Дужки в математиці, їх види та призначення. Подвійні дужки в російській мові правила Дві дужки, що закривають, поспіль

У розділі питання Чи можна ставити дужки всередині дужок? заданий автором RedBlueSpotнайкраща відповідь це так. але моя порада: "старайтеся не зловживати дужками, тому що це веде до будівництва однотипних пропозицій і може заплутати перевіряючого".

Відповідь від Дюк містер[гуру]
я тобі скажу (якщо тебе це звичайно цікавить (ну раз уже ти запитав те повинно (а то я почуватиму себе дурнем))) що дужок можна (якщо ви неросійський дужко-мен) ставити хоч (або тільки) Мільйон (а може два)
просто це не красиво, і йде сильне відволікання від теми. самі бачите. а так законів нема в російській мові про дужки, я бачив у Толстого до трьох в одному реченні. але млинець там і пропозиції рядків у шістнадцять і дар слово, що все красиво...

Відповідь від Європоїдний[гуру]
Так можна, чому ні те:) все правильно написав:)

Відповідь від Косогір[гуру]
Скобок можна скільки завгодно. Це тільки лапки можуть бути тільки одні (ну, всередині лапок можна відкривати скільки завгодно прямих промов (тільки закривати (якщо вам потрібно відразу дві (і більше) промов закрити) можна все одно лише одними))
Захопилася я дужками.
"Захопилася я дужками," - сказала я.
Тут було написано: "Захопилася я дужками," - сказала я.
Так, крапка (тільки крапка!!!) ставиться після лапок, і не до.

Дужки

Парний розділовий знак, який ставиться:

а) для виділення слів, що вставляються в пропозицію з метою пояснення або доповнення думки, що висловлюється, а також внесення будь-яких додаткових зауважень ( див.вставні конструкції). Цезар (так авали лева у звіринці) спить і тихо верещить уві сні(Купрін);

б) виділення слів, що виражають ставлення слухачів до чиїхось промови. (Оплески.) (Рух у залі.);

в) за вказівкою на джерело цитати. Згадалися слова Базарова: "Природа не храм, а майстерня, і людина у ній працівник"(Тургенєв);

г) виділення ремарок у драматичних творах. (Е п і х о д о в:) Я піду. (Натикається на стілець, що падає.) (Чехов).

Словник-довідник лінгвістичних термінів. Вид. 2-ге. - М: Просвітництво. Розенталь Д. Е., Тєлєнкова М. А.. 1976 .

Дивитись що таке "дужки" в інших словниках:

Парний розділовий знак для виділення окремих слів або частин речення, що містять пояснення до основного тексту. У математиці використовуються позначення порядку виконання математичних процесів. Бувають круглі (), квадратні СКОБЛІКОВА. Великий Енциклопедичний словник

дужки- (Square brackets, Parantheses, Angle brackets, Braces) Парні розділові знаки. Бувають квадратні, круглі, кутові (ламані), фігурні (парантези). Застосовуються у формульному наборі та для виділень у тексті … Шрифтова термінологія

дужки- - Тематики електрозв'язок, основні поняття EN parentheses … Довідник технічного перекладача

У цього терміна існують інші значення, див. Дужки (значення). Сюди перенаправляються запити:) та деякі інші, що починаються з двокрапки. Про них див. статтю смайлик. () Назва символу Дужки Юнікод U+0028 29 HTML … Вікіпедія

Парний розділовий знак для виділення окремих слів або частин речення, що містять пояснення до основного тексту. У математиці використовуються позначення порядку виконання математичних процесів. Розрізняють дужки круглі (), … Енциклопедичний словник

«ДУЖКИ»- En.: Parentheses 1. Гіпноз дозволяє ізолювати окремі психологічні функції, «їх ніби вдається взяти в дужки». Іншими словами, можна досягти тимчасового «зависання» певної психічної активності на користь іншого її виду. Пацієнту… Новий гіпноз: глосарій, принципи та метод. Введення в еріксонівську гіпнотерапію

