วิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ใช้ อธิบาย และอธิบาย วิธีแก้ไขทฤษฎีบทพีทาโกรัส Pythagoras

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส- หนึ่งในทฤษฎีบทหลักของเรขาคณิตแบบยุคลิดซึ่งกำหนดเป็นพิเศษ

ระหว่างด้านข้างของ Tricot รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

เป็นสิ่งสำคัญที่ Pythagoras นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกนำมาเพื่อเป็นเกียรติแก่เขาซึ่งได้รับการตั้งชื่อตามเขา

สูตรทางเรขาคณิตของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

กลับไปที่ซัง ทฤษฎีบทของ Boule ถูกกำหนดขึ้นในระดับที่ไม่เหมาะสม:

สำหรับ tricot แบบตัดตรง, พื้นที่ของสี่เหลี่ยม, pobudovanogo บนด้านตรงข้ามมุมฉาก, ผลรวมเพิ่มเติมของพื้นที่สี่เหลี่ยม,

ตื่นขึ้นมาบนสายสวน

สูตรพีชคณิตของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ใน Tricot แบบตัดตรง กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะมากกว่าผลรวมของกำลังสองของความยาวของขา

Tobto รู้ความยาวของความดันเลือดต่ำของ tricutnik ผ่าน คและ dozhini cathetiv ผ่าน กі ข:

สูตรที่ขุ่นเคือง ทฤษฎีบทปีทาโกรัสเทียบเท่า แต่สำหรับอีกสูตรหนึ่งเป็นพื้นฐานมากกว่าไม่ใช่

ฉันต้องเข้าใจพื้นที่ ความแน่วแน่อื่นนั้นย่อมบิดเบี้ยวได้, ไม่รู้อะไรเกี่ยวกับบริเวณนั้น

vimіryavshiเท่านั้น dozhini storіn pryamokutny trikutnik

ทฤษฎีบทกลับของพีทาโกรัส

ถ้ากำลังสองของด้านหนึ่งของไตรโคตเท่ากับผลบวกของกำลังสองของอีกสองด้าน ดังนั้น

Tricutnik เป็นเส้นตรง

Abo กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

สำหรับจำนวนบวกสามเท่า ก, ขі ค, ดังนั้น

іsnuє rectocut tricutnik іzขา กі ขด้านตรงข้ามมุมฉากนั้น ค.

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับไตรโคตเท่ากัน-ต้นขา

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ในขณะนี้ การพิสูจน์ทฤษฎีบท 367 รายการได้รับการบันทึกไว้ในเอกสารทางวิทยาศาสตร์ อีโมเวียร์โน, ทฤษฎีบท

ปีทาโกรัสที่มีทฤษฎีบทเดียวพร้อมการพิสูจน์จำนวนมาก ใช้ raznomanittya

สามารถอธิบายได้ด้วยความหมายพื้นฐานของทฤษฎีบทเรขาคณิตเท่านั้น

ทำความเข้าใจ แนวคิดสามารถแบ่งออกเป็นชั้นเรียนจำนวนน้อย ค้นหาบางส่วนของพวกเขา:

พิสูจน์ วิธีพื้นที่, ความจริงі บทพิสูจน์ที่แปลกใหม่(ตัวอย่างเช่น,

เพื่อขอความช่วยเหลือ อัตราส่วนต่าง).

1. การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วยกลอุบาย

การพิสูจน์สูตรพีชคณิตที่กำลังจะเกิดขึ้นเป็นการพิสูจน์ที่ง่ายที่สุด

โดยปราศจากตัวกลางที่มีสัจพจน์ Zokrema จะไม่ได้รับชัยชนะในการทำความเข้าใจพื้นที่ของตัวเลข

มาเร็ว เอบีซีє tricout ตัดตรงด้วยการตัดตรง ค. ลองวาดความสูงจาก คและที่สำคัญ

її zasnuvannya ผ่าน ชม.

ตรีคุตนิก อชคล้ายกับไตรคุตนิก เอบีสามคุทามิ ไตรโครตในทำนองเดียวกัน ซีบีเอชคล้ายกัน เอบีซี.

แนะนำการกำหนด:

พวกเรายอมรับ:

,

คุณคิดอย่างไร -

สลาฟชิ ก 2 นั่น ข 2 เรายอมรับ:

มิฉะนั้นสิ่งที่จำเป็นต้องนำมา

2. การยืนยันทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยพื้นที่เส้นทาง

พิสูจน์ให้ต่ำลง ไม่ว่าจะง่ายแค่ไหน แต่ก็ไม่ง่ายขนาดนั้น กลิ่นเหม็นทั้งหมด

ชนะพลังของพื้นที่ พิสูจน์การพับบางส่วนเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

• พิสูจน์ความเท่าเทียมกัน

Roztashuemo chotiri เสมอกัน

trikutnik ดังนั้นตามที่แสดงในตัวเล็ก

มือขวา

โชติกฤคุตนิกพร้อมด้วยฝ่าย ค- สี่เหลี่ยม,

ผลรวมoskіlkiของสอง gostrih kutіv 90 °และ

ตัดบาน - 180 °

พื้นที่ของตัวเลขทั้งหมดมีสุขภาพดีจากด้านหนึ่ง

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านเท่า ( เอ+บี) และจากอีกด้านหนึ่ง ผลรวมของพื้นที่ chotiriokh trikutnikov i

เอาอะไรมา.

3. การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยวิธีเล็กอนันต์

​

มองไปที่เก้าอี้นวม โชว์เจ้าตัวเล็ก และ

ปกป้องการเปลี่ยนข้างกเราสามารถ

จดวันที่ต่อไปอย่างไม่มีกำหนด

มาลิช เพิ่มขึ้นด้านข้างชม.і ก(ชัยชนะคล้ายกับ

ไตรคุตนิคอฟ):

วิธี Vikoristovuyuchi podіlu zminnyh เรารู้:

Greater global virase ความดันเลือดต่ำเปลี่ยนแปลงในส่วนต่างของ catheter ทั้งสอง:

การบูรณาการข้อมูล ชัยชนะซัง ความคิด เราจะ:

ในลำดับนี้เรามาที่ Bazhan vіdpovіdі:

ไม่สำคัญว่าจำนวนที่ผิดกำลังสองของสูตรที่เหลือจะเป็นแบบเส้นตรง

สัดส่วนระหว่างด้านของ tricot และส่วนเพิ่ม แม้ว่าผลรวมจะผูกกับอิสระก็ตาม

ผลงานในรูปแบบของzbіlshennyarіznih catetіv

หลักฐานที่ง่ายที่สุดสามารถลบออกได้ เนื่องจากการพิจารณาว่าหนึ่งใน catheti ไม่ถือว่ายิ่งใหญ่กว่า

(ในวิภัตติขานี้ ข). เหมือนกันสำหรับการรวมอย่างต่อเนื่อง:

ตามความคิดของ Van der Waerden มันน่าทึ่งยิ่งกว่าที่spіvvіdnoshenniaในลักษณะใส่ร้ายอยู่ในบ้านของบาบิโลนใกล้กับศตวรรษที่ 18 ก่อนคริสต์ศักราช อี

ประมาณ 400 โรคุก่อนคริสต์ศักราช นั่นคือ ตามคำกล่าวของ Proclus เพลโตได้ให้วิธีการจดจำแฝดสามของพีทาโกรัส ซึ่งมีพื้นฐานมาจากพีชคณิตและเรขาคณิต ใกล้ถึง 300 ร็อคทูสตาร์แล้ว นั่นคือใน "Cobs" ของ Euclid มีการพิสูจน์ความจริงที่เก่าแก่ที่สุดของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

สูตร

สูตรหลักในการแก้แค้น diї เกี่ยวกับพีชคณิต - สำหรับ tricot แบบตัดตรง, dozhini catheti ที่เท่ากัน ก (\displaystyle ก)і ข (\displaystyle ข), และความยาวของความดันเลือดต่ำ - ค (\displaystyle ค), Vikonano spіvvіdnoshennia:

.

