziq bilan olib tashlang.