1) парний розділовий знак, що складається з двох вертикальних рис: круглих О, квадратних, або прямих, фігурних, або парантезів, ( ). Вживається виділення слів, частин речення чи речень, містять додаткові… … Велика Радянська Енциклопедія

Розділовий знак. Взяття фрагмента пропозиції у дужки означає виділення його як додаткову інформацію (вставну конструкцію): «І щовечора, в годину призначений / (Чи це тільки сниться мені?) / Дівочий стан, шовками схоплений, / В… … Літературна енциклопедія

багато. Письмові чи друковані знаки (зазвичай парні), службовці для відокремлення будь-якої частини тексту, а математиці для позначення порядку виконання дій. Тлумачний словник Єфремової. Т. Ф. Єфремова. 2000 … Сучасний тлумачний словник Єфремової

дужки, дужки, дужки, дужки, дужки, дужки (

A = (x y z) (\displaystyle \mathbf(a) =(\begin(pmatrix)x\y\zend(pmatrix)))) A ^ = (x y z v); (\displaystyle (\hat (A))=(\begin(pmatrix)x&y\z&v\end(pmatrix));) Cnk = (nk). (\displaystyle C_(n)^(k)=(n \choose k).)

Круглі дужки в математиці використовуються для виділення аргументів функції: w = f (x) + g (y, z), (\ displaystyle w = f (x) + g (y, z) \,)для позначення відкритого/сегменту та в деяких інших контекстах. Іноді круглими дужками позначається скалярний твір векторів:

(тут наведено три різні варіанти написання, що зустрічаються в літературі) і змішаний (потрійний скалярний) твір :

Круглі дужки в математиці використовуються також для вказівки періоду позиційного подання раціонального числа, що нескінченно повторюється, наприклад

При позначенні діапазону чисел круглі дужки позначають, що числа, що знаходяться по краях множини, не включаються до цієї множини. Тобто запис А = (1;3) означає, що до множини включені числа, які 1(відкритий) інтервал .

Дужки (зазвичай круглі, як у цьому реченні) вживаються як знаки? Розпинання в природних мовах. У російській вживаються виділення пояснювального слова чи вставного речення. Наприклад: Орловське село (ми говоримо про східну частину Орловської губернії) зазвичай розташоване серед розораних полів, поблизу яру, абияк перетвореного на брудний ставок (І. Тургенєв).Непарна дужка, що закриває, може використовуватися при нумерації пунктів перерахування, наприклад: 1) перший пункт; 2) другий.

Квадратні дужки

Фігурні дужки

Фігурними дужками в одних математичних текстах позначається операція взяття дробової частини, в інших - вони застосовуються для позначення пріоритету операцій, як третій рівень вкладеності (після круглих і квадратних дужок). Фігурні дужки застосовують для позначення множин. Одинарна фігурна дужка поєднує системи рівнянь чи нерівностей. У математиці та класичній механіці фігурними дужками позначається оператор спеціального виду, званий дужками Пуасона : (f, g). (\displaystyle \(f,g\)\,.)Як було зазначено вище, іноді фігурними дужками позначають антикоммутатор.

У вікі-розмітці та деяких мовах розмітки веб-шаблонів (Django , Jinja) подвійні фігурні дужки ((…)) застосовуються для шаблонів і вбудованих функцій і змінних, одинарні у певних випадках формують таблиці.

У програмуванні фігурні дужки є або операторними (Сі, C++, Java, Perl і PHP), або коментарем (Паскаль), можуть також служити для створення списку (Mathematica), анонімного хеш-масиву (в Perl, в інших позиціях для доступу до елементу хеша), словника (Python) або безлічі (Сетл).

