Що називається осьовим перетином циліндра. Осьовий переріз. Площа повної поверхні циліндра

Стереометрія – це розділ геометрії, в якому вивчаються фігури у просторі. Основними фігурами у просторі є точка, пряма та площина. У стереометрії з'являється новий вид взаємного розташування прямих: прямі, що схрещуються. Це одна з небагатьох суттєвих відмінностей стереометрії від планіметрії, тому що в багатьох випадках завдання стереометрії вирішуються шляхом розгляду різних площин, в яких виконуються планиметричні закони.

У природі, що нас оточує, існує безліч об'єктів, які є фізичними моделями зазначеної фігури. Наприклад, багато деталей машин мають форму циліндра або є деяким їх поєднанням, а величні колони храмів і соборів, виконані у формі циліндрів, підкреслюють їх гармонію і красу.

Греч. − кюліндрос. Античний термін. У побуті – сувій папірусу, валик, ковзанка (дієслово – крутити, катати).

У Евкліда циліндр виходить обертанням прямокутника. У Кавальєрі – рухом утворюючої (при довільній напрямній – "циліндрика").

Мета цього реферату розглянути геометричне тіло – циліндр.

Для досягнення цієї мети необхідно розглянути такі завдання:

− дати визначення циліндра;

− розглянути елементи циліндра;

− вивчити властивості циліндра;

− розглянути види перерізу циліндра;

− вивести формулу площі циліндра;

− вивести формулу об'єму циліндра;

− розв'язати задачі з використанням циліндра.

1.1. Визначення циліндра

Розглянемо якусь лінію (криву, ламану або змішану) l, що лежить у деякій площині α, і деяку пряму S, що перетинає цю площину. Через усі точки даної лінії l проведемо прямі, паралельні прямий S; утворена цими прямими поверхня називається циліндричною поверхнею. Лінія l називається спрямовуючою цієї поверхні, прямі s 1 , s 2 , s 3 ,... − її утворюючими.

Якщо напрямна є ламаною, то така циліндрична поверхня складається з ряду плоских смуг, укладених між парами паралельних прямих, і називається призматичною поверхнею. Утворюючі, що проходять через вершини напрямної ламаною, називаються ребрами призматичної поверхні, плоскі смуги між ними її гранями.

Якщо розсікти будь-яку циліндричну поверхню довільною площиною, що не паралельна її утворює, то отримаємо лінію, яка також може бути прийнята за напрямну даної поверхні. Серед напрямних виділяється та, яка, виходить, від перерізу поверхні площиною, перпендикулярною до утворює поверхні. Такий переріз називається нормальним перерізом, а відповідна напрямна – нормальною напрямною.

Якщо напрямна − замкнута (опукла) лінія (ламана чи крива), то відповідна поверхня називається замкненою (опуклою) призматичною чи циліндричною поверхнею. З циліндричних поверхонь найпростіша має своєю нормальною напрямною коло. Розсічемо замкнуту опуклу призматичну поверхню двома площинами, паралельними між собою, але не паралельними утворюючим.

У перерізах отримаємо опуклі багатокутники. Тепер частина призматичної поверхні, укладена між площинами α і α", і дві багатокутні пластинки, що при цьому утворилися, в цих площинах обмежують тіло, зване призматичним тілом - призмою.

Циліндричне тіло - циліндр визначається аналогічно призмі:
Циліндром називається тіло, обмежене з боків замкненою (опуклою) циліндричною поверхнею, а з торців двома плоскими паралельними основами. Обидва підстави циліндра рівні, також рівні між собою і всі утворюють циліндра, тобто. відрізки утворюють циліндричної поверхні між площинами основ.

Циліндром (точніше, круговим циліндром) називається геометричне тіло, яке складається з двох кіл, що не лежать в одній площині і поєднуються паралельним переносом, і всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки цих кіл (рис. 1).

Кола називаються основами циліндра, а відрізки, що з'єднують відповідні точки кіл кіл, − утворюючими циліндра.

Так як паралельне перенесення є рух, то підстави циліндра рівні.

Оскільки при паралельному перенесенні площина перетворюється на паралельну площину (чи у собі), то циліндра підстави лежать у паралельних площинах.