สูตรทางเรขาคณิตที่เป็นไปได้และเทียบเท่าซึ่งเข้าสู่การทำความเข้าใจพื้นที่ของตัวเลข: ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส, พื้นที่ของสี่เหลี่ยม, pobudovannaya บนด้านตรงข้ามมุมฉาก, ผลรวมเพิ่มเติมของพื้นที่ของ สี่เหลี่ยม pobudovanih ที่ขา ในมุมมองนี้ ทฤษฎีบทถูกกำหนดขึ้นจาก Euclid's Ears

ทฤษฎีบทพลิกกลับของพีทาโกรัส- แถลงการณ์เกี่ยวกับความเที่ยงธรรมของผู้ถักชนิดใด ๆ ชีวิตของด้านข้างของ pov'yazan ทุกชนิด a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). เช่นเดียวกับครั้งสุดท้ายสำหรับจำนวนบวกสามเท่า ก (\displaystyle ก), ข (\displaystyle ข)і ค (\displaystyle ค), ดังนั้น a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2))іsnuє tricout ตัดตรงพร้อมขา ก (\displaystyle ก)і ข (\displaystyle ข)ด้านตรงข้ามมุมฉากนั้น ค (\displaystyle ค).

พิสูจน์

วรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์ได้บันทึกการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสน้อยกว่า 400 รายการ ซึ่งเช่นเดียวกับค่าพื้นฐานสำหรับเรขาคณิต ซึ่งเป็นค่าพื้นฐานในผลลัพธ์ การพิสูจน์โดยตรงหลักคือ: ตัวแปรของพีชคณิตspіvvіdnoshen elements-trikutnik (เช่น วิธีการยอดนิยมของความคล้ายคลึงกัน) วิธีการของพื้นที่ และการพิสูจน์ที่แปลกใหม่ที่แตกต่างกัน (ตัวอย่างเช่น สำหรับความช่วยเหลือของอนุพันธ์rivnіan)

ด้วยอุบายที่คล้ายคลึงกัน

ข้อพิสูจน์แบบคลาสสิกของ Euclid นั้นถูกทำให้ตรงโดยการสร้างความสมดุลของพื้นที่ระหว่างสี่เหลี่ยม ตั้งค่าด้วยช่องว่างสี่เหลี่ยมจัตุรัสเหนือความสูงด้านตรงข้ามมุมฉากจากมุมตรงที่มีสี่เหลี่ยมอยู่เหนือขา

การออกแบบเพื่อชัยชนะในการพิสูจน์: สำหรับ Tricot แบบตรงที่มีการตัดแบบตรง ซี (\displaystyle C), สี่เหลี่ยมจัตุรัสเหนือขาและสี่เหลี่ยมจัตุรัสเหนือด้านตรงข้ามมุมฉาก A B I K (\displaystyle ABIK)ส่วนสูงจะเป็น C H (\displaystyle CH)และ promin สิ่งที่ її ต่อไป s (\displaystyle s)ซึ่งแบ่งสี่เหลี่ยมด้านบนด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นสองสี่เหลี่ยม ผม . หลักฐานการวางแนวการติดตั้งความสม่ำเสมอของพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า AHJK (\displaystyle AHJK)มีเหลี่ยมที่ขา AC (\displaystyle AC); ความเท่าเทียมกันของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าอีกอันหนึ่งซึ่งสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสเหนือด้านตรงข้ามมุมฉากสี่เหลี่ยมนั้นอยู่เหนือขาอีกข้างหนึ่งถูกติดตั้งในตำแหน่งที่คล้ายกัน

พื้นที่ Rivnist ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า AHJK (\displaystyle AHJK)і ACED (\displaystyle ACED)ได้รับการฟื้นฟูโดยความสอดคล้องกันของไตรโครต △ ACK (\displaystyle \triangle ACK)і △ A B D (\displaystyle \triangle ABD)พื้นที่ของผิวหนังจากพื้นที่มากกว่าครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยม AHJK (\displaystyle AHJK)і ACED (\displaystyle ACED)เห็นได้ชัดที่การเชื่อมโยงกับพลังที่ก้าวหน้า: พื้นที่ของ tricot คือครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสดังนั้นตัวเลขจึงเป็นด้านคู่และความสูงของ tricot ถึงด้านบนคืออีกด้านหนึ่งของ สี่เหลี่ยมผืนผ้า. ความสอดคล้องกันของเสื้อถักเห็นได้ชัดจากความสม่ำเสมอของสองด้าน (ด้านของสี่เหลี่ยม) และการตัดระหว่างกัน (การพับจากการตัดตรงและการตัดที่ เอ (\displaystyle A).

ในระดับดังกล่าวมีการพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเหนือด้านตรงข้ามมุมฉากซึ่งประกอบด้วยสี่เหลี่ยมผืนผ้า AHJK (\displaystyle AHJK)і BHJ I (\displaystyle BHJI), ผลรวมของกำลังสองเหนือขาเป็นเท่าใด

บทพิสูจน์ของเลโอนาร์โด ดา วินชี

ก่อนวิธีการของจัตุรัสยังมีการพิสูจน์ความรู้ของ Leonardo da Vinci ให้มันได้รับ tricoutnik แบบตัดตรง △ A B C (\displaystyle \triangle ABC)ด้วยการตัดตรง ซี (\displaystyle C)สี่เหลี่ยมนั้น ACED (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG)і ABHJ (\displaystyle ABHJ)(Div. ทารก). ใครมีหลักฐานด้าน HJ (\displaystyle HJ) bik เก่าที่เหลือจะมี trikutnik ซึ่งสอดคล้องกัน △ A B C (\displaystyle \triangle ABC)ก่อนหน้านั้นมันเหมือนด้านตรงข้ามมุมฉากและสูงแค่ไหน (tobto JI = BC (\displaystyle JI = BC)і HI = AC (\displaystyle HI=AC)). ตรง CI (\displaystyle CI)แบ่งสี่เหลี่ยม กระตุ้นด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน เศษของไตรคุตนิก △ A B C (\displaystyle \triangle ABC)і △ JHI (\displaystyle \triangle JHI)ตื่น. หลักฐานกำหนดความสอดคล้องกันของโชติริคุตนิก C A J I (\displaystyle CAJI)і D A B G (\displaystyle DABG), พื้นที่ของผิวหนัง z จามรี, ปรากฏ, จากด้านหนึ่ง, มากกว่าผลรวมของพื้นที่ครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมบนขาและพื้นที่ของ tricot ด้านข้าง, จากอีกด้านหนึ่ง - ครึ่งหนึ่งของ พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านตรงข้ามมุมฉากบวกพื้นที่ของไตรโคตภายนอก นอกจากนี้ ผลรวมครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมเหนือขาจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเหนือด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งเหมือนกับสูตรทางเรขาคณิตของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

พิสูจน์ด้วยวิธีเล็ก ๆ น้อย ๆ

ฉันมีหลักฐานชิ้นหนึ่งที่กล่าวถึงเทคนิคของสมการเชิงอนุพันธ์ Zokrema, Hardy ได้รับเครดิตจากข้อพิสูจน์ที่ว่าผู้ที่ได้รับชัยชนะมีสายสวนเพิ่มขึ้นเล็กน้อยอย่างไม่สิ้นสุด ก (\displaystyle ก)і ข (\displaystyle ข)และความดันเลือดต่ำ ค (\displaystyle ค)และดูแลความคล้ายคลึงกันกับเส้นตรงด้านนอกเพื่อป้องกันไม่ให้ความเร็วต่างกันมา:

d a d c = c a (รูปแบบการแสดง (frac (da) (dc)) = (frac (c) (a))), d b d c = c b (รูปแบบการแสดง (frac (db) (dc)) = (frac (c) (b))).