Кутові дужки

У математиці кутовими дужками позначають скалярний твір в передгільбертовому просторі, наприклад:

У квантовій механіці кутові дужки використовуються як так звані бра і кет (від англ. bracket - дужка), введених П. А. М. Діраком для позначення квантових станів (векторів) і матричних елементів. При цьому квантові стани позначаються як | ψ ⟩ (\displaystyle |\psi \rangle)(кет-вектор) та ⟨ ψ | (\displaystyle \langle \psi |)(бра-вектор), їх скалярний твір як ⟨ ψ k | ψ l ⟩ , (\displaystyle \langle \psi _(k)|\psi _(l)\rangle ,)матричний елемент оператора Ау певному базисі як ⟨ k | A | l ⟩. (\displaystyle \langle k|A|l\rangle .)

Крім того, у фізиці кутовими дужками позначають усереднення (за часом або іншим безперервним аргументом), наприклад, ⟨ f (t) ⟩ (\displaystyle \langle f(t)\rangle )- Середнє значення за часом від величини f.

Друкарня

В ASCII -текстах (у тому числі HTML / XML і програмуванні) для запису кутових дужок використовують схожі за написанням парні знаки арифметичних, відносин і нерівності. < і > .

У друкарні ж кутові дужки h i (\displaystyle (\mathcal (hi)))є самостійними символами. Від < і > їх можна відрізнити по більшому кутку між сторонами - ⟨ ⟩ (\displaystyle \langle \rangle )і <>(\displaystyle<>} .

У Τ Ε Χ для запису кутових дужок використовуються команди \langle і \rangle.

У стандартній пунктуації китайської, японськоїта корейської мов використовується кілька додаткових видів дужок, включаючи шеврони(англ. chevron), схожі за написанням з кутовими дужками - для горизонтальної 〈 і 〉 або 《 і 》 (в японській мові дозволено використання як знака лапки 「」) та традиційного вертикального друку – ︿ і ﹀ або ︽ і ︾ . Слід зазначити, що в сучасному японському друку широко використовуються дужки європейського зразка (), як і арабські цифри. В одному з проектів реформації японської мови навіть було запропоновано [

Скрізь. Скрізь і всюди, куди не глянь, зустрічаються такі конструкції:

Ці «конструкції» у грамотних людей викликають неоднозначну реакцію. Як мінімум типу «невже так – правильно?».
Взагалі, особисто я не можу зрозуміти, звідки пішла «мода» не закривати зовнішні лапки. Перша і єдина аналогія, що приходить з цього приводу - аналогія з дужками. Ніхто не сумнівається, що дві дужки поспіль - це нормально. Наприклад: "Сплатити весь тираж (200 шт. (З них 100 - шлюб))". А ось у нормальності постановки двох лапок поспіль хтось засумнівався (цікаво, хто перший?)… І тепер усі поголовно стали з чистою совістю плодити конструкції на кшталт ТОВ "Фірма "ПупковЪ і Ко".
Але навіть якщо ви в житті не бачили правила, про яке йтиметься трохи нижче, то єдиним логічно обґрунтованим варіантом (на прикладі дужок) був би наступний: ТОВ "Фірма "ПупковЪ і Ко"".
Отже, безпосередньо правило:
Якщо на початку або в кінці цитати (те ж стосується прямої мови) зустрічаються внутрішні і зовнішні лапки, то вони повинні відрізнятися між собою малюнком (так звані «ялинки» і «лапочки»), причому зовнішні лапки не повинні опускатися, наприклад: борти пароплава передали по радіо: «„Ленінград“ увійшов у тропіки і слідує далі своїм курсом». Про Жуковського Бєлінський пише: «Сучасники юності Жуковського дивилися нею переважно як у автора балад, й у одному своєму посланні Батюшков називав його «баладником»».
© Правила російської орфографії та пунктуації. – Тула: Автограф, 1995. – 192 с.
Відповідно... якщо у вас немає можливості набрати лапки-«ялинки», то, що вже поробиш, доведеться користуватися такими значками. Однак, неможливість (або небажання) використовувати російські лапки аж ніяк не є причиною, через яку можна не закривати зовнішні лапки.

