Natural sonlar. Natural sonlar qatori Barcha natural sonlar

Natural raqamlar tushunish uchun eng qadimgi matematik raqamlardan biridir.

Uzoq o'tmishda odamlar raqamlarni bilmas edilar va ob'ektlarni (jonzotlar, baliqlar va boshqalar) qayta ishlash kerak bo'lganda, badbo'y hid ularni darhol bezovta qilmagan.

Ular bir qator narsalarni tananing qismlari bilan, masalan, qo'llaridagi barmoqlari bilan taqqoslab, shunday dedilar: "Menda qo'llarimdagi barmoqlar soni shunchalik ko'p".

Yillar davomida odamlar besh no'xat, besh no'xat va besh quyon yashirin kuchga ega ekanligini tushunishdi - ularning soni qadimgi davrlarga juda o'xshash.

Eslab qoling!

Natural sonlar- 1 dan boshlanadigan bu raqamlar predmetlar tartibida topiladi.

1, 2, 3, 4, 5…

Eng kichik natural son — 1 .

Eng katta natural son Men uxlay olmayman.

Qachon rahunku, nol vikorized emas. Shuning uchun natural son sifatida nol muhim emas.

Odamlar raqamlarni yozishni ancha keyinroq o'rgandilar, ammo unchalik yaxshi emas. Ilgari, hidlar bitta tayoq bilan, keyin ikkita tayoq bilan - 2 raqami, uchta - 3 raqami bilan ifodalana boshladi.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Keyin raqamlarni belgilash uchun maxsus belgilar paydo bo'ldi - kundalik raqamlarning o'tmishdoshlari. Biz raqamlarni yozish uchun ishlatadigan raqamlar Hindistonda taxminan 1500 yil oldin ixtiro qilingan. Arablar ularni Yevropaga olib kelishgan, shuning uchun ularni chaqirishadi Arab raqamlari.

O'nta raqam mavjud: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Qo'shimcha raqamlar uchun siz istalgan natural sonni yozishingiz mumkin.

Eslab qoling!

Tabiiy seriyalar- Bu barcha natural sonlar ketma-ketligi:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

Tabiiy qatorda teri soni oldingisidan 1 ga yuqori.

Tabiiy qator uzluksiz emas, hech bir qatorda eng katta natural son mavjud emas.

Raxunku (raqamlar) tizimi, biz bilganimizdek, deyiladi o'ninchi pozitsiya.

Teri toifasining 10 birligi eng yuqori toifadagi 1 birlikka teng ekanligiga o'nta. Raqamning qiymati uning yozilish darajasiga qarab, raqam yozuvidagi o'rnida joylashganligi pozitsiondir.

Muhim!

Milliardlab sinflardan keyingi qadamlar raqamlarning lotincha nomlariga ko'ra nomlanadi. Teri oldidagi mingdan qasos olish uchun biriga hujum qiladi.

• 1 000 milliard = 1 000 000 000 000 = 1 trillion (“uch” – lotincha “uch”)
• 1 000 trillion = 1 000 000 000 000 000 = 1 kvadrillion (“quadra” – lotincha “chotiri”)
• 1 000 kvadrillion = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 kvintilion (“quinta” – lotincha “besh”)

Biroq, fiziklar butun Koinotdagi barcha atomlarning (nutqning eng keng tarqalgan zarralari) sonini ifodalovchi raqamni topdilar.

Bu raqam maxsus nomga sabab bo'ldi. googol. Googol - bu 100 nolga ega bo'lgan raqam.

Natural sonlar tarixi erta soatlarda boshlangan. Qadim zamonlardan beri odamlar narsalarni qadrlashadi. Masalan, savdo tovarlarni saqlashni yoki materialni saqlashni talab qiladi. Ammo hayotimda men ham nutqni, ovqatni va noziklikni saqlash imkoniyatiga ega bo'ldim. Boshidanoq raqamlar faqat kundalik hayotda, amalda, matematikaning rivojlanishi fanning bir qismi bo'lgunga qadar ishlatilgan.

Natural sonlar- Bu raqamlar buyumlarni yig'ishda vikorystvoe.

Masalan: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ….

Nol natural sonlar uchun hisoblanmaydi.

