Перетворення суми (різниці) косінусів двох кутів на твір. Формули приведення, сума, різниця синусів та косінусів Основні співвідношення між елементами косокутних трикутників

). Ці формули дозволяють від суми або різниці синусів і косинусів кутів і перейти до твору синусів та/або косинусів кутів і . У цій статті ми спочатку перерахуємо ці формули, далі покажемо їх висновок, а насамкінець розглянемо кілька прикладів їх застосування.

Навігація на сторінці.

Список формул

Запишемо формули суми та різниці синусів та косинусів. Як Ви розумієте, їх чотири штуки: дві для синусів та дві для косінусів.

Тепер дамо їх формулювання. При формулюванні формул суми та різниці синусів і косінусів кут називають напівсумою кутів і , а кут - напіврізністю. Отже,

Варто зазначити, що формули суми та різниці синусів і косінусів справедливі для будь-яких кутів і .

Висновок формул

Для виведення формул суми та різниці синусів можна використовувати формули додавання , зокрема, формули
синуса суми
синуса різниці,
косинуса суми та
косинуса різниці.

Також нам знадобиться представлення кутів і у вигляді і . Таке уявлення правомірне, так як для будь-яких кутів і .

Тепер детально розберемо виведення формули суми синусів двох кутіввиду.

Спочатку в сумі замінюємо на , а на , у своїй отримуємо . Тепер до застосовуємо формулу синуса суми, а до - Формулу синуса різниці:

Після приведення подібних доданків отримуємо . У результаті маємо формулу суми синусів виду.

Для виведення інших формул необхідно лише зробити аналогічні події. Наведемо висновок формул різниці синусів, а також суми та різниці косінусів:

Для різниці косінусів ми навели формули двох видів або . Вони еквівалентні, оскільки що випливає з властивостей синусів протилежних кутів.

Отже, ми розібрали доказ усіх формул суми та різниці синусів та косинусів.

Приклади використання

Розберемо кілька прикладів використання формул суми синусів та косінусів, а також різниці синусів та косинусів.

Наприклад перевіримо справедливість формули суми синусів виду, взявши і. Щоб це зробити, обчислимо значення лівої та правої частин формули для цих кутів. Так як і (за потреби дивіться таблицю основних значень синусів і косінусів), то . При та маємо і тоді. Таким чином, значення лівої та правої частин формули суми синусів для і збігаються, що підтверджує справедливість цієї формули.

У деяких випадках використання формул суми та різниці синусів і косінусів дозволяє обчислювати значення тригонометричних виразів, коли кути відмінні від основних кутів ( ). Наведемо рішення прикладу, що підтверджує цю думку.

приклад.

Обчисліть точне значення різниці синусів 165 і 75 градусів.

Рішення.

Точних значень синусів 165 і 75 градусів ми знаємо, тому безпосередньо обчислити значення заданої різниці ми можемо. Але відповісти на питання задачі нам дозволяє формула різниці синусів. Справді, напівсума кутів 165 і 75 градусів дорівнює 120 градусів, а напіврізниця дорівнює 45 градусів, а точні значення синуса 45 градусів і косинуса 120 градусів відомі.

Таким чином, маємо

Відповідь:

.

Безсумнівно, головна цінність формул суми та різниці синусів і косінусів полягає в тому, що вони дозволяють перейти від суми та різниці до твору тригонометричних функцій (з цієї причини ці формули часто називають формулами переходу від суми до твору тригонометричних функцій). А це в свою чергу може бути корисно, наприклад, при перетворення тригонометричних виразівабо при розв'язанні тригонометричних рівнянь. Але ці теми потребують окремої розмови.

Список літератури.

• Алгебра:Навч. для 9 кл. середовищ. шк./Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; За ред. С. А. Теляковського.- М.: Просвітництво, 1990.- 272 с.: Іл.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. І.Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 1993. - 351 с.: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Тема урока. Сума та різницю синусів. Сума та різницю косінусів.

(Урок засвоєння нових знань.)

Цілі уроку.

Дидактичні:

вивести формули суми синусів та суми косінусів та сприяти їх засвоєнню в ході вирішення завдань;

продовжити формування умінь та навичок щодо застосування тригонометричних формул;

проконтролювати ступінь засвоєння матеріалу на тему.

Розвиваючі:

сприяти розвитку навички самостійного застосування знань;

розвивати навички самоконтролю та взаємоконтролю;

продовжити роботу з розвитку логічного мисленнята усного математичного мовлення при пошуку вирішення поставленої проблеми.

Виховні:

привчати до вміння спілкуватися та вислуховувати інших;

виховувати уважність та спостережливість;

стимулювати мотивацію та інтерес до вивчення тригонометрії.