Таким чином з невірністю констукції ТОВ "Фірма "ПупковЪ і Ко" начебто розібралися. Зустрічаються ще конструкції виду ТОВ "Фірма "ПупковЪ і Ко".
З правила цілком зрозуміло, що й такі конструкції неписьменні... (Правильно: ТОВ «Фірма „ПупковЪ і Ко“)

Проте!
У «Довіднику видавця та автора» А. Е. Мільчина (видання 2004 року) зазначено, що можна використовувати два варіанти оформлення у подібних випадках. Використання «ялинок» та «лапок» та (за відсутності технічних засобів) використання тільки «ялинок»: двох відкриваючих та однієї закриваючої.
Довідник це «свіжий» і особисто у мене тут відразу виникає 2 питання. По-перше, з якою все ж таки радості можна використовувати одну закриваючу лапку-ялинку (ну нелогічно це, див. вище), а по-друге, особливо привертає увагу фраза «за відсутності технічних засобів». Це як, вибачте? Ось відкрийте Notepad і наберіть там «тільки ялинки: дві, що відкривають, і одну, що закриває». На клавіатурі таких символів немає. Надрукувати «ялинку» не виходить... Поєднання Shift + 2 видає знак " (який, як відомо, і лапкою-то не є). А тепер відкрийте Microsoft Word і знову натисніть Shift + 2. Програма виправить " на « (або » ). Що ж, виходить що правило, що існувало не один десяток років, взяли і переписали під Microsoft Word? Мовляв, якщо ворд з "Фірма "ПупковЪ і Ко" робить "Фірма "ПупковЪ і Ко", то нехай тепер це буде допустимо і коректно???
Схоже, що так. А якщо це так, то є всі підстави засумніватися у правильності такого нововведення.

Так, і ще одне уточнення... про ту саму «відсутність технічних засобів». Справа в тому, що на будь-якому комп'ютері з Windows завжди є "технічні засоби" для введення і "ялинок", і "лапок", так що це нове "правило" (для мене воно - саме в лапках) неправильно спочатку!

Всі спеціальні символи шрифту можна легко набрати, знаючи відповідний номер цього символу. Достатньо затиснути Alt та набрати на NumLock-клавіатурі (NumLock натиснутий, індикаторна лампочка горить) відповідний номер символу:

„Alt + 0132 (ліва «лапка»)
Alt + 0147 (права «лапка»)
«Alt + 0171 (ліва «ялинка»)
» Alt + 0187 (права «ялинка»)

У цій статті ми поговоримо про дужки в математиці, Розберемося, які їх види використовуються, і для чого вони використовуються. Спочатку ми перерахуємо основні види дужок, введемо їх позначення та терміни, якими ми користуватимемося при описі матеріалу. Після цього перейдемо до конкретики, і на прикладах розбиратимемося, де і які дужки застосовуються.

Навігація на сторінці.

Основні види дужок, позначення, термінологія

У математиці знайшли застосування кілька видів дужок, і вони, звичайно ж, набули свого математичного змісту. В основному в математиці використовуються три види дужок: круглі дужки, яким відповідають знаки (і), квадратні [і], а також фігурні дужки (і). Однак зустрічаються і дужки іншого виду, наприклад, зворотні квадратні ] і [ , або дужки у вигляді куточка і > .

Дужки в математиці в більшості випадків використовуються парами: що відкриває кругла дужка (з відповідною їй закриває круглою дужкою), що відкриває квадратна дужка [з закриває квадратною дужкою], нарешті, що відкриває фігурна дужка (і фігурна дужка, що закриває). Але трапляються й інші їх комбінації, наприклад, (і) або [і). Парні дужки містять у собі деяке математичне вираз, і змушують розглядати його як якусь структурну одиницю, або як частину якогось більшого математичного виразу.

Що стосується непарних дужок, то найчастіше зустрічаються одиночна фігурна дужка виду ( , Що являє собою знак системи і позначає перетин множин, а також одиночна дужка квадратна [ , Що позначає об'єднання множин.

Отже, з позначками та назвами дужок визначилися, можна переходити до варіантів їх застосування.