Так як при паралельному перенесенні точки зміщуються по паралельним (або збігаються) прямим на одну і ту ж відстань, то у циліндра утворюють паралельні та рівні.

Поверхня циліндра складається з основ та бічної поверхні. Бічна поверхня складена з утворюючих.

Циліндр називається прямим, якщо його утворюють перпендикулярні до площин основ.

Прямий циліндр наочно можна уявити як геометричне тіло, яке описує прямокутник при обертанні його біля боку як осі (рис. 2).

Мал. 2 − Прямий циліндр

Надалі ми розглядатимемо лише прямий циліндр, називаючи його для стислості просто циліндром.

Радіусом циліндра називається радіус його основи. Висотою циліндра називається відстань між площинами його основ. Оссю циліндра називається пряма, що проходить через центри основ. Вона паралельна утворюючим.

Циліндр називається рівностороннім, якщо його висота дорівнює діаметру основи.

Якщо підстави циліндра плоскі (і, отже, площини, що їх містять, паралельні), то циліндр називають стоять на площині. Якщо підстави циліндра, що стоїть на площині, перпендикулярні до утворюючої, то циліндр називається прямим.

Зокрема, якщо основа циліндра, що стоїть на площині − коло, то говорять про круговий (круглий) циліндр; якщо еліпс – то еліптичному.

1. 3. Перетину циліндра

Перетин циліндра площиною, паралельної його осі, є прямокутником (рис. 3, а). Дві його сторони – утворюють циліндри, а дві інші – паралельні хорди основ.

а) б)

в) г)

Мал. 3 – Переріз циліндра

Зокрема, прямокутником є ​​осьовий переріз. Це − перетин циліндра площиною, що проходить крізь його вісь (рис. 3, б).

Перетин циліндра площиною, паралельною до основи − коло (рис 3, в).

Перетин циліндра площиною не паралельною до основи та його осі − овал (рис. 3г).

Теорема 1. Площина, паралельна площині основи циліндра, перетинає його бічну поверхнюпо колу, рівному колу основи.

Доведення. Нехай β – площина, паралельна площині основи циліндра. Паралельний перенесення в напрямку осі циліндра, що поєднує площину β з площиною основи циліндра, поєднує переріз бічної поверхні площиною з коло основи. Теорему доведено.

Площа бічній поверхні циліндра.

За площу бічної поверхні циліндра приймається межа, якого прагне площа бічної поверхні правильної призми, вписаної в циліндр, коли кількість сторін підстави цієї призми необмежено зросте.

Теорема 2. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює добутку довжини кола його основи на висоту (S бок.ц = 2πRH, де R - радіус основи циліндра, Н - висота циліндра).

а) б)
Мал. 4 − Площа бічної поверхні циліндра

Доведення.

Нехай P n та Н відповідно периметр основи та висота правильної n-вугільної призми, вписаної в циліндр (рис. 4, а). Тоді площа бічної поверхні цієї призми S бок. Тоді периметр P n прагне довжині кола З = 2πR, де R- радіус основи циліндра, а висота H не змінюється. Таким чином, площа бічної поверхні призми прагне межі 2πRH, тобто площа бічної поверхні циліндра дорівнює S бок.ц = 2πRH. Теорему доведено.

Повна поверхня циліндра.

Площею повної поверхні циліндра називається сума площ бічної поверхні та двох основ. Площа кожної основи циліндра дорівнює πR 2 , отже, площа повної поверхні циліндра S повний обчислюється за формулою S бок.ц = 2πRH+ 2πR 2 .

Мал. 5 − Площа повної поверхні циліндра

Якщо бічну поверхню циліндра розрізати по твірної FT (рис. 5, а) і розгорнути так, щоб усі утворювальні опинилися в одній площині, то в результаті ми отримаємо прямокутник FTT1F1, який називається розгорткою бічної поверхні циліндра. Сторона FF1 прямокутника є розгорткою кола основи циліндра, отже, FF1=2πR, яке сторона FT дорівнює твірної циліндра, т. е. FT = Н (рис. 5, б). Таким чином, площа FT∙FF1=2πRH розгортки циліндра дорівнює площі його бічної поверхні.