โดยวิธีการของมิติย่อยของพวกเขา การทำให้เท่าเทียมกันที่แตกต่างกัน อนุมานได้ c d c = a d a + b d b (รูปแบบการแสดง c dc = a, da + b, db)บูรณาการ c 2 = a 2 + b 2 + C o ns t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Zastosuvannya ซังจิตใจ a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0)เรากำหนดค่าคงที่เช่น 0 ซึ่งส่งผลให้เกิดการยืนยันทฤษฎีบท

เงินฝากกำลังสองในสูตรที่เหลือคือเส้นของสัดส่วนเชิงเส้นระหว่างด้านของไตรโคตและส่วนเพิ่ม แม้ว่าจำนวนเงินจะเกิดจากการสมทบที่เป็นอิสระจากส่วนเพิ่มของประเภทอื่นๆ

การเปลี่ยนแปลงและ zagalnennya

รูปทรงเรขาคณิตที่คล้ายกันทั้งสามด้าน

Euclid ได้ให้รายละเอียดทางเรขาคณิตที่สำคัญของทฤษฎีบทพีทาโกรัสใน "The Cobs" โดยเปลี่ยนจากพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านข้างไปยังพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตที่คล้ายกันเพิ่มเติม: ї บนด้านตรงข้ามมุมฉาก

แนวคิดหลักของแนวคิดทั้งหมดนั้นขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่าพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตนั้นเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของขนาดเชิงเส้นของมันเองและกำลังสองต่อกำลังสองของด้านของมันเอง Otzhe สำหรับตัวเลขที่คล้ายกันจาก Maidans เอ (\displaystyle A), B (\displaystyle B)і ซี (\displaystyle C), pobudovanih ที่ขา іz dozhina ก (\displaystyle ก)і ข (\displaystyle ข)และด้านตรงข้ามมุมฉาก ค (\displaystyle ค) vodpovidno อาจเป็น spivvidnoshnya:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (รูปแบบการแสดง (frac (A)(a^(2))))=(frac (B )( b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\ลูกศรขวา \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) )) C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

โบหลังทฤษฎีบทพีทาโกรัส a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2))แล้ววิโคนาโน

นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะนำทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยไม่ต้องใช้ตัวย่อ ซึ่งสำหรับพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตที่คล้ายกันสามรูปที่ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมสามเหลี่ยม A + B = C (\displaystyle A+B=C)จากนั้นจากเส้นทางย้อนกลับของการยืนยันการพิสูจน์ของ Euclid เราสามารถพิสูจน์การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ ตัวอย่างเช่น ราวกับว่าอยู่บนด้านตรงข้ามมุมฉาก ทำให้เกิด tricot ตัดตรง cob ที่สมภาคกันกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซี (\displaystyle C)และที่ขา - ไทรคอตตัดตรงสองตัวคล้ายกับสี่เหลี่ยม เอ (\displaystyle A)і B (\displaystyle B)จากนั้นปรากฏว่า tricots ที่ขาถูกตัดสินอันเป็นผลมาจากการแบ่ง cob trikutnik ที่มีความสูงนั่นคือผลรวมของพื้นที่เล็ก ๆ สองแห่งของ trikutniks ในพื้นที่ขนาดใหญ่ของพื้นที่ที่สามเช่น อันดับ A + B = C (\displaystyle A+B=C)และ zastosovuyuchi spіvvіdnoshennia สำหรับตัวเลขดังกล่าว ทฤษฎีบทพีทาโกรัสถูกนำมาใช้

ทฤษฎีบทโคไซน์

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นตัวอย่างที่สมบูรณ์แบบของทฤษฎีบทที่มากกว่าทฤษฎีบททั่วไปของโคไซน์ เนื่องจากพิสูจน์ให้เห็นว่าเป็นความจริงในด้านของนักเล่นกลที่ดี:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2,

เด - คุดระหว่างฝ่าย ก (\displaystyle ก)і ข (\displaystyle ข). Yakshcho kut dorivnyuє 90 ° จากนั้น cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0)และสูตรจะลดลงเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัสขั้นสุดท้าย

Dovіlny tricoutnik

สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าทฤษฎีบทของพีทาโกรัสมีพื้นฐานมาจากไตรคัตนิกมากกว่า ซึ่งทำงานเฉพาะบนสโตริน spіvvіdshennym dovzhin เท่านั้น สิ่งสำคัญคือต้องติดตั้งครั้งแรกโดยนักดาราศาสตร์ Sabit Ibn Kurroy ของ Sabiysk ในอันใหม่สำหรับ tricot ยาวที่มีด้านข้างไปยังอันใหม่, tricot ที่เท่ากับต้นขาที่มีฐานที่ด้านข้าง ค (\displaystyle ค)ด้านบนซึ่งไหลจากด้านบนของ tricutnik ด้านนอกซึ่งอยู่ด้านข้าง ค (\displaystyle ค)และกูตามิพร้อมมูล เท่ากับกูตู θ (\displaystyle \theta), boci มาก ค (\displaystyle ค). ผลที่ได้คือมีการสร้าง tricots สองตัวซึ่งคล้ายกับอันสุดท้าย: อันแรก - ทั้งสามด้าน ก (\displaystyle ก), ห่างไกลจากด้านข้างของ tricot เท่ากับต้นขาที่จารึกไว้, ว่า r (\displaystyle r)- ส่วนของด้านข้าง ค (\displaystyle ค); อีกด้านสมมาตรกับด้านใหม่ ข (\displaystyle ข)ที่ด้านข้าง s (\displaystyle s)- สองด้าน ค (\displaystyle ค). เป็นผลให้มี vikonan spіvvіdnosheniya:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a (2) + b (2) = c (r + s)),

ซึ่งแปลเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัสเมื่อ θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Spivvіdnoshnja єnaslіbnosti utavnіh trikutnikov:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (รูปแบบการแสดง (frac (c)(a))=(frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b) )=(\frac (b)(s))\,\ลูกศรขวา \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

ทฤษฎีบทพื้นที่ของพัพปัส

เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอิงตามแกนของเรขาคณิตแบบยุคลิดและไม่ถูกต้องสำหรับเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด - ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีค่าเท่ากับสมมุติฐานของการขนานแบบยุคลิดมากกว่า

ในเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด การจัดแนวระหว่างด้านของรูปสามเหลี่ยมสามเหลี่ยมจะอยู่ในรูป obov'yazkovo เนื่องจากสอดคล้องกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตัวอย่างเช่น ในเรขาคณิตทรงกลม ด้านทั้งสามของรูปสี่เหลี่ยมไตรโคต ราวกับว่าถูกล้อมรอบด้วยฐานแปดของทรงกลมเดียว π / 2 (\displaystyle \pi /2)ความเชื่อทางไสยศาสตร์ของทฤษฎีบทพีทาโกรัสคืออะไร

ด้วยเหตุผลนี้ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงใช้ได้ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกและวงรี ดังนั้นฉันจึงสามารถแทนที่ความตรงของไตรโคตด้วยจิตหนึ่งได้ เพราะผลรวมของคูตีสองของไตรโคตจะต้องบวกเข้ากับส่วนที่สาม

เรขาคณิตทรงกลม

สำหรับรูปสามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมใดๆ บนทรงกลมที่มีรัศมี R (\displaystyle R)(เช่น ยักโชกุต ที่ไตรคุตนิกตรง) มี 3 ด้าน a, b, c (\displaystyle a, b, c) spіvvіdnoshennia ระหว่างฝ่ายอาจมีลักษณะ:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac(c)(R))\right)=\cos \left((\frac ) (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).