Обладнання:презентації, інтерактивна дошка, формули.

Хід уроку:

Організаційний момент. - 2 хв.

Актуалізація опорних знань. Повторення. - 12 хв.

Цілепокладання. - 1 хв.

Сприйняття та осмислення нових знань. - 3 хв.

Застосування набутих знань. - 20 хв.

Аналіз досягнень та корекція діяльності. - 5 хв.

Рефлексія. - 1 хв.

Домашнє завдання. - 1 хв.

1. Організаційний момент.(слайд 1)

- Вітаю! Тригонометрія – один із найцікавіших розділів математики, але чомусь більшість учнів вважають його найважчим. Пояснити це, швидше за все, можна тим, що в цьому розділі формул більше, ніж у будь-якому іншому. Для успішного розв'язання задач із тригонометрії необхідне впевнене володіння численними формулами. Багато формул вже вивчені, але виявляється, не всі. Тому девізом цього уроку стане вислів Піфагора «Дорогу здолає той, хто йде, а математику – мислячий». Давайте думати!

2. Актуалізація опорних знань. Повторення.

1) математичний диктант із взаємоперевіркою(слайди 2-5)

Перше завдання. Використовуючи вивчені формули обчислити:

1 варіант

2 варіант

sin 390 0

cos 420 0

1 – cos 2 30 0

1 – sin 2 60 0

сos 120 0 ∙cos 30 0 + sin 120 0 ∙sin 30 0

sin 30 0 ∙cos 150 0 + cos 30 0 ∙sin 150 0

Відповіді: ; 1; -; ; - ; - 1; 1; ; ; 0; ; 3 . - Взаємоперевірка.

Критерії оцінок: (роботи здаються вчителю)

"4" - 10 - 11

2) завдання проблемного характеру(Слайд 6) – доповідь учня.

Спростити вираз, використовуючи тригонометричні формули:

А чи можна це завдання вирішити інакше? (Так, за допомогою нових формул.)

3. Цілепокладання(Слайд 7)

Тема урока:
Сума та різницю синусів. Сума та різницю косінусів. - Запис у зошити

Цілі уроку:

вивести формули суми та різниці синусів, суми та різниця косінусів;

вміти застосовувати їх на практиці.

4. Сприйняття та осмислення нових знань. (слайд 8-9)

Виведемо формулу суми синусів: - учитель

Аналогічно доводяться інші формули: (формули перетворення суми на твір)

Правила запам'ятовування!

У доказі яких ще тригонометричних формул використовувалися формули додавання?

5. Застосування набутих знань.(слайди 10-11)

За допомогою нових формул:

1) Обчислити: (біля дошки) - Що буде відповіддю? (число)

Під диктовку з учителем

6. Аналіз досягнень та корекція діяльності.(слайд 13)

Диференційована самостійна робота із самоперевіркою

Обчислити:

7. Рефлексія.(слайд 14)

Чи ви задоволені своєю роботою на уроці?

Яку оцінку ви поставили собі за весь урок?

Який момент найцікавіший був на уроці?

Де вам довелося найбільше сконцентруватися?

8. Домашнє завдання:вивчити формули, індивідуальні завданняна картках.

Формули суми та різниці синусів і косінусів для двох кутів α і β дозволяють перейти від суми зазначених кутів до твору кутів α + β 2 і α - β 2 . Відразу зазначимо, що не варто плутати формули суми та різниці синусів та косінусів з формулами синусів та косинусів суми та різниці. Нижче ми перерахуємо ці формули, наведемо їх висновок та покажемо приклади застосування для конкретних завдань.

Формули суми та різниці синусів та косинусів

Запишемо, як виглядають формули суми та різниці для синусів та для косинусів

Формули суми та різниці для синусів

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Формули суми та різниці для косінусів

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

Дані формули справедливі для будь-яких кутів α та β. Кути α + β 2 і α - β 2 називаються відповідно напівсумою та напіврізністю кутів альфа та бета. Дамо формулювання для кожної формули.

Визначення формул сум і різниці синусів та косинусів

Сума синусів двох кутівдорівнює подвоєному добутку синуса напівсуми цих кутів на косинус напіврізниці.

Різниця синусів двох кутівдорівнює подвоєному добутку синуса напіврізниці цих кутів на косинус напівсуми.

Сума косінусів двох кутівдорівнює подвоєному добутку косинуса напівсуми та косинуса напіврізниці цих кутів.

Різниця косінусів двох кутівдорівнює подвоєному добутку синуса напівсуми на косинус напіврізниці цих кутів, взятому з негативним знаком.