Дужки для вказівки порядку виконання дій

Одне з призначень дужок у математиці полягає у зазначенні порядку виконання дій або зміні прийнятого порядку дій. Для цього в основному використовуються в парі круглі дужки, в які полягає вираз, що є частиною вихідного виразу. При цьому спочатку слід виконати дії в дужках згідно з прийнятим порядком (спочатку множення і розподіл, а потім додавання і віднімання), після чого виконати всі інші дії.

Наведемо приклад, який пояснює, як за допомогою дужок явно вказати на те, які дії потрібно виконувати в першу чергу. Вираз без дужок 5+3−2 передбачає, що спочатку 5 складається з 3 після чого від отриманої суми віднімається 2 . Якщо вихідному вираженні поставити круглі дужки так (5+3)−2 , то порядку виконання дій нічого не зміниться. А якщо дужки будуть поставлені наступним чином 5+(3-2) , то спочатку слід обчислити різницю в дужках, після чого скласти 5 отриману різницю.

А тепер наведемо приклад постановки дужок, які дозволяють змінити ухвалений порядок виконання дій. Наприклад, вираз 5+2·4 передбачає, що спочатку буде виконано множення 2 на 4 а потім буде виконано додавання 5 з отриманим твором 2 і 4 . Абсолютно ті ж дії передбачає і вираз зі дужками 5+(2·4). Однак, якщо дужки поставити так (5+2)·4 , то спочатку потрібно буде обчислити суму чисел 5 і 2 , після чого отриманий результат множити на 4 .

Слід зазначити, що у виразах можуть бути кілька пар дужок, що вказують порядок виконання дій, наприклад, (4+5·2)−0,5:(7−2):(2+1+12). У записаному виразі спочатку виконуються дії у першій парі дужок, потім у другій, потім у третій, після чого всі інші дії згідно з прийнятим порядком.

Більш того, можуть бути дужки в дужках, дужки в дужках у дужках і так далі, наприклад, . У цих випадках дії виконуються спочатку у внутрішніх дужках, потім у дужках, що містять внутрішні дужки і так далі. Іншими словами дії виконуються, починаючи з внутрішніх дужок, поступово просуваючись до зовнішніх дужок. Так вираз передбачає, що спочатку будуть виконані дій у внутрішніх дужках, тобто, від 6 буде відібрано число 3 , потім 4 буде помножено на обчислену різницю і до результату буде додано число 8 так буде отримано результат у зовнішніх дужках, і, нарешті, отриманий результат буде поділено на 2 .

На листі часто використовують дужки різного розміру, це робиться для того, щоб наочно відрізняти внутрішні дужки від зовнішніх. При цьому зазвичай використовують внутрішні дужки меншого розміру, ніж зовнішні, наприклад, . Для цих цілей іноді пари дужок виділяють різними кольорами, наприклад, (2+2· (2+(5·4−4) ) )·(6:2−3·7)·(5−3). А іноді, переслідуючи ті ж цілі, поряд з круглими дужками використовують квадратні, а при необхідності і фігурні дужки, наприклад, ·7 або {5++7−2}: .

На закінчення цього пункту хочеться сказати, що дуже важливо перед виконанням дій у виразі правильно розібрати пари дужки, що вказують порядок виконання дій. Для цього слід озброїтися кольоровими олівцями, і почати перебирати дужки зліва направо, помічаючи їх парами згідно з таким правилом.

Як тільки буде знайдена перша дужка, що закриває, то її і найближчу до неї ліворуч відкриває дужку слід позначити яким-небудь кольором. Після цього потрібно продовжити рух вправо до наступної непоміченої дужки, що закриває. Як тільки вона буде знайдена, то слід помітити її і найближчу до неї непомічену дужку, що відкриває, іншим кольором. І так далі продовжувати рух праворуч, поки не будуть помічені всі дужки. До цього правила лише слід додати, що й у вираженні є дроби, то зазначене правило треба застосовувати спочатку висловлювання в чисельнику, потім висловлювання в знаменнику, після чого рухатися далі.

Негативні числа у дужках

Інше призначення круглих дужок відкривається при появі та необхідності запису виразів з ними. Негативні числа у виразах укладають у круглі дужки.