ความเท่าเทียมกันนี้สามารถแสดงเป็นคุณสมบัติพิเศษของทฤษฎีบทโคไซน์ทรงกลมได้ เนื่องจากใช้ได้กับทริคอตทรงกลมทั้งหมด:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ บาป \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac(b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname(ch) c=\operatorname (ch),

เดอ ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- โคไซน์ไฮเปอร์โบลิก สูตร Tsya єขอเรียกมันว่าทฤษฎีบทไฮเปอร์โบลิกโคไซน์ประเภทหนึ่งเนื่องจากใช้ได้กับกลอุบายทั้งหมด:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname(ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) (sh) a \cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \gamma ),

เดอ γ (\displaystyle\แกมม่า)- กุดยอดอยู่ตรงกันข้าม ค (\displaystyle ค).

อนุกรมเทย์เลอร์สำหรับไฮเปอร์โบลิกโคไซน์ ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\ประมาณ 1+x^(2)/2)) คุณสามารถแสดงว่าไฮเปอร์โบลิก tricoutnik เปลี่ยนแปลงอย่างไร (ถ้า ก (\displaystyle ก), ข (\displaystyle ข)і ค (\displaystyle ค)ถึงศูนย์) จากนั้นส่วนขยายไฮเปอร์โบลิกของไตรคัตนิกแบบตัดตรงจะเข้าใกล้ส่วนขยายของทฤษฎีบทพีทาโกรัสแบบคลาสสิก

ศาสฺสโตสุวณฺโณ

Vіdstanovในระบบdvuhіrіnіh pryamokutnyh

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่สำคัญที่สุดคือการหาค่าความแตกต่างระหว่างจุดสองจุดในรูปสี่เหลี่ยม ระบบ พิกัด: s (\displaystyle s)ระหว่างจุดกับพิกัด (a,b) (\displaystyle (a,b))і (c, d) (\displaystyle (c, d))หนึ่ง:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสให้สูตรธรรมชาติสำหรับค่าโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน - สำหรับ z = x + y i (\displaystyle z = x + yi)ไวน์

ทฤษฎีบท

ใน Tricot แบบตัดตรง กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะมากกว่าผลรวมของกำลังสองของความยาวของขา (รูปที่ 1):

$c^(2)=a^(2)+b^(2)$

บทพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ให้ tricout $A B C$ เป็น tricout ตรงที่เสมอกัน $C$ (รูปที่ 2)

ลองวาดความสูงจากด้านบน $C$ ถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก $A B$ ฐานของความสูงมีความหมาย $H$

สี่เหลี่ยม tricout $A C H$ คล้ายกับ tricut $A B C$ ในสองเท่า ($\angle A C B=\angle C H A=90^(\circ)$, $\angle A$ เป็นแบบโค้งมน) ในทำนองเดียวกัน $C B H$ ก็คล้ายกับ $A B C$

สัญญาณ Vivshi

$$B C=a, A C=b, A B=c$$

s ที่คล้ายกัน trikutnikov otrimuemo, scho

$$\frac(a)(c)=\frac(H B)(a), \frac(b)(c)=\frac(AH)(b)$$

Zvіdsimaєmo, scho

$$a^(2)=c \cdot H B, b^(2)=c \cdot A H$$

บีบความกระวนกระวายออกไป, เอาไปเสีย

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot H B+c \cdot ก H$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot(H B+A H)$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot A B$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot c$$

$$a^(2)+b^(2)=c^(2)$$

เอาอะไรมา.

การกำหนดทางเรขาคณิตของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบท

สำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมจตุรัสตัดตรง, เกิดขึ้นที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก, ผลรวมเพิ่มเติมของพื้นที่สี่เหลี่ยม, เกิดขึ้นที่ขา (รูปที่ 2):

ใช้วิธีแก้ปัญหาของงาน

ก้น

ผู้จัดการ.งานคือ Tricot แบบเส้นตรง $A B C$ ซึ่งขายาว 6 ซม. และ 8 ซม. จงหาด้านตรงข้ามมุมฉากของ Tricot นี้

สารละลาย. Zgіdno z umovoy ขา $a=6$ ซม., $b=8$ ซม.

$c^(2)=a^(2)+b^(2)=6^(2)+8^(2)=36+64=100$

ต้องคำนึงถึงว่าด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นโง่

$c = \sqrt(100) = 10$(ซม.)

วิดโพวิด. 10 ซม

ก้น

ผู้จัดการ.ค้นหาพื้นที่ของ Tricot ที่ตัดตรง เนื่องจากเป็นที่ชัดเจนว่าขาข้างหนึ่งใหญ่กว่าอีกข้างหนึ่ง 5 ซม. และด้านตรงข้ามมุมฉากยาวกว่า 25 ซม.

สารละลาย.ให้ $x$ cm - ความยาวของขาที่เล็กกว่า จากนั้น $(x+5)$ cm - ความยาวของขาที่ใหญ่กว่า สิ่งเดียวกันกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถ:

$$x^(2)+(x+5)^(2)=25^(2)$$

การเปิดส่วนโค้งสร้างสิ่งที่คล้ายกันและการจัดตำแหน่งตาราง virishuemo otrimane:

$x^(2)+5 x-300=0$

VіdpovіdnoจนถึงทฤษฎีบทВієт, otrimuєmo, scho

$x_(1)=15$ (ซม.) , $x_(2)=-20$ (ซม.)

ค่าของ $x_(2)$ ไม่เป็นไปตามความคิดของจิตใจ ดังนั้น ขาที่เล็กกว่าคือ 15 div และขาที่ใหญ่กว่าคือ 20 div

สี่เหลี่ยมจัตุรัสของผ้าไตรคอตแบบตัดตรงนั้นคล้ายกับ dozhin yoga cathetiv, tobto

$$S=\frac(15 \cdot 20)(2)=15 \cdot 10=150\left(\mathrm(cm)^(2)\right)$$

วิดโพวิด.$S=150\left(\mathrm(ซม.)^(2)\right)$

บทพิสูจน์ทางประวัติศาสตร์

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส- หนึ่งในทฤษฎีบทหลักของเรขาคณิตแบบยุคลิด ซึ่งสร้างเส้นขนานระหว่างด้านของรูปสามเหลี่ยมสามส่วน

หนังสือจีนโบราณ "Zhou bi suan jing" มีรูปสามเหลี่ยมปีทาโกรัสที่มีด้าน 3, 4 และ 5 นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ชาวเยอรมันที่ยิ่งใหญ่ที่สุด Moritz Kantor (1829 - 1920) รู้ว่า $3^(2)+4^(2)=5 ^ (2) $ เป็นที่รู้จักของชาวอียิปต์ตั้งแต่ 2,300 ปีก่อนคริสตกาล เท่าที่ฉันคิด นาฬิกาปลุกยังคงเดินตรงไปพร้อมกับความช่วยเหลือของไตรโครตตัดตรงที่มีด้าน 3, 4 และ 5 ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสในหมู่ชาวบาบิโลน ในข้อความหนึ่ง การคำนวณด้านตรงข้ามมุมฉากของ tricutnik แบบตัดตรงrіvnofemoral

ในขณะนี้ การพิสูจน์ทฤษฎีบท 367 รายการได้รับการบันทึกไว้ในเอกสารทางวิทยาศาสตร์ อิโมเวียร์โน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นทฤษฎีบทเดียวที่มีการพิสูจน์จำนวนมาก ความแตกต่างดังกล่าวสามารถอธิบายได้ด้วยความหมายพื้นฐานของทฤษฎีบทเรขาคณิตเท่านั้น

ศักยภาพในการสร้างสรรค์ควรมาจากสาขาวิชามนุษยศาสตร์ ซึ่งเต็มไปด้วยการวิเคราะห์ทางวิทยาศาสตร์ แนวคิดเชิงปฏิบัติ และภาษาที่แห้งแล้งของสูตรและตัวเลข คณิตไม่ถึงวิชามนุษยศาสตร์ เบียร์ที่ไม่มีความคิดสร้างสรรค์ใน "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ทั้งหมด" จะไปได้ไม่ไกล - ผู้คนรู้เรื่องนี้มานานแล้ว ตัวอย่างเช่น Pythagoras สามชั่วโมง