Висновок формул суми та різниці синусів та косинусів

Для виведення формул суми та різниці синуса та косинуса двох кутів використовуються формули складання. Наведемо їх нижче

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β

Також представимо самі кути у вигляді суми напівсум та напіврізниць.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Переходимо безпосередньо до висновку формул суми та різниці для sin та cos.

Висновок формули суми синусів

У сумі sin α + sin β замінимо α та β на вирази для цих кутів, наведені вище. Отримаємо

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Тепер до першого виразу застосовуємо формулу додавання, а до другого - формулу синуса різниць кутів (див. формули вище)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Розкриємо дужки, наведемо подібні доданки і отримаємо шукану формулу

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Дії щодо висновку інших формул аналогічні.

Висновок формули різниці синусів

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Висновок формули суми косинусів

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Висновок формули різниці косінусів

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Приклади вирішення практичних завдань

Для початку зробимо перевірку однієї з формул, підставивши в неї конкретні значення кутів. Нехай α = π 2 , β = π 6 . Обчислимо значення суми синусів цих кутів. Спочатку скористаємось таблицею основних значень тригонометричних функцій, а потім застосуємо формулу для суми синусів.

Приклад 1. Перевірка формули суми синусів двох кутів

α = π 2 , β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 · 3 2 · 3 2 = 3 2

Розглянемо тепер випадок, коли значення кутів від основних значень, представлених у таблиці. Нехай ? = 165 °, ? = 75 °. Обчислимо значення різниці синусів цих кутів.

Приклад 2. Застосування формули різниці синусів

α = 165 ° , β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 · sin 165 ° - 75 ° 2 cos 165 ° + 75 ° 2 = = 2 · sin 45 ° · cos 120 ° = 2 · 2 2 · - 1 2 = 2 2

За допомогою формул суми та різниці синусів і косінусів можна перейти від суми або різниці до твору тригонометричних функцій. Часто ці формули називають формулами переходу від суми до твору. Формули суми та різниці синусів і косінусів широко використовуються при вирішенні тригонометричних рівнянь і при перетворенні тригонометричних виразів.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Перетворення суми (різниці) косінусів двох кутів на твір

Для суми та різниці косінусів двох кутів вірні такі формули:

Сума косінусів двох кутів дорівнює подвоєному добутку косинуса напівсуми на косинус напіврізниці цих кутів.

Різниця косінусів двох кутів дорівнює мінус подвоєному добутку синуса напівсуми на синус напіврізниці цих кутів.

Приклади

Формули (1) та (2) можуть бути отримані багатьма способами. Доведемо, наприклад, формулу (1).

cos α cos β = 1 / 2 .

Вважаючи в ній (α + β) = х , (α - β) = у, ми приходимо до формули (1). Цей спосіб аналогічний тому, за допомогою якого попередньому параграфі була отримана формула для суми синусів двох кутів.

2-й спосіб.У попередньому параграфі було доведено формулу

Вважаючи в ній α = х + π / 2, β = у + π / 2, отримуємо:

Але за формулами наведення sin ( х+ π / 2) == cos x, sin (у + π / 2) = cos у;

Отже,

що й потрібно було довести.

Формулу (2) пропонуємо учням довести самостійно. Спробуйте знайти щонайменше двох різних способівдокази!

Вправи

1. Обчислити без таблиць, використовуючи формули для суми та різниці косінусів двох кутів:

а). cos 105 ° + cos 75 °. г). cos 11π / 12- cos 5π / 12..

б). cos 105 ° - cos 75 °. д). cos 15 ° -sin 15 °.

в). cos 11π / 12+ cos 5π / 12.. е). sin π / 12+ cos 11π / 12.

2 . Спростити дані вирази:

а). cos ( π / 3 + α ) + cos ( π / 3 - α ).

б). cos ( π / 3 + α ) - cos ( π / 3 - α ).

3. Кожна з тотожностей

sin α + cos α = \/ 2 sin ( α + π / 4)

sin α - cos α = \/ 2 sin ( α - π / 4)

довести щонайменше ніж двома різними способами.

4. Дані вирази подати у вигляді творів:

а). \/ 2 + 2cos α . в). sin x + cos y.

б). \/ 3 - 2 cos α . г). sin x - cos y.

5 . Спростити вираз sin 2 ( α - π / 8) - cos 2 ( α + π / 8) .

6 .Розкласти на множники дані вирази (№ 1156-1159):

а). 1 + sin α - cos α

б). sin α + sin (α + β) + sin β .

в). cos α + cos 2α+ cos 3α

г). 1 + sin α + cos α

7. Довести дані тотожності

8. Довести, що косинуси кутів α і β рівні тоді і лише тоді, коли

α = ± β + 2 nπ,

де n – деяке ціле число.