Наведемо приклади записів з негативними числами в дужках: 5+(−3)+(−2)·(−1) , .

Як виняток негативне число не полягає в дужці, коли воно йде першим зліва числом у виразі, а також першим зліва числом у чисельнику або знаменнику дробу. Наприклад, у виразі −5·4+(−4):2 перше від'ємне число −5 записано без дужок; у знаменнику дробу перше ліворуч число −2,2 також не укладено у дужки. Допустимі і записи з дужками виду (−5)·4+(−4):2 та . Тут слід зазначити, що записи з дужками є суворішими, тому що вирази без дужок іноді допускають різні трактування, наприклад, −5·4+(−4):2 можна розуміти як (−5)·4+(−4): 2 або як −(5·4)+(−4):2 . Так що при складанні виразів не варто «прагнути мінімалізму» і не укладати в дужки негативне число, що йде зліва.

Все сказане в цьому пункті вище стосується і змінних, ступенів, коренів, дробів, виразів у дужках та функцій, перед якими стоїть знак мінус – вони також полягають у круглі дужки. Ось приклади таких записів: 5·(−x) , 12:(−2 2) , , .

Дужки для виразів, з якими виконуються дії

Круглі дужки також використовуються для вказівки виразів, з якими проводяться будь-які дії, чи це зведення в ступінь, взяття похідної тощо. Поговоримо про це докладніше.

Дужки у виразах зі ступенями

Вираз, що є показником, не обов'язково брати у дужки. Це пояснюється надрядковим записом показника. Наприклад, із запису 2 x+3 зрозуміло, що є підставою, а вираз x+3 – показником ступеня. Однак, якщо ступінь позначається за допомогою знака, то вираз, що відноситься до показника ступеня, доведеться взяти в дужки. У цих позначеннях останній вираз запишеться як 2(x+3) . Якби не поставили дужки, записавши 2^x+3 , це означало б 2 x +3 .

Дещо інакше йде справа з підставою ступеня. Зрозуміло, що не має сенсу брати в дужки підставу ступеня, коли вона є нулем, натуральним числом або будь-якою змінною, тому що в будь-якому випадку буде ясно, що показник ступеня відноситься саме до цієї основи. Наприклад, 03,5x2+5, y0,5.

Але коли основою ступеня є дробове число, негативне число або деяке вираз, його потрібно укладати в круглі дужки. Наведемо приклади: (0,75) 2 , , , .

Якщо не взяти в дужки вираз, який є підставою ступеня, то залишиться лише здогадуватися, що показник відноситься до всього виразу, а не до окремого чи його змінної. Для пояснення цієї думки візьмемо ступінь, основою якої є сума x 2 + y , а показником число -2 цього рівня відповідає вираз (x 2 + y) -2 . Якби ми не взяли в дужки основу, то вираз виглядав би так x 2 + y -2, звідки видно, що ступінь -2 відноситься до змінної y, а не до виразу x 2 + y.

На закінчення цього пункту зауважимо, що для ступенів, основами яких є тригонометричні функції або, а показником є, прийнята особлива форма запису – показник записується після sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg, log, ln або lg . Наприклад наведемо такі висловлювання sin 2 x , arccos 3 y , ln 5 e і . Ці записи фактично означають (sin x) 2 , (arccos y) 3 , (lne) 5 та . До речі, останні записи з укладеними в дужки підставами також допустимі і можуть використовуватися нарівні із зазначеними раніше.

Дужки у виразах з корінням

Не треба укладати в дужки вирази під знаком радикала (), тому що його верхня риса виконує їхню роль. Так вираз по суті означає.

Дужки у виразах із тригонометричними функціями

Негативні числа і вирази, що стосуються або , часто доводиться укладати в круглі дужки, щоб було зрозуміло, що функція застосовується саме до цього виразу, а не до чогось ще. Наведемо приклади записів: sin(−5) , cos(x+2) , .