โชคไม่ดีที่Shkіlnі podruchniki อย่าเรียกร้องให้อธิบายว่าในวิชาคณิตศาสตร์นั้นมีความสำคัญไม่เพียง แต่จะยัดเยียดทฤษฎีบทสัจพจน์และสูตรเท่านั้น สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจและเข้าใจหลักการพื้นฐาน และเมื่อคุณพยายามเรียนรู้ความคิดของคุณจากตราประทับและความจริงที่ไม่หยุดนิ่ง มีเพียงความคิดดีๆ เท่านั้นที่ความคิดดีๆ ทั้งหมดล้วนมาจากผู้คน

ในการสรุปดังกล่าว เราสามารถเพิ่มผู้ที่รู้จักทฤษฎีบทพีทาโกรัสในปัจจุบัน ด้วยความช่วยเหลือนี้ เราจะพยายามแสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์ไม่เพียงแต่ทำได้ แต่ฉันยังเป็นคนโง่ได้ด้วย และชุดนี้ไม่เพียงเหมาะสำหรับนักพฤกษศาสตร์ที่ช่องมองภาพดังกล่าวเท่านั้น แต่ยังเหมาะสำหรับทุกคนที่มีจิตใจเข้มแข็งและจิตวิญญาณที่เข้มแข็ง

จากประวัติศาสตร์โภชนาการ

แม้ว่าทฤษฎีบทนี้จะเรียกว่า "ทฤษฎีบทพีทาโกรัส" แต่พีทาโกรัสเองก็ไม่ได้พิสูจน์ Trioutnik ที่ตัดตรงและพลังพิเศษที่บิดเบี้ยวกลับไปใหม่ ลองดูที่ห่วงโซ่อาหาร สำหรับเวอร์ชันหนึ่ง พีทาโกรัสเป็นคนแรกที่รู้การพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สมบูรณ์ สำหรับหลักฐานอื่น ๆ ไม่สามารถระบุได้ว่าเป็นการประพันธ์ของพีทาโกรัส

วันนี้คุณจะไม่คิดว่าใครเดินและใครมีความเมตตา Vіdomoน้อย, scho พิสูจน์Pіthagoras, yakscho ชนะ, ถ้ามันหลับไป, มันไม่รอด อย่างไรก็ตาม, มีข้อแก้ตัวที่หลักฐานที่มีชื่อเสียงจาก "Pochatkіv" ของ Euclid อาจเป็นของPіthagoras, และ Euclid yogo ได้รับการแก้ไขเท่านั้น

ทุกวันนี้ยังเห็นได้ว่าเรื่องราวเกี่ยวกับเสื้อถักแบบตรงนั้นถูกเขียนขึ้นในนาฬิกาอียิปต์ของฟาโรห์อเมเนมเฮตที่ 1 บนแผ่นดินเหนียวของชาวบาบิโลนในรัชสมัยของกษัตริย์ฮัมมูราบี ในตำรา "Sulva Sutra" ของอินเดียโบราณที่ชาวจีนโบราณกล่าวถึง ที่คุณสร้าง "Zhoubi-sun"

เช่นเดียวกับ Bachite ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ครอบครองความคิดของนักคณิตศาสตร์ในช่วงหลายชั่วโมงที่ผ่านมา เพื่อเป็นการยืนยัน มีหลักฐานเกือบ 367 รายการที่ได้รับการยืนยันในวันนี้ ซึ่งไม่สามารถแข่งขันกับทฤษฎีบทอื่นได้ ในบรรดาผู้เขียนหลักฐานที่มีชื่อเสียง มีใครเดาได้ว่าเลโอนาร์โด ดา วินชี และเจมส์ การ์ฟิลด์ ประธานาธิบดีสหรัฐฯ คนที่ยี่สิบ ทุกอย่างควรค่าแก่การพูดถึงความสำคัญเหนือระดับปฐมภูมิของทฤษฎีบทคณิตศาสตร์: ควรแสดงให้เห็น มิฉะนั้น ทฤษฎีบทของเรขาคณิตจะเชื่อมโยงกับทฤษฎีบทเพิ่มเติม

พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

สำหรับผู้ช่วยโรงเรียน สิ่งสำคัญคือต้องกระตุ้นการพิสูจน์ทางพีชคณิต แต่สาระสำคัญของทฤษฎีบทในเรขาคณิต มาดูที่เราต่อหน้าคุณและพิสูจน์ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงซึ่งมีพื้นฐานมาจากวิทยาศาสตร์นี้

หลักฐาน 1

สำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ง่ายที่สุดสำหรับรูปสามเหลี่ยมสี่เหลี่ยม จำเป็นต้องสร้างความคิดในอุดมคติ: อย่าให้รูปสามเหลี่ยมเป็นเส้นตรงเท่านั้น แต่ยังเท่ากับต้นขาด้วย ฉันขอเตือนคุณว่านักเล่นกลเช่นนี้มองดูคณิตศาสตร์ในสมัยก่อน

การยืนยัน "รูปสี่เหลี่ยม เครื่องหมายบนด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากัน เครื่องหมายบนขาโยคะ"สามารถแสดงโดยเก้าอี้นวมที่กำลังจะมาถึง:

ตื่นตาตื่นใจกับ ABC แบบ Tricot แบบตัดตรงแบบเลขคู่: ที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก AC คุณสามารถเหนี่ยวนำให้เกิดสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งประกอบด้วย Tricot หลายๆ อัน ซึ่งดีสำหรับ ABC ด้านนอก และที่ขา AB และ PS มีคำแนะนำเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส สกินของสิ่งเหล่านี้ควรถูกแทนที่ด้วย tricots ที่คล้ายกันสองตัว

ก่อนการปราศรัย การขนานนามเป็นพื้นฐานของเกร็ดเล็กเกร็ดน้อยและภาพล้อเลียนจำนวนมาก ซึ่งเป็นที่มาของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ที่มีชื่อเสียงที่สุดบางที tse "กางเกงปีทาโกรัสทุกด้าน":

หลักฐาน 2

วิธีนี้ผสมผสานกับพีชคณิตและเรขาคณิต และถือได้ว่าเป็นการพิสูจน์แบบอินเดียโบราณของนักคณิตศาสตร์ Bhaskari

พัก tricout ตัดตรงที่มี 3 ด้าน ก ข และ ค(รูปที่ 1) จำสี่เหลี่ยมสองช่องที่มีด้านเท่ากับผลรวมของ dozhins ของสอง catheti - (ก+ข). ที่ผิวของสี่เหลี่ยม ปลุกเหมือนในรูปที่ 2 และ 3

ที่ช่องแรก ให้ลองใช้กลเม็ดเหล่านี้ เช่น เด็กน้อยมี 1 ผลลัพธ์ที่ได้คือช่องสี่เหลี่ยม 2 ช่อง อันหนึ่งจากด้าน a อีกอันจากด้าน a ข.

ในอีกช่องหนึ่ง chotiri กระตุ้นให้ tricots ที่คล้ายกันสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสอีกด้านหนึ่ง ซึ่งเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากที่ดีที่สุด ค.

ผลรวมของกำลังสองของกำลังสองในรูปที่ 2 เท่ากับพื้นที่ของกำลังสองที่เราคำนวณจากด้าน z ในรูปที่ 3 มันง่ายที่จะคิดมากเกินไปโดยการเปลี่ยนพื้นที่ของสี่เหลี่ยมในรูปที่ 2ตัวหลังสูตร. และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกไว้บนตัวเล็ก 3. อย่างไรก็ตามพื้นที่ของ chotiriox ที่เท่ากันจะถูกจารึกไว้ที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสสามเหลี่ยมจากพื้นที่ของ u200bจัตุรัสใหญ่อีกด้านหนึ่ง (ก+ข).