Barcha natural sonlar yoki natural sonlarning koʻpaytmalari N belgisi bilan koʻrsatilgan.

Natural sonlar jadvali.

Tabiiy seriyalar.

O'sish tartibida yozilgan natural sonlar tasdiqlangan tabiiy qator yoki yana natural sonlar qatori.

Tabiiy seriyaning kuchi:

• Eng kichik natural son bitta.
• Tabiiy qator ham oldingidan birma-bir kattaroq raqamga ega. (1, 2, 3, …) Bir vaqtning o'zida uchta nuqta va uchta nuqta qo'yiladi, chunki raqamlar ketma-ketligini bajarish mumkin emas.
• Tabiiy qator eng katta raqamga ega emas, lekin cheksizdir.

1-misol:
Birinchi 5 ta natural sonni yozing.
Qaror:
Natural sonlar bittadan boshlanadi.
1, 2, 3, 4, 5

2-misol:
Nol natural sonmi?
Versiya: yo'q.

№3 dumba:
Tabiiy qatorda birinchi raqam qanday?
Isbot: tabiiy qator bittadan boshlanadi.

№4 dumba:
Natural qatorda qolgan son qancha? Eng katta natural sonni ayting?
Maslahat: Tabiiy seriya bittadan boshlanadi. Agar siz oldinda yana bitta raqamni o'ylab topsangiz, qolgan raqamni bilmaysiz. Eng katta raqam yo'q.

№5 dumba:
Natural qatordagi birinchi raqam qaysi?
Isbot: yo'q, chunki bitta tabiiy qatordagi birinchi raqam.

6-sonli dumba:
Natural qatordagi quyidagi sonni ayting: a)5, b)67, c)9998.
Versiya: a)6, b)68, c)9999.

№7 dumba:
Sonlar orasidagi natural qatorda nechta son bor: a) 1 va 5, b) 14 va 19.
Qaror:
a) 1, 2, 3, 4, 5 - uchta raqam 1 va 5 raqamlari o'rtasida kesishadi.
b) 14, 15, 16, 17, 18, 19 - 14 va 19 raqamlari o'rtasida bir nechta raqamlar almashinadi.

8-sonli dumba:
11 raqamidan keyingi birinchi raqamni nomlang.
Versiya: 10.

9-sonli dumba:
Elementlarni taqsimlash uchun qanday raqamlar mavjud?
Misol: natural sonlar.

Sahifani navigatsiya qilish:

Viznachennya. Natural sonlar- Raxunku uchun ishlatiladigan raqamlar: 1, 2, 3, …, n, …

Ma'nosiz natural sonlar odatda belgi bilan ifodalanadi N(lot. naturalis- tabiiy).

O'ninchi sanoq sistemasidagi natural sonlar qo'shimcha o'n raqamdan keyin yoziladi:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Muborak natural sonlar - ê hech qanday shaxsiyatsiz buyurtma qilingan, keyin. Har qanday m va n natural sonlar uchun quyidagi munosabatlardan biri to‘g‘ri bo‘ladi:

• yoki m = n (m i n),
• yoki m > n (m n dan katta),
• yoki m< n (m меньше n ).

• Eng kam tabiiy raqam - bir (1)
• Eng katta natural son yo'q.
• Nol (0) natural son emas.

Natural sonlar sonidan n sonining chap tomonida turgan son deyiladi oldingi raqamga n, va o'ngda turgan raqam chaqiriladi n ga qadam qo‘yaylik.

Natural sonlar ustida amallar

Natural sonlar ustidagi yopiq amallar (natural sonlardan kelib chiqadigan amallar) oldidan quyidagi arifmetik amallar kiritiladi:

• Dodavannya
• ko'paytirish
• Faollashtirmoq a b, de a - asosiy qadam va b - ko'rsatish bosqichi. Baza va ko'rsatkich natural sonlar bo'lgani uchun natija natural son bo'ladi.

Bundan tashqari, yana ikkita operatsiya ko'rib chiqiladi. Rasmiy nuqtai nazardan, natural sonlar ustida amallar o'rtasida farq bor, chunki ularning natijasi har doim natural son bo'ladi.