Існує одна особливість: після sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg і arcctg не прийнято записувати в дужки числа та вирази, якщо зрозуміло, що функції застосовуються саме до них, і не виникає двозначностей. Так не обов'язково укладати в дужки поодинокі невід'ємні числа, наприклад, sin 1 arccos 0,3 змінні, наприклад sin x arctg z дроби, наприклад, , коріння та ступеня, наприклад, і т.п.

І ще в тригонометрії особняком стоять кратні кути x, 2 x, 3 x, …, які чомусь теж не прийнято записувати в дужках, наприклад, sin 2x, ctg 7x, cos 3α і т.п. Хоча не буде помилкою, а часом і краще, зазначені вирази писати з дужками, щоб уникнути можливих двозначностей. Наприклад, що означає запис sin2 x:2? Погодьтеся, запис sin(2·x):2 набагато зрозуміліше: чітко видно, що два ікс відносяться до синуса, і синус двох ікс ділиться на 2 .

Дужки у виразах з логарифмами

Числові вирази та вирази зі змінними, з якими проводиться логарифмування, при записі полягають у круглі дужки, наприклад, ln(e −1 +e 1) , log 3 (x 2 +3·x+7) , lg((x+ 1) · (x-2)) .

Дужки можна не ставити, коли однозначно зрозуміло, до якого виразу чи числа застосований логарифм. Тобто, дужки необов'язково ставити, коли під знаком логарифму знаходиться позитивне число, дріб, ступінь, корінь, якась функція тощо. Ось приклади таких записів: log 2 x 5 , , .

Дужки в межах

Дужки використовуються при роботі з . Під знаком межі потрібно записувати в круглих дужках вирази, що становлять суми, різниці, твори або приватні. Наведемо приклади: та .

Дужки можна не ставити, якщо зрозуміло, якого виразу відноситься знак межі lim , наприклад, і .

Дужки та похідна

Круглі дужки знайшли своє застосування під час опису процесу. Так у дужки береться вираз, за ​​яким слідує знак похідної. Наприклад, (x+1)' або .

Підінтегральні вирази у дужках

Круглі дужки отримали застосування при . У круглі дужки береться підінтегральний вираз, що є деякою сумою або різницею. Наведемо приклади: .

Дужки, що відокремлюють аргумент функції

Круглі дужки в математиці посіли своє місце у позначенні функцій зі своїми аргументами. Так функція змінної x записується як f(x) . Аналогічно в дужках перераховуються і аргументи функцій кількох змінних, наприклад, F(x, y, z, t) - функція F чотирьох змінних x, y, z і t.

Дужки в періодичних десяткових дробах

Для позначення періоду прийнято використовувати круглі дужки. Наведемо кілька прикладів.

У періодичному десятковому дробі 0,232323 ... період становлять дві цифри 2 і 3 період полягає в круглі дужки, і записується один раз з моменту його появи: так отримуємо запис 0, (23) . Ось ще приклад періодичного десяткового дробу: 5,35 (127).

Дужки для позначення числових проміжків

Для позначення використовуються пари дужок чотирьох видів: (), (], [) та . Усередині цих дужок через точку з комою або через кому вказуються два числа - спочатку менше, потім більше, що обмежують числовий проміжок. Кругла дужка, прилегла до числа, означає, що це число не включено в проміжок, а квадратна - що число включене. Якщо проміжок пов'язаний із нескінченністю, то із символом нескінченності ставлять круглу дужку.

Для пояснення наведемо приклади числових проміжків з усіма видами дужок у тому позначенні: (0, 5) , [−0,5, 12) , , , (−∞, −4] , (−3, +∞) , (−∞, +∞) .

У деяких книгах можна зустріти позначення числових проміжків, у яких замість круглої дужки (використовується зворотна квадратна дужка), а замість дужки – дужка [ . У цих позначеннях запис ]0, 1[ еквівалентна запису (0, 1) . Аналогічно 0, 1] відповідає запис (0, 1].

Позначення систем та сукупностей рівнянь та нерівностей

Для запису , а також систем рівнянь і нерівностей використовують одиночну фігурну дужку виду ( . При цьому рівняння та/або нерівності записуються в стовпчик, а ліворуч вони оздоблюються фігурною дужкою.