เมื่อจดทุกอย่างแล้วอาจจะ: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. อ้าแขนออก ทำการคำนวณเกี่ยวกับพีชคณิตที่จำเป็นและนำอะไรออกไป ก 2 + ข 2 = ก 2 + ข 2. ที่ tsiom พื้นที่ที่จารึกไว้ในรูปที่ 3 สามารถคำนวณกำลังสองโดยใช้สูตรดั้งเดิม S=c2. โต๊บโต. a2+b2=c2- คุณทำทฤษฎีบทพีทาโกรัสเสร็จแล้ว

หลักฐาน 3

บทพิสูจน์คำอธิบายของอินเดียที่เก่าแก่มากในศตวรรษที่ 12 ในตำรา "Vinets znannya" ("Siddhanta shiromani") และเป็นข้อโต้แย้งหลักที่ผู้เขียนการเรียกร้องของผู้ชนะหันไปหาความสามารถทางคณิตศาสตร์และความตื่นตัวของนักวิชาการและผู้ติดตาม: " ว้าว!".

อย่างไรก็ตาม เรามาดูหลักฐานของรายงานที่ยิ่งใหญ่กว่ากัน:

ตรงกลางของจัตุรัส ให้วาง chotiri แบบตัดตรงตามที่ระบุไว้บนเก้าอี้เท้าแขน ด้านข้างของสี่เหลี่ยมใหญ่มีด้านตรงข้ามมุมฉากอย่างมีนัยสำคัญ ชม.. ขาตรีคุตนิก ก็เรียก กі ข. Vіdpovіdnoไปที่เก้าอี้เท้าแขนของจัตุรัสด้านใน (ก-ข).

ค้นหาสูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส S=c2เพื่อคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านนอก І หนึ่งชั่วโมง เปลี่ยนค่าเดียวกันโดยเพิ่มพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านในและพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งสี่: (ก-ข) 2 2+4*1\2*ก*ข.

คุณสามารถเลือกระหว่างตัวเลือกต่างๆ สำหรับการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส เพื่อให้คุณสามารถพิจารณาใหม่เพื่อให้ผลลัพธ์เหมือนกัน ฉันให้สิทธิ์คุณเขียนอะไรลงไป c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. จากผลการตัดสินใจ คุณใช้สูตรของทฤษฎีบทพีทาโกรัส c2=a2+b2. ทฤษฎีบทเสร็จสมบูรณ์แล้ว

หลักฐาน 4

บทพิสูจน์ของจีนโบราณนี้ ละเว้นชื่อ "The Chosen Stelete" - ผ่านฉันไปที่ร่าง stele อันเป็นผลมาจากการกระตุ้นทั้งหมด:

คนใหม่ชนะเก้าอี้เนื่องจากเราได้ยอมจำนนต่อหลักฐานอื่นในรูปที่ 3 แล้ว และสี่เหลี่ยมด้านในกับด้านข้างของการกระตุ้นก็เหมือนกัน ตามหลักฐานเก่าของอินเดีย ทำให้เกิดมากขึ้น

ตามแนวคิดที่จะปรับให้พอดีกับอาร์มแชร์ในรูปที่ 1 ให้นำสามเหลี่ยมสามขาสีเขียวสองอันมาวางไว้ที่ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยมีด้าน z และด้านตรงข้ามมุมฉาก นำไปใช้กับด้านตรงข้ามมุมฉากของ buzkovy trikutniks แล้วร่างใต้ ชื่อ "ชื่อ steletz" (รูปที่ 2) เพื่อความแม่นยำ คุณสามารถทำเช่นเดียวกันกับกระดาษสี่เหลี่ยมและสามเหลี่ยม คุณสับสนว่า "คู่หมั้น" ประกอบด้วยสองช่องสี่เหลี่ยม: สี่เหลี่ยมเล็ก ๆ ด้านข้าง ขฉันดีด้านzі ก.

Qi pobudovi อนุญาตให้นักคณิตศาสตร์ชาวจีนรุ่นเก่าๆ และเราต้องติดตามพวกเขา c2=a2+b2.

หลักฐาน 5

อีกวิธีหนึ่งในการรู้คำตอบของทฤษฎีบทพีทาโกรัสคือการใช้รูปทรงเรขาคณิต เรียกว่า "วิธีการ์ฟิลด์"

ใช้ tricoutnik แบบตรง เอบีซี. เราต้องนำอะไรมา ND 2 \u003d AC 2 + AB 2.

สำหรับผู้ที่จะไปต่อขา เครื่องปรับอากาศและตื่นตัวอยู่เสมอ ซีดีซึ่งเป็นขาที่ดีกว่า เอบี. วางแนวตั้งฉาก ค.ศ vіdrіzok เอ็ด. Vіdrіzki เอ็ดі เครื่องปรับอากาศเท่ากัน. จุดเชื่อมต่อ อีі ที่เช่นเดียวกับ อีі วและนำเก้าอี้นวมออกไปเช่นด้านล่างเล็กน้อย:

เพื่อที่จะนำหอคอยเราไปอีกครั้งตามวิธีที่ได้ลองไปแล้ว: เรารู้พื้นที่ของตัวเลขที่เราได้เห็นในสองวิธีและเปรียบเทียบกันแบบหนึ่งต่อหนึ่ง

รู้จักสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เตียงเป็นไปได้โดยพับพื้นที่ของสาม trikutniks เช่นїї utvoryuyut และหนึ่งในนั้น อีซีบีไม่เพียง แต่ตั้งตรง แต่ยังรวมถึงrіvnofemoral อย่าลืมว่า เอบี = ซีดี, เอซี = เอ็ดі BC = PЄ- อย่าปล่อยให้เราขอให้คุณจดเพื่อไม่ให้ Yogo ครอบงำ ออตเช S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

กับใครก็ชัดเจนว่า เตียง- สี่เหลี่ยมคางหมู ดังนั้นฉันจึงคำนวณพื้นที่สำหรับสูตร: S ABED = (DE + AB) * 1/2 ค.ศ. สำหรับการคำนวณของเรา การแสดงลมทำได้ง่ายและดีกว่า ค.ศเหมือนเงินก้อนหนึ่ง เครื่องปรับอากาศі ซีดี.

ลองเขียนวิธีการที่ไม่เหมาะสมในการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขโดยใส่เครื่องหมายของความเท่าเทียมกันระหว่างพวกเขา: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Vikoristovuєmoรู้จักเราแล้วและอธิบายความเท่าเทียมกันของvіdrіzkіvเพิ่มเติมเพื่อให้อภัยส่วนที่ถูกต้องของบันทึก: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. และตอนนี้เราเปิดส่วนโค้งและเปลี่ยนความใจเย็น: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. เมื่อเสร็จสิ้นการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดแล้วเราจะนำสิ่งที่เราต้องการออกไป: ND 2 \u003d AC 2 + AB 2. เราได้นำทฤษฎีบท

แน่นอนว่ารายการหลักฐานนี้ยังไม่สมบูรณ์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสยังสามารถนำไปใช้กับเวกเตอร์ จำนวนเชิงซ้อน การเท่ากันเชิงอนุพันธ์ สเตอริโอเมทรีได้อีกด้วย ฉันสอนวิชาฟิสิกส์ เช่น ในการนำเสนอแบบอะนาล็อกบนเก้าอี้สี่เหลี่ยมและทริคอตออบซียากิ เติมเต็มมาตุภูมิ โดยการเทมาตุภูมิเราสามารถนำความเท่าเทียมกันของพื้นที่และทฤษฎีบทของผลลัพธ์ได้

คำสองสามคำเกี่ยวกับแฝดสามของพีทาโกรัส

มีไม่กี่คนที่ไม่ได้อยู่ในโปรแกรมของโรงเรียน และในเวลานี้ส่วนโค้งของ cicavia และอาจมีความสำคัญอย่างยิ่งในรูปทรงเรขาคณิต พีทาโกรัสแฝดสาม zastosovuyutsya สำหรับความสำเร็จของงานทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลาย การประกาศเกี่ยวกับพวกเขาอาจจะดีสำหรับคุณในอนาคต