1.5. Об'єм циліндра

Якщо геометричне тіло просте, тобто допускає розбиття на кінцеве число трикутних пірамід, його обсяг дорівнює сумі обсягів цих пірамід. Для довільного тіла обсяг визначається в такий спосіб.

Дане тіло має об'єм V, якщо існує прості тіла, що містять його, і містяться в ньому прості тіла з об'ємами, скільки завгодно мало відрізняються від V.

Застосуємо це визначення знаходження об'єму циліндра з радіусом підстави R і висотою Н.

При виведенні формули для площі кола були побудовані такі два n-кутники (один - коло, другий - що міститься в колі), що їх площі при необмеженому збільшенні n необмежено наближалися до площі кола. Побудуємо такі багатокутники для кола в основі циліндра. Нехай Р – багатокутник, що містить коло, а Р” – багатокутник, що міститься у колі (рис. 6).

Мал. 7 − Циліндр із описаною та вписаною в нього призмою

Побудуємо дві прямі призми з основами Р і Р" і висотою Н, що дорівнює висоті циліндра. Перша призма містить циліндр, а друга призма міститься в циліндрі. Так як при необмеженому збільшенні n площі основ призм необмежено наближаються до площі основи циліндра S, то їх обсяги необмежено наближаються до SН, згідно з визначенням об'єм циліндра

V = SH = πR 2 H.

Отже, обсяг циліндра дорівнює добутку площі основи висоту.

Завдання 1.

Осьовий переріз циліндра – квадрат, площа якого Q.

Знайдіть площу основи циліндра.

Дано: циліндр, квадрат – осьовий переріз циліндра, S квадрата = Q.

Знайти: S осн.

Сторона квадрата дорівнює. Вона дорівнює діаметру основи. Тому площа основи дорівнює .

Відповідь: S осн.цил. =

Завдання 2.

У циліндр вписано правильну шестикутну призму. Знайдіть кут між діагоналлю її бічної грані та віссю циліндра, якщо радіус основи дорівнює висоті циліндра.

Дано: циліндр, правильна шестикутна призма, вписана в циліндр, радіус основи = висоті циліндра.

Знайти: кут між діагоналлю її бічної грані та віссю циліндра.

Рішення: Бічні грані призми – квадрати, оскільки сторона правильного шестикутника, вписаного в коло, дорівнює радіусу.

Ребра призми паралельні осі циліндра, тому кут між діагоналлю грані та віссю циліндра дорівнює куту між діагоналлю та бічним ребром. А це кут дорівнює 45°, оскільки грані – квадрати.

Відповідь: кут між діагоналлю її бічної грані та віссю циліндра = 45°.

Завдання 3.

Висота циліндра 6см, радіус основи 5см.

Знайдіть площу перерізу, проведеного паралельно осі циліндра на відстані 4 см від неї.

Дано: Н = 6см, R = 5см, ОЕ = 4см.

Знайти: S січ.

S січ. = КМ×КС,

ОЕ = 4 див, КС = 6 див.

Трикутник ОКМ - рівнобедрений (ОК = ОМ = R = 5 см),

трикутник ОЕК – прямокутний.

З трикутника ОЕК, за теоремою Піфагора:

КМ = 2ЕК = 2×3 = 6,

S січ. = 6×6 = 36 см 2 .

Мета даного реферату виконано, розглянуто таке геометричне тіло, як циліндр.

Розглянуто такі завдання:

− дано визначення циліндра;

− розглянуті елементи циліндра;

− вивчено властивості циліндра;

− розглянуті види перерізу циліндра;

− виведено формулу площі циліндра;

− виведено формулу об'єму циліндра;

− вирішені задачі з використанням циліндра.

1. Погорєлов А. В. Геометрія: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ, 1995.

2. Бескін Л.М. Стереометрія. Посібник для вчителів середньої школи, 1999.

3. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Кисельова Л. С., Позняк Е. Г. Геометрія: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ, 2000.

4. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рижик В.І. Геометрія: підручник для 10–11 класів загальноосвітніх установ, 1998.

5. Кисельов А. П., Рибкін Н. А. Геометрія: Стереометрія: 10 - 11 класи: Підручник та задачник, 2000.