• Vídnimannya(Ushbu o'zgarish bilan dumbalar ko'proq paydo bo'ladi)
• Podil

Sinf va bo'shatish

Rank - bu raqam yozuvidagi raqamning pozitsiyasi (pozitsiyasi).

Eng past daraja - o'ngdagi. Katta daraja eng yuqori hisoblanadi.

Butt:

5 - bir, 0 - o'nlab, 7 - yuzlab,
2 - ming, 4 - o'n ming, 8 - yuz ming,
3 - millionlar, 5 - o'n millionlar, 1 - yuz millionlar

O'qish qulayligi uchun natural sonlar har bir o'ng qo'l odamda uchta raqamdan iborat guruhlarga bo'linadi.

Sinf- O'ng qo'lda bo'lishni boshlagan uchta raqamdan iborat guruh, bu raqam qanday bo'linadi. Qolgan sinf uch, ikki yoki bitta raqamdan iborat bo'lishi mumkin.

• Birinchi sinf - bir sinf;
• Boshqa sinf - ming sinf;
• Uchinchi sinf - millionlar sinfi;
• To'rtinchi sinf - milliardlar sinfi;
• Beshinchi sinf - trillion sinf;
• Oltinchi sinf - kvadrillionlar (kvadrillonlar) sinfi;
• Somy sinfi – kvintilyonlar sinfi (kvintilyonlar);
• Sakkizinchi sinf - sekstilion sinfi;
• To'qqizinchi sinf - Septillion sinfi;

Butt:

34 - milliard 456 million 196 ming 45

Natural sonlar darajasi

1. Turli raqamlardan natural sonlarni tekislash

   Ko'proq natural sonlar bor, ularning soni ko'proq

2. Raqamlar soni teng bo'lgan natural sonlarni tenglashtirish

   Raqamlarni eng yuqori tartibdan boshlab raqam bo'yicha tenglashtiring. Bundan tashqari, eng yuqori bitta nomli toifada kim ko'proq birliklarga ega bo'lsa

Butt:

3466 346 - mana shunday 3466 raqami 4 ta raqamdan, 346 soni esa 3 ta raqamdan iborat.

34666 < 245784 - demak 34666 soni 5 ta raqamdan, 245784 soni esa 6 ta raqamdan iborat.

Butt:

346 667 670 52 6 986

346 667 670 56 9 429

Natural sonlarning har biri ko'proq raqamlarga ega, chunki 6 > 2.

Viznachennya

Natural sonlar Raqamlar deb ataladi, ular o'xshash ob'ektlar orasiga ob'ektning seriya raqamini joylashtirish uchun ishlatiladi.

Masalan. Natural sonlar: $2,37,145,1059,24411$ bo'ladi.

O'sish tartibida yozilgan natural sonlar sonlar qatorini hosil qiladi. Vín eng kichik 1 raqamidan boshlanadi. Barcha natural sonlar soni $N=\(1,2,3, \dots n, \ldots\)$. Eng katta natural son degan narsa yo'q. Agar biron-bir natural songa bitta qo'shsangiz, natural son ayiriladi va shu sondan keyin keladi.

dumba

Zavdannya. Qanday raqamlar tabiiy hisoblanadi?

$$-89; 7; \frac(4)(3); 34; 2; o'n bir; 3.2; \sqrt(129); \sqrt(5)$$

Tasdiqlash. $7 ; 34 ; 2 ; 11$

Natural sonlar mavjud bo'lmaganda ikkita asosiy arifmetik amal kiritiladi - qo'shish va ko'paytirish. Ushbu operatsiyalarni ko'rsatish uchun belgilar alohida ishlatiladi " + " і " " (yoki " × " ).

Natural sonlarni qo'shish

Har bir $n$ va $m$ natural sonlar juftligi $s$ natural soni bilan bogʻlangan boʻlib, u yigʻindi deb ataladi. $s$ miqdori qancha $n$ va $m$ raqamlari mavjud bo'lsa, shuncha birlikdan iborat. $s$ miqdori haqida $n$ va $m$ sonlarini qoʻshish natijasida olinganligi aytiladi va yozing.