แล้วแฝดสามของ Pitagorian คืออะไร? นี่คือชื่อของจำนวนธรรมชาติที่เลือกโดยสามผลรวมของกำลังสองของสองจำนวนนั้นเท่ากับจำนวนที่สามในตาราง

พีทาโกรัสสามตัวสามารถ:

• ดั้งเดิม (ตัวเลขทั้งสามนั้นเรียบง่ายร่วมกัน);
• ไม่ดั้งเดิม (เหมือนเอาเลขผิวของทั้งสามคนคูณด้วยเลขเดียวกัน เราจะเห็นเลขสามใหม่เหมือนไม่ใช่เลขดั้งเดิม)

ก่อนเวลาของเราชาวอียิปต์โบราณรู้สึกทึ่งกับความคลั่งไคล้ของจำนวนแฝดสามของ Pythagorean: เมื่อได้กลิ่นเหม็นพวกเขาสามารถเห็น Tricot แบบตรงที่มีด้าน 3.4 และ 5 อัน ก่อนพูดไม่ว่าจะเป็นนักเล่นกลด้านใดด้านหนึ่งเท่ากับจำนวนของทรินิตี้ของ Pthagorean เพราะล็อคนั้นตรง

ใช้พีทาโกรัสทั้งสาม: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45) , (14 48, 50), (30, 40, 50) เป็นต้น

การพิสูจน์ทฤษฎีบทภาคปฏิบัติ

เป็นที่ทราบกันดีว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสติดอยู่ในคณิตศาสตร์ สถาปัตยกรรมและชีวิตประจำวัน ดาราศาสตร์ และวรรณกรรมที่สร้างแรงบันดาลใจ

บันทึกเกี่ยวกับชีวิตประจำวัน: รู้จักทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ตำแหน่งกว้างใหม่ที่ส่วนหัวของการพับในระดับต่างๆ ตัวอย่างเช่น ประหลาดใจกับสไตล์โรมาเนสก์:

ความกว้างของหน้าต่างอย่างมีนัยสำคัญคือ ขรัศมีเดียวกันของpіvkolที่ยอดเยี่ยมสามารถรับรู้ได้ รและผ่าน b: R=b/2. รัศมีของpіvkolที่เล็กลงก็มองเห็นได้เช่นกัน b: r=b/4. ที่ tsomu zavdannya เราต้องหัวเราะเยาะรัศมีของเสาด้านในของ vekna (เรียกว่า yogo หน้า).

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ร. สำหรับผู้ที่ vikorist เป็น tricouter ตัดตรง แต่สำหรับความหมายเล็กน้อยเส้นประ ด้านตรงข้ามมุมฉากของ Tricot ประกอบด้วยสองรัศมี: ข/4+หน้า. ขาข้างหนึ่งเป็นรัศมี ข/4, ใน ข/2-ป. Vikoristovuyuchi Pіthagorean ทฤษฎีบท เราเขียน: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Dali rozkriёmoคำนับและนำออกไป ข 2/16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2/16 + b 2/4-bp + p 2. มาเปิด viraz นี้กันเถอะ bp/2=b 2 /4-bp. จากนั้นเราจะแบ่งสมาชิกทั้งหมดออกเป็น ขเราจะแนะนำที่คล้ายกันเราจะไป 3/2*p=b/4. เป็นผลให้เรารู้ว่า พี=b/6- เราต้องการอะไร

สำหรับทฤษฎีบทเพิ่มเติม คุณสามารถคำนวณ krokvi สองเท่าสำหรับ dahu สองเท่า ที่สำคัญ ความสูงของการเชื่อมต่อโทรศัพท์มือถือเป็นสิ่งจำเป็น เพื่อให้สัญญาณไปถึงการตั้งถิ่นฐานของเพลง และเพื่อสร้าง yalinka ใหม่อย่างต่อเนื่องบน Moscow Maidan เช่นเดียวกับบาไคต์ ทฤษฎีบทนี้ไม่เพียงอยู่เคียงข้างผู้ช่วยเท่านั้น แต่มักจะกลายเป็นผลสืบเนื่องต่อชีวิตจริง

เท่าที่เกี่ยวข้องกับวรรณคดี ทฤษฎีบทพีทาโกรัสทำให้นักเขียนหายใจไม่ออกเป็นเวลาหลายชั่วโมงในสมัยโบราณและยังคงทำงานต่อไปในยุคของเรา ตัวอย่างเช่น Adelbert von Chamisso นักเขียนชาวเยอรมันในศตวรรษที่ 19 ถอนหายใจกับการเขียนโคลง:

แสงสว่างแห่งความจริงจะไม่ปรากฏในไม่ช้า
Ale ประกาศว่าไม่น่าจะโตขึ้น
ฉันเมื่อพันปีที่แล้ว
อย่าโทรหาsumnіvіvฉัน superechki

Naimudrishіถ้าฉันดู
เหล่าทวยเทพพูดแสงแห่งความจริง
ฉันร้อยตีแทงนอนลง
ของขวัญจากคำสารภาพของพีทาโกรัส

ตั้งแต่ชั่วโมงนั้นเป็นต้นมา เสียงคำรามก็ดังขึ้น:
Naviki ปลุกเผ่า bichache
Podiya เดาที่นี่

ให้เรายอมแพ้: แกน - แกน ชั่วโมงมาแล้ว
อยากทำบุญอีกแล้ว
ช่างเป็นทฤษฎีบทที่ยอดเยี่ยม

(แปลโดย Viktor Toporov)

และในศตวรรษที่ 20 Evgen Veltistov นักเขียนชาวเรเดียนในหนังสือ Fit Electronics ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส และrozpovіdіมากขึ้นเรื่อย ๆ เกี่ยวกับโลกของสองโลกซึ่งเป็นช่วงเวลาที่ต้องตระหนักเช่นเดียวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสกลายเป็นกฎพื้นฐานและปลูกฝังศาสนาของคนทั้งโลก ชีวิตในโลกใหม่จะง่ายขึ้น น่าเบื่อ และน่าเบื่อมากขึ้น ตัวอย่างเช่น ไม่มีความเข้าใจในความหมายของคำว่า "กลม" และ "ปุย"

และในหนังสือ "Fit Elektronika" ผู้เขียนด้วยคำพูดของครูคณิตศาสตร์ Taratar ดูเหมือนจะพูดว่า: "คณิตศาสตร์มีหัว - ความคิด, ความคิดใหม่" นโยบายที่สร้างสรรค์ของจิตใจทำให้เกิดทฤษฎีบทพีทาโกรัส - ไม่ใช่เพื่ออะไรที่มีการพิสูจน์ที่แตกต่างกันมากมาย วอห์นช่วยให้มองข้ามเสียงสระและประหลาดใจกับคำพูดที่คุ้นเคยในรูปแบบใหม่

วิสโนวอค

บทความนี้สร้างขึ้นเพื่อให้คุณสามารถดูโปรแกรมคณิตศาสตร์ระหว่างโรงเรียนและเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสตามคำแนะนำในคู่มือ "เรขาคณิต 7-9" (L.S. Atanasyan, V.M. Rudenko) และ "เรขาคณิต 7 - 11” (A.V. Pogorelov), เอลและіnshіtsіkavіวิธีที่จะนำทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียง และนำไปใช้เช่นเดียวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถ zastosovuvatsya ในชีวิตที่ไม่ธรรมดา

ก่อนอื่น ข้อมูลนี้จะช่วยให้คุณสามารถสมัครทำคะแนนสูงสุดในบทเรียนคณิตศาสตร์ได้ - ผลลัพธ์ของวิชาจากคอเสริมนั้นมีค่าสูงเสมอ

ในอีกทางหนึ่ง เราต้องการช่วยให้คุณเห็นว่าคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์มากน้อยเพียงใด Perekonatisya บนก้นที่เฉพาะเจาะจง scho zavzhd є m_sce ความคิดสร้างสรรค์ เราสงสัยว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นบทความที่สร้างแรงบันดาลใจให้คุณเกี่ยวกับเรื่องตลกและบทวิจารณ์ที่ไม่ดีในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์อื่นๆ

บอกเราในความคิดเห็น สิ่งที่คุณพบในบทความ พิสูจน์มัน คุณต้องการ Qi ที่สำนักงานใหญ่ เขียนถึงเราว่าคุณคิดอย่างไรเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทความนี้ - เรายินดีที่จะพูดคุยทุกเรื่องกับคุณ

blog.website พร้อมสำเนาใหม่หรือส่วนตัวของเนื้อหาที่ส่งในการรวมต้นฉบับ

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส: ผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่หมุนวนบนขา ( กі ข) พื้นที่เพิ่มเติมของสี่เหลี่ยมที่เรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ( ค).