На прикладах, як використовується фігурна дужка для позначення систем. Наприклад, - система двох рівнянь з однією змінною, - система двох нерівностей із двома змінними, а - Система двох рівнянь та однієї нерівності.

Фігурна дужка системи означає мовою множин перетин. Так система рівнянь насправді є перетин рішень цих рівнянь, тобто, всі загальні рішення. А для позначення об'єднання використовується знак сукупності у вигляді фігурної, а квадратної дужки.

Отже, сукупності рівнянь і нерівностей позначаються аналогічно до систем, тільки замість фігурної дужки записується квадратна [ . Наведемо кілька прикладів запису сукупностей: та .

Часто системи та сукупності можна побачити в одному виразі, наприклад, .

Фігурна дужка для позначення шматкової функції

У позначенні шматкової функціївикористовується одиночна фігурна дужка, ця дужка містить визначальні функції формули із зазначенням відповідних числових проміжків. Як приклад, що ілюструє як записується фігурна дужка в позначенні шматкової функції, можна навести функцію модуля: .

Дужки для вказівки координат точки

Круглі дужки знайшли застосування і за позначення координат точки. У круглих дужках записуються координати точок на , площині і в тривимірному просторі, а також координати точок в n-мірному просторі.

Наприклад, запис А(1) означає, що точка А має координату 1, а запис Q(x, y, z) – що точка Q має координати x, y та z.

Дужки для перерахування елементів множини

Одним із способів опису безлічіє перерахування його елементів. При цьому елементи множини записують у фігурних дужках через кому. Наприклад наведемо безліч А=(1, 2,3, 4) , з наведеного запису можна сказати, що складається з трьох елементів, якими є числа 1 , 2,3 і 4 .

Дужки та координати векторів

Коли вектори починають розглядати у певній системі координат, виникає поняття . Один із способів їх позначення має на увазі перерахування координат вектора по черзі у дужках.

У підручниках для учнів шкіл можна зустріти два варіанти позначення координат векторів, вони відрізняються тим, що в одному використовуються фігурні дужки, а в іншому – круглі. Ось приклади позначення векторів на площині: або ці записи означають, що вектор a має координати 0 , −3 . У тривимірному просторі вектори мають три координати, які вказуються в дужках поруч із назвою вектора, наприклад, або .

У вищих навчальних закладах поширеніше інше позначення координат вектора: над назвою вектора часто не ставиться стрілочка або рисочка, після назви з'являється знак рівно, після чого в круглих дужках по черзі через кому записуються координати. Наприклад, запис a=(2, 4, −2, 6, 1/2) є позначенням вектора у п'ятивимірному просторі. А іноді координати вектора записуються в дужках і стовпчик, для прикладу наведемо вектор у двовимірному просторі .

Дужки для вказівки елементів матриць

Дужки знайшли своє застосування і при перерахуванні елементів матриць. Елементи матриць найчастіше записуються всередині парних круглих дужок. Для наочності наведемо приклад: . Однак іноді замість круглих дужок використовуються квадратні. Щойно записана матриця A у цих позначеннях набуде наступного вигляду: .

Список літератури.

• Математика. 6 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Н. Я. Віленкін та ін.]. - 22-ге вид., Випр. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.
• Погорєлов А. В.Геометрія: Навч. для 7-11 кл. середовищ. шк.- 2-ге вид.- М.: Просвітництво, 1991.- 384 з.: ил.- ISBN 5-09-003385-4.
• Геометрія, 7-9: навч. для загальноосвіт. установ/[Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев та ін]. - 18-е вид. - М.: Просвітництво, 2008. - 384 с.: Іл. - ISBN 978-5-09-019109-8.
• Руденко В. Н., Бахурін Г. А.Геометрія: Проб. підручник для 7-9 кл. середовищ. шк. / За ред. А. Я. Цукаря. - М.: Просвітництво, 1992. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-004214-4.