$n$ va $m$ raqamlari dodanklar deb ataladi. Natural sonlarni qo'shish amali quyidagi kuchga ega:

1. Kommutativlik: $n+m=m+n$
2. Assotsiatsiya: $(n+m)+k=n+(m+k)$

Raqamlarni qo'shish bo'yicha hisobotni o'qing.

dumba

Zavdannya. Raqamlar yig'indisini toping:

$13+9 \quad$ i $ \to'rt 27+(3+72)$

Qaror. $13+9=22$

Boshqa miqdorni hisoblash, hisobni soddalashtirish uchun biz uning oldiga assotsiativlik kuchini qo'yamiz:

$$27+(3+72)=(27+3)+72=30+72=102$$

Tasdiqlash.$13+9=22 \to'rt;\to'rt 27+(3+72)=102$

Natural sonlarni ko'paytirish

$n$ va $m$ natural sonlarining har bir tartiblanishi $r$ natural soniga tayinlanadi, bu ularning yaratilishi deb ataladi. $r$ ning umumiy soni $n$ sonidagi qancha birlik bo'lsa, $m$ sonida qancha bo'lsa, shuncha ko'p marta olinadi. $r$ soni haqida $n$ va $m$ sonlarini koʻpaytirish natijasida nima hosil boʻlishini koʻrsating va yozing.

$n \cdot m=r \quad $ yoki $ \quad n \times m=r$

$n$ va $m$ sonlari koʻpaytuvchi va koʻpaytuvchi deyiladi.

Natural sonlarni ko'paytirish amali quyidagi kuchga ega:

1. Kommutativlik: $n \cdot m=m \cdot n$
2. Uyushma: $(n\cdot m)\cdot k = n\cdot (m\cdot k)$

Raqamlarni ko'paytirish bo'yicha hisobotni o'qing.

dumba

Zavdannya. Bir nechta raqamlarni toping:

12$\cdot 3 \quad $ i $ \quad 7 \cdot 25 \cdot 4$

Qaror. Quyidagi operatsiyalar ko'paytiriladi:

$12 \cdot 3=12+12+12=36$$

Boshqa yaratilgunga qadar, assotsiativ ko'payishning intensivligi to'xtab qoladi:

$7 \cdot 25 \cdot 4=7 \cdot(25 \cdot 4)=7 \cdot 100=700$$

Tasdiqlash.$12 \cdot 3=36 \quad;\quad 7 \cdot 25 \cdot 4=700$

Natural sonlarni qo‘shish va ko‘paytirish amali ko‘paytirishning taqsimlanish qonuni bilan bog‘liq:

$$(n+m) \cdot k=n \cdot k+m \cdot k$$

Har qanday ikkita natural sonning yig'indisi va yig'indisi har doim natural son bo'ladi, shuning uchun barcha natural sonlar qo'shish va ko'paytirish amallari orqali yopiladi.

Shuningdek, natural sonlar mavjud bo‘lmaganda ayirish va bo‘lish amallarini qo‘shish va ko‘paytirish amallariga qaytarish amallari kabi bajarish mumkin. Biroq, bu amallar har qanday natural sonlar juftligi uchun yagona aniqlanmaydi.

Natural sonlarni assotsiativ ko‘paytirish kuchi natural sonning natural darajasi tushunchasini kiritish imkonini beradi: $m$ natural sonining $n$-chi darajasi ko‘paytirishdan olingan $k$ natural soni deb ataladi. $m$ sonining o'zi $n$ marta:

$m$ raqamining $n$-darajasining qiymati uchun Vikoriyda quyidagi yozuv ishlatiladi: $m^(n)$, buning uchun $m$ raqami deyiladi. oyoqqa turing, va $n$ soni sahna ko'rsatuvchisi.

dumba

Zavdannya.$2^(5)$ virazaning qiymatini toping

Qaror. Natural sonning qiymati uchun natural sonning qiymatini quyidagicha yozish mumkin:

$$2^(5)=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=32$$

Matematika juda ko'p sonli turli xil raqamlarga ega: faol, murakkab, maqsadlar, oqilona, ​​irratsional, ... kundalik hayot Biz ko'pincha natural sonlarga tayanamiz, shuning uchun biz ularni ob'ektlar sonini hisoblash bilan bog'laymiz.