Циліндром (прямим круговим циліндром)називається тіло, що складається з двох кіл (підстав циліндра), що поєднуються паралельним переносом, і всіх відрізків, що з'єднують відповідні при паралельному перенесенні точки цих кіл. Відрізки, що з'єднують відповідні точки кіл підстав, називаються утворюючими циліндра.

Ось інше визначення:

Циліндр- тіло, яке обмежене циліндричною поверхнею із замкнутою напрямною та двома паралельними площинами, що перетинають утворюють дану поверхню.

Циліндрична поверхня- Поверхня, яка утворюється рухом прямої лінії вздовж деякої кривої. Пряму називають утворюючої циліндричної поверхні, а криву лінію - напрямної циліндричної поверхні.

Бічна поверхня циліндра- Частина циліндричної поверхні, яка обмежена паралельними площинами.

Основи циліндра- частини паралельних площин, що відсікаються бічною поверхнею циліндра.

Мал.1 міні

Циліндр називається прямим(Див. Рис.1), якщо його утворюють перпендикулярні площинам основ. В іншому випадку циліндр називається похилим.

Круговий циліндр- Циліндр, основи якого є колами.

Прямий круговий циліндр (просто циліндр)- Це тіло, отримане при обертанні прямокутника навколо однієї з його сторін. Див. Рис.1.

Радіус циліндра- Радіус його заснування.

Утворююча циліндра- Утворює циліндричної поверхні.

Висотою циліндраназивається відстань між площинами основ. Оссю циліндраназивається пряма, що проходить через центри основ. Перетин циліндра площиною, що проходить через вісь циліндра, називається осьовим перетином.

Вісь циліндра паралельна його утворює і є віссю симетрії циліндра.

Площина, що проходить через утворює прямого циліндра і перпендикулярна до осьового перерізу, проведеного через цю утворювальну, називається дотичною площиною циліндра. Див. Рис.2.

Розгортка бічної поверхні циліндра- прямокутник зі сторонами, рівними висоті циліндра та довжині кола основи.

Площа бічної поверхні циліндра- Площа розгортки бічної поверхні. $$S_(сторона)=2\pi\cdot rh$$ , де h- Висота циліндра, а r- Радіус основи.

Площа повної поверхні циліндра- площа, яка дорівнює сумі площ двох основ циліндра та його бічної поверхні, тобто. виражається формулою: $ $ S_ (повний) = 2 \ pi \ cdot r ^ 2 + 2 \ pi \ cdot rh = 2 \ pi \ cdot r (r + h) $ $, де h- Висота циліндра, а r- Радіус основи.

Об'єм будь-якого циліндрадорівнює добутку площі основи на висоту: $$ V = S \ cdot h $ $ Об'єм круглого циліндра: $$V=\pi r^2 \cdot h$$ , де ( r- Радіус основи).

Призма є окремий вид циліндра (утворюючі паралельні бічним ребрам; напрямна - багатокутник, що лежить в основі). З іншого боку, довільний циліндр можна розглядати як призму, що виродилася («згладжена») з дуже великим числом дуже вузьких граней. Майже циліндр не відрізняється від такої призми. Усі властивості призми зберігаються й у циліндрі.

Циліндр – це симетрична просторова фігура, властивості якої розглядають у старших класах школи в курсі стереометрії. Для його опису використовують такі лінійні характеристики, як висота та радіус основи. У цій статті розглянемо питання щодо того, що таке осьовий переріз циліндра і як розрахувати його параметри через основні лінійні характеристики фігури.

Геометрична фігура

Спочатку дамо визначення фігурі, про яку піде мовау статті. Циліндр є поверхнею, утвореною паралельним переміщенням відрізка фіксованої довжини вздовж деякої кривої. Головною умовою цього переміщення є те, що відрізок площини кривої не повинен належати.

На малюнку нижче показаний циліндр, крива (напрямна) якого є еліпсом.

Тут відрізок довжиною h є його твірною і висотою.

Видно, що циліндр складається з двох однакових основ (еліпси в даному випадку), які лежать у паралельних площинах, та бічній поверхні. Останній належать усі точки утворюючих ліній.

Перед тим, як переходити до розгляду осьового перерізу циліндрів, розповімо, які типи цих фігур бувають.