สูตรทางเรขาคณิต:

กลับไปที่ซัง ทฤษฎีบทของ Boule ถูกกำหนดขึ้นในระดับที่ไม่เหมาะสม:

สูตรพีชคณิต:

Tobto รู้ความยาวของความดันเลือดต่ำของ tricutnik ผ่าน คและ dozhini cathetiv ผ่าน กі ข :

ก 2 + ข 2 = ค 2

การกำหนดทฤษฎีบทที่น่ารังเกียจนั้นเทียบเท่ากัน แต่อย่างอื่น การกำหนดเป็นพื้นฐานมากกว่า มันไม่ได้หมายความว่าเข้าใจพื้นที่ เพื่อให้ความแน่วแน่อื่นสามารถบิดเบี้ยวได้ โดยไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับบริเวณนั้น โดยตายลงด้านข้างของ Tricutnik ที่ตัดตรงเท่านั้น

ทฤษฎีบทพลิกกลับของพีทาโกรัส:

พิสูจน์

ในขณะนี้ การพิสูจน์ทฤษฎีบท 367 รายการได้รับการบันทึกไว้ในเอกสารทางวิทยาศาสตร์ อิโมเวียร์โน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นทฤษฎีบทเดียวที่มีการพิสูจน์จำนวนมาก ความแตกต่างดังกล่าวสามารถอธิบายได้ด้วยความหมายพื้นฐานของทฤษฎีบทเรขาคณิตเท่านั้น

ทำความเข้าใจ แนวคิดสามารถแบ่งออกเป็นชั้นเรียนจำนวนน้อย ในหมู่พวกเขา: พิสูจน์โดยวิธีพื้นที่ การพิสูจน์เชิงสัจพจน์และแปลกใหม่ (ตัวอย่างเช่น สำหรับความช่วยเหลือของสมการเชิงอนุพันธ์)

ด้วยอุบายที่คล้ายคลึงกัน

การพิสูจน์สูตรพีชคณิตที่กำลังจะมาถึงเป็นการพิสูจน์ที่ง่ายที่สุด ซึ่งอยู่เบื้องหลังสัจพจน์โดยตรง โซเครมา, การเข้าใจพื้นที่ของตัวเลขไม่ใช่ชัยชนะ

มาเร็ว เอบีซีє tricout ตัดตรงด้วยการตัดตรง ค. ลองวาดความสูงจาก คіมีความหมายїїเป็นพื้นฐานผ่าน ชม. ตรีคุตนิก อชคล้ายกับไตรคุตนิก เอบีซีในสองส่วน ไตรโครตในทำนองเดียวกัน ซีบีเอชคล้ายกัน เอบีซี. สัญญาณ Vivshi

ยอมรับได้

อะไรเทียบเท่า

สกรีล เอาเลย

พิสูจน์ด้วยวิธีพื้นที่

พิสูจน์ให้ต่ำลง ไม่ว่าจะง่ายแค่ไหน แต่ก็ไม่ง่ายขนาดนั้น กลิ่นเหม็นทั้งหมดชนะพลังของพื้นที่ พิสูจน์การพับบางส่วนเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

พิสูจน์ความเท่าเทียมกัน

1. Roztashuemo chotiri tricutniks แบบตัดตรงดังแสดงในตัวเล็ก 1
2. โชติกฤคุตนิกพร้อมด้วยฝ่าย คєสแควร์เศษของผลรวมของสอง gostrikh kutiv 90 °และ kutiv เปิด - 180 °
3. พื้นที่ของตัวเลขทั้งหมดเป็นของแข็งจากด้านหนึ่งพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน (a + b) จากด้านอื่น ๆ ผลรวมของกำลังสองของ tricots และสองช่องสี่เหลี่ยมด้านใน

เอาอะไรมา.

พิสูจน์ด้วยการสมมูล

บทพิสูจน์ที่สง่างามเบื้องหลังการจัดเรียงใหม่เพิ่มเติม

ก้นของหนึ่งในหลักฐานเหล่านี้ระบุไว้บนเก้าอี้เท้าแขนด้านขวา เดอสแควร์ กระตุ้นด้านตรงข้ามมุมฉาก เรียงสับเปลี่ยนเป็นสองสี่เหลี่ยม กระตุ้นที่ขา

บทพิสูจน์ของยุคลิด

เก้าอี้เท้าแขนก่อนการพิสูจน์ของยุคลิด

ภาพประกอบก่อนการพิสูจน์ของยุคลิด

แนวคิดในการพิสูจน์ Euclid อยู่ในแนวรุก: เราจะพยายามนำครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยม pobudovannaya บนด้านตรงข้ามมุมฉากมากกว่าผลรวมของครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยม pobudovannyh บนขาและแม้กระทั่งพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่และสองอันเท่ากัน

มาดูอาร์มแชร์กัน ใน mi ใหม่ เราสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมสามเหลี่ยมและดึงจากด้านบนของขดลวดตรง C promin ในแนวตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก AB, สี่เหลี่ยมกุหลาบ ABIK, แจ้งไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก, ถึงสองสี่เหลี่ยม - BHJI และ HAKJ อย่างเห็นได้ชัด ปรากฏว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมเหล่านี้เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่วางอยู่บนขาขวาพอดี

ลองมาดูกันว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส DECA เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า AHJK สิ่งสุดท้ายคือการกำหนดพื้นที่ของ tricot เป็นครึ่งหนึ่งของฐานรากของความสูง จากการเตือนครั้งแรกคุณจะเห็นว่าพื้นที่ของ tricot ACK นั้นมากกว่าพื้นที่ของ tricot AHK (ไม่ได้ปรากฎบนตัวเล็ก), จามรี, ใกล้ด้านหลัง, ครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของ AHJK ตัดตรง

ตอนนี้สมมติว่าพื้นที่ของ tricot ACK นั้นเป็นพื้นที่ครึ่งหนึ่งของจัตุรัส DECA สิ่งเดียวที่จำเป็นสำหรับจุดประสงค์นี้คือการนำความเท่าเทียมกันของ tricots ACK และ BDA (เศษของพื้นที่ของ tricot BDA เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมสำหรับพลังงานที่สั่ง) ความเท่าเทียมกันนั้นชัดเจน ไตรโคตเท่ากันทั้งสองข้างและมีคุตคูระหว่างกัน เหมือนกัน - AB=AK,AD=AC - ความสม่ำเสมอของการตัด CAK และ BAD นั้นง่ายต่อการนำมาโดยวิธีการเคลื่อนไหว: หมุน CAK tricout 90 °ตรงข้ามกับลูกศร นอกจากนี้ยังเห็นได้ชัดว่าด้านข้างของ tricouts ทั้งสองซึ่ง มองดูกว้างขึ้น (ผ่านช่องด้านบนสุดของจัตุรัส - 90°)

ข้อสังเกตเกี่ยวกับความสม่