Bilan aloqada

Barcha raqamlar natural sonlar deyiladi

O'nta raqam bilan siz mutlaqo istalgan miqdordagi sinflar va darajalarni yozishingiz mumkin. Tabiiy ma'nolar hisobga olinadi, qanday vikorizatsiya qilish kerak:

• Har qanday narsalarni almashtirish uchun (birinchi, ikkinchi, uchinchi, ... beshinchi, ... o'ninchi).
• Belgilangan miqdordagi ob'ektlar bilan (bir, ikki, uch ...)

N maqsad uchun muhim va ijobiydir. Asosiy N yo'q va ko'pchilik qiymatlar chegaralanmagan.

Hurmat! Natural sonlar jismlarning tuzilishini yoki ularning miqdorlarining qiymatlarini bildiradi.

Mutlaqo har qanday raqam qo'shimchalar shaklida qo'yilishi va taqdim etilishi mumkin, masalan: 8.346.809 = 8 million + 346 ming + 809 birlik.

Bezlich N

Muborak N ko‘plikda qatnashadi faol, foydali va ijobiy. Xushbo'y hidlarning ko'pligi diagrammasida bittadan bitta, tabiiy moddalarning bo'laklari qismlarga bo'lingan.

Natural sonlar soni N harfi bilan ko'rsatilgan. Bu ko'plik boshlanishi, lekin oxiri emas.

Ko'paytiruvchi N ham kengaytiriladi va nol kiritiladi.

Eng kichik natural son

Ko'pgina matematika maktablarida eng past N qiymatlari mavjud yolg'iz hurmatga sazovor, Ob'ektlarning umumiyligi imkon qadar kamroq hisobga olinadi.

Chet el matematika maktablarida, masalan, frantsuz tilida bu tabiiy hisoblanadi. Bir qator nollarning mavjudligini tasdiqlash osonroq bo'ldi ba'zi teoremalar.

Nolni o'z ichiga olgan N qiymat seriyasi kengaytma deb ataladi va N0 (nol indeks) belgisi bilan ko'rsatiladi.

Natural sonlar qatori

N qator - barcha N sonlar to'plamining ketma-ketligi. Bu ketma-ketlikning oxiri yo'q.

Tabiiy qatorning o'ziga xosligi shundaki, endi bu raqam avvalgisidan bittaga ko'payadi, shuning uchun u o'sib boradi. Ale ma'nosi salbiy bo'lishi mumkin emas.

Hurmat! Malumot uchun qulaylik uchun bu erda sinflar va tushirishlar:

• Birlar (1, 2, 3),
• O'nlab (10, 20, 30),
• Yuzlar (100, 200, 300),
• Minglab (1000, 2000, 3000),
• O'n minglab (30 000),
• Yuz minglab (800 000),
• Millioni (4000000) va boshqalar.

Usi N

Hamma N.lar koʻp faol, yaxlit, manfiy boʻlmagan maʼnolarga ega. ê í̈x hidlaydi ombor.

Bu qiymatlar nomuvofiqlikka o'tadi, ular millionlar, milliardlar, kvintilionlar va boshqalar sinflariga tegishli bo'lishi mumkin.

Masalan:

• Beshta olma, uchta kochin,
• O'n rubl, o'ttiz zaytun,
• Yuz kilogramm, uch yuz kitob,
• Bir million yulduz, uch million odam va boshqalar.

N ketma-ketligi

Turli matematik maktablarda N ketma-ketlikka ega bo'lgan ikkita interval mavjud:

noldan plyus cheksizlikgacha, shu jumladan uchlar va birdan ortiqcha cheksizlikgacha, shu jumladan uchlar, hammasi turning ijobiy maqsadlari.

N raqamlar to'plami ham erkak, ham ayol bo'lishi mumkin. Keling, juftlanmaganlik tushunchasini ko'rib chiqaylik.

Juftlanmaganlar (juft bo'lmaganlar 1, 3, 5, 7, 9 raqamlari bilan tugaydimi) ikkitadan ortig'i bor. Masalan, 7:2 = 3,5, 11:2 = 5,5, 23:2 = 11,5.

Bolalar N nimani anglatadi?