Якщо утворююча лінія перпендикулярна підстав фігури, тоді говорять про прямий циліндр. В іншому випадку циліндр буде похилим. Якщо з'єднати центральні точки двох підстав, то пряма називається віссю фігури. Наведений малюнок демонструє різницю між прямим та похилим циліндрами.

Видно, що для прямої фігури довжина відрізка, що утворює, збігається зі значенням висоти h. Для похилого циліндра висота, тобто відстань між основами, завжди менша за довжину утворюючої лінії.

Осьовий переріз прямого циліндра

Осьовим називається будь-який переріз циліндра, який містить його вісь. Це визначення означає, що осьовий переріз завжди буде паралельно утворюючої лінії.

У прямому циліндрі вісь проходить через центр кола і перпендикулярна його площині. Це означає, що переріз коло буде перетинати по його діаметру. На малюнку показано половинку циліндра, яка вийшла в результаті перетину фігури площиною, що проходить через вісь.

Не складно зрозуміти, що осьовий переріз прямого круглого циліндра є прямокутником. Його сторонами є діаметр d основи та висота h фігури.

Запишемо формули для площі осьового перерізу циліндра та довжини h d його діагоналі:

Прямокутник має дві діагоналі, але обидві вони рівні один одному. Якщо відомий радіус основи, то не складно переписати ці формули через нього, враховуючи, що він вдвічі менший за діаметр.

Осьовий переріз похилого циліндра

Рисунок вище демонструє похилий циліндр, виготовлений із паперу. Якщо виконати його осьовий перетин, то вийде не прямокутник, а паралелограмм. Його сторони – це відомі величини. Одна з них, як і у разі перерізу прямого циліндра, дорівнює діаметру d основи, інша - довжина утворює відрізка. Позначимо її b.

Для однозначного визначення параметрів паралелограма недостатньо знати його довжину сторін. Потрібний ще кут між ними. Припустимо, що гострий кут між напрямною та основою дорівнює α. Він і буде кутом між сторонами паралелограма. Тоді формулу для площі осьового перерізу похилого циліндра можна записати так:

Діагоналі осьового перерізу похилого циліндра розрахувати трохи складніше. Паралелограм має дві діагоналі різної довжини. Наведемо без висновку вирази, що дозволяють розраховувати діагоналі паралелограма з відомих сторін і гострого кута між ними:

l 1 = √(d 2 + b 2 - 2*b*d*cos(α));

l 2 = √(d 2 + b 2 + 2*b*d*cos(α))

Тут l 1 і l 2 - довжини малої та великої діагоналей відповідно. Ці формули можна отримати самостійно, якщо розглянути кожну діагональ вектор, ввівши прямокутну систему координат на площині.

Завдання з прямим циліндром

Покажемо, як використовувати отримані знання для вирішення наступного завдання. Нехай дано круглий прямий циліндр. Відомо, що осьовий переріз циліндра – квадрат. Чому дорівнює площа цього перерізу, якщо всієї фігури становить 100 см2?

Для обчислення потрібної площі необхідно знайти або радіус, або діаметр основи циліндра. Для цього скористаємося формулою для загальної площі S f фігури:

Оскільки перетин осьовий являє собою квадрат, це означає, що радіус r основи в два рази менше висоти h. З огляду на це можна переписати рівність вище у вигляді:

S f = 2 * pi * r * (r + 2 * r) = 6 * pi * r 2

Тепер можна виразити радіус r, маємо:

Оскільки сторона квадратного перерізу дорівнює діаметру основи фігури, для обчислення його площі S буде справедлива наступна формула:

S = (2 * r) 2 = 4 * r 2 = 2 * S f / (3 * pi)

Ми бачимо, що потрібна площа однозначно визначається площею поверхні циліндра. Підставляючи дані на рівність, приходимо до відповіді: S = 21,23 см 2 .