Формули наведення

Формули приведення дають можливість знаходити значення тригонометричних функцій для будь-яких кутів (а не лише гострих). З їхньою допомогою можна здійснювати перетворення, що спрощують вигляд тригонометричних виразів.

Малюнок 1.

Крім формул приведення під час вирішення завдань використовуються такі основні формули.

1) Формули одного кута:

2) Вираження одних тригонометричних функцій через інші:

Зауваження

У цих формулах перед знаком радикала має бути поставлений знак $"+"$ або $"-"$ залежно від того, в якій чверті знаходиться кут.

Сума та різницю синусів, сума та різницю косінусів

Формули суми та різниці функцій:

Крім формул суми та різниці функцій, при вирішенні завдань бувають корисні формули добутку функцій:

Основні співвідношення між елементами косокутних трикутників

Позначення:

$a$, $b$, $c$ - сторони трикутника;

$A$, $B$, $C$ - протилежні переліченим сторонам кути;

$p=\frac(a+b+c)(2) $ - напівпериметр;

$S$ - площа;

$R$ - радіус описаного кола;

$r$ - радіус вписаного кола.

Основні співвідношення:

1) $ frac (a) (sin A) = frac (b) (sin B) = frac (c) (sin C) = 2 cdot R $ - теорема синусів;

2) $a^(2) =b^(2) +c^(2) -2cdot bcdot ccdotcos A$ - теорема косінусів;

3) $ frac (a + b) (a-b) = frac (tg frac (A + B) (2)) (tg frac (A-B) (2)) $ - Теорема тангенсів;

4) $S=\frac(1)(2) \cdot a\cdot b\cdot \sin C=\sqrt(p\cdot \left(p-a\right)\cdot \left(p-b\right)\cdot \ left(p-cright)) = r cdot p = frac (a cdot b cdot c) (4 cdot R) $ - Формули площі.

Рішення косокутних трикутників

Рішення косокутних трикутників передбачає визначення всіх його елементів: сторін та кутів.

Приклад 1

Дано три сторони $a$, $b$, $c$:

1) у трикутнику для обчислення кутів можна застосовувати тільки теорему косінусів, так як тільки головне значення арккосинусу знаходиться в межах $ 0 \ le \ arccos x \ le + \ pi $, відповідних трикутнику;

3) знаходимо кут $B$, застосувавши теорему косінусів $\cos B=\frac(a^(2) +c^(2) -b^(2) )(2\cdot a cdot c) $, а потім обернену тригонометричну функцію $B=\arccos \left(\cos B\right)$;

Приклад 2

Дано дві сторони $a$, $b$ і кут $C$ між ними:

1) знаходимо бік $c$ за теоремою косінусів $c^(2) =a^(2) +b^(2) -2cdot acdot bcdotcosC$;

2) знаходимо кут $A$, застосувавши теорему косінусів $\cos A=\frac(b^(2) +c^(2) -a^(2) )(2\cdot b\cdot c) $, а потім зворотну тригонометричну функцію $A=\arccos \left(\cos A\right)$;

3) знаходимо кут $B$ за формулою $B=180()^\circ -\left(A+C\right)$.

Приклад 3

Дано два кути $A$, $B$ і сторона $c$:

1) знаходимо кут $C$ за формулою $C=180()^\circ -\left(A+B\right)$;

2) знаходимо бік $a$ за теоремою синусів $a=\frac(c\cdot \sin A)(\sin C) $;

3) знаходимо сторону $b$ по теоремі синусів $b=\frac(c\cdot \sin B)(\sin C) $.

Приклад 4

Дано сторони $a$, $b$ і кут $B$, що протилежить стороні $b$:

1) записуємо теорему косінусів $b^(2) =a^(2) +c^(2) -2cdot acdot ccdotcosB$, використовуючи задані величини; звідси отримуємо квадратне рівняння$c^(2) -\left(2\cdot a\cdot \cos B\right)\cdot c+\left(a^(2) -b^(2) \right)=0$ щодо сторони $c$ ;

2) вирішивши отримане квадратне рівняння, теоретично можемо отримати один із трьох випадків - два позитивні значення для сторони $c$, одне позитивне значеннядля сторони $c$; відсутність позитивних значень для сторони $c$; відповідно і завдання матиме два, одне або нуль розв'язків;

3) використовуючи конкретне позитивне значення сторони $c$, знаходимо кут $A$, застосувавши теорему косінусів $\cos A = frac(b^(2) +c^(2) -a^(2) )(2\cdot b\cdot c) $, а потім зворотну тригонометричну функцію $A=\arccos \left(\cos A\right)$;

4) знаходимо кут $ C $ за формулою $ C = 180 () ^ \ circ - \ left (A + B \ right) $.