Har qanday bolalar yig'indisi raqamlar bilan tugaydi: 0, 2, 4, 6, 8. Agar N bolalarni 2 ga bo'lsangiz, ortiqcha bo'lmaydi va natijada to'liq o'yin bo'ladi. Masalan, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

Muhim! N harfi bilan raqamlar qatorini faqat yigitlar va juftlashtirilmagan qiymatlardan hosil qilish mumkin emas, badbo'y hidning bo'laklari aybdor: yigit har doim juft bo'lmagan, yigitni yana yigit kuzatib boradi va hokazo.

Quvvat N

Boshqa barcha ko'plik kabi, ular o'z kuchini, ayniqsa kuchini sarflaydilar. Keling, N kuchini ko'rib chiqaylik past (kengaytirilmagan).

• Eng kichik bo'lgan va boshqalarga ergashmaydigan ma'nolar bir xil.
• N ê mustahkamligi, keyin bitta tabiiy ma'no boshqa yonida(krim bir - yaxshiroq).
• Agar daraja va sinflarning N yig‘indisi (qo‘shiladigan, ko‘paytiriladigan) bo‘yicha hisoblash amallarini bajarsak, u holda tur yana tabiiy ravishda chiqing ahamiyati.
• Hisoblashda siz almashtirish va almashtirishdan foydalanishingiz mumkin.
• Qadamdagi teri old tomondan kichikroq bo'lishi mumkin emas. Shuningdek, N qator quyidagi qonunga ega: agar A soni kichikroq bo'lsa, u holda sonlar qatorida har doim C bo'ladi, buning uchun tenglama adolatli: A+C=B.
• Agar ikkita tabiiy ifodani, masalan, A va B ni olsak, ular uchun ifodalardan biri o'rinli bo'ladi: A = B, A ko'p, A B dan kichik.
• Agar B kamroq va Z kamroq bo'lsa, yulduz suzadi, nima kamroq.
• Agar A kichik bo'lsa, keyingi narsa: agar siz ularga bir xil iborani (C) qo'shsangiz, A + C B + C dan kichik bo'ladi. Agar qiymatlarni Z ga ko'paytirsangiz, u holda to'g'ri. AC AB dan kichik.
• Agar A Z dan katta bo'lsa, u to'g'ri: B-A C-A dan kichik.

Hurmat! Barcha operatsion tengsizliklar teskari yo'nalishda qayta tiklandi.

Komponentlar va ko'paytmalar nima deb ataladi?

Ko'pgina oddiy va murakkab vazifalarda virusning mavjudligi maktab o'quvchilarining ongida yotadi.

Tez va to'g'ri ko'paytirish va tenglamaning aylanishini hisobga olish uchun ko'paytirishning tarkibiy qismlarini bilish kerak.

15. 10 = 150. Bu virus 15 va 10 ga ega ê multiplikatorlari, va 150 - tvorog bilan.

Vazifalar, tenglik va tengsizliklarni hal qilishda zarur bo'lgan ko'p kuch mavjud:

• Ko'paytirgichlarni qayta joylashtirish turi o'zgarmaydi.
• Noma'lum ko'paytuvchini topish uchun namunani ma'lum ko'paytiruvchiga bo'lish kerak (barcha ko'paytiruvchilarga to'g'ri).

Masalan: 15 . X = 150. Qattiq jismni ko'paytiruvchiga bo'ling. 150: 15 = 10. Keling, buni tekshirib ko'raylik. 15 . 10 = 150. Bu tamoyilga amal qilinadi katlanadigan chiziqli kamar(ularni kechirish uchun).

Muhim! Qattiq jism kamida ikkita multiplikatorda hosil bo'lishi mumkin. Masalan: 840 = 2 . 5. 7. 3. 4

Matematikada natural sonlar nima?

Natural sonlarni razryadlash va tasniflash

Visnovok

Keling, sumkalarni olib kelaylik. N vikorystvayutsya qachon rahunku va ob'ektlar belgilangan soni. Tabiiy sonlar to'plami cheksizdir, lekin darajalar va sinflarning ham butun, ham musbat yig'indilarini o'z ichiga oladi. Ko'paytirish uchun ham zarur elementlarni saqlash uchun, shuningdek, muvozanat, muvozanat va turli xil ishonchsizliklar uchun.