Циліндрична поверхня m Деяка пряма m рухаючись вздовж кривої описує циліндричну поверхню. Якщо ця крива - замкнута, то описується замкнута циліндрична поверхня. Якщо замкнута крива має форму кола, описується круговий циліндр. Якщо пряма m перпендикулярна до площини кривої, то описується прямий круговий циліндр. Види циліндрів. Циліндром називається тіло, яке складається з двох кіл, що не лежать в одній площині і поєднуються паралельним переносом, і всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки цих кіл. Циліндр Циліндр можна отримати обертанням прямокутника навколо прямої, що містить будь-яку його сторону Елементи циліндра. Радіусом циліндра називається радіус його основи. Висотою циліндра називається відстань між площинами його основ. Оссю циліндра називається пряма, що проходить через центри основ. Властивості циліндра. 1) Підстави рівні та паралельні. 2) Всі утворювальні циліндри паралельні і рівні один одному Розгортка циліндра Бічна поверхня циліндра розгортається у прямокутник, одна сторона якого є висотою циліндра, а інша довжиною кола основи Рівностороннім циліндром називається циліндр осьовим перетином якого є квадрат Перетину циліндра. Перетин циліндра площиною, паралельної осі - прямокутник. Дві його сторони - утворюють циліндра, а дві інші - паралельні хорди основ. Перетин циліндра, що проходить через вісь циліндра називається осьовим перетином і є прямокутником. Площина, паралельна площині основи циліндра, перетинає його бічну поверхню по колу, рівному колу основи. Якщо площина має з бічною поверхнею загальну пряму, то ця площина називається дотичною. Лінією торкання є утворююча циліндра Повна та бічна поверхні циліндра Бічна поверхня циліндра прямокутник, одна сторона якого висота циліндра, а інша довжина кола. Повна поверхня циліндра складається з двох кіл та бічної поверхні. L H 2 RH S бічний поверхню циліндра і S кола R 2 R 2 RH 2 R (R H) 2 S кола S бічний S повною поверхнею циліндра 2 і поверхня циліндра 2 і Об'єм циліндра Об'єм циліндра дорівнює добутку площі підстави на висоту циліндра. V S основи V R 2 H H Поясніть, що таке прямий круговий циліндр? Що таке радіус, висота, що утворює і вісь циліндра? Що таке осьовий переріз циліндра? Який циліндр називається рівностороннім? Що є перетином циліндра площиною перпендикулярної осі циліндра? Що розуміємо під бічною та повною поверхнею циліндра? Як знайти бічну та повну поверхню циліндра? ЕЛЕМЕНТИ ЦИЛІНДРУ Завдання 1. Осьовий переріз циліндра – квадрат, площа якого Q. Знайдіть площу основи циліндра. Дано: циліндр, осьовий перетин - квадрат Sсіч = Q Знайти: Sосн = Sкруга Рішення: Задача 2. Бічна поверхня циліндра розгортається в квадрат площею 4 см2. Знайти повну поверхню та об'єм циліндра. Прийняти 3 Н lкруга Дано: циліндр Sкв. = 4см2 Знайти: Sп.п., Vцил. Рішення: Лабораторно-практична робота Тема: Циліндр 1. Визначення, властивості. 2. Малюнок, розміри мм. 3. Обчислити: а) площу основи б) бічну поверхню циліндра. в) повну поверхню циліндра. г) об'єм циліндра. Завдання Діагональ осьового перерізу дорівнює 48см. Кут між діагоналлю та утворює циліндра дорівнює 60o. Знайти 1) висоту циліндра; 2) радіус циліндра; 3) Sосн Висота циліндра дорівнює 8см, радіус дорівнює 5см. Знайдіть площу перерізу площиною, паралельною його осі, якщо відстань між цією площиною і віссю циліндра дорівнює 3см. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює S. Знайдіть площу осьового перерізу циліндра. Циліндр отриманий обертанням квадрата зі стороною α навколо однієї з його сторін. Знайдіть площу: 1) осьового перерізу циліндра; 2) повної поверхні циліндра Циліндр Оригінальність в дизайні та архітектурі Завдання: На скільки збільшити об'єм камери згоряння двигуна автомобіля ГАЗ-53, якщо діаметр поршня 10 см, а хід поршня 9 см? Рішення V=пR2H: V=3,14 52 9=706,5 (cm3) Завдання Визначити ємність масляного бака насоса гідропідсилювача автомобіля ЗІЛ130, якщо діаметр його 126 мм, а висота 140 мм. Рішення V=пR2H=3,14. 3969. 140 = 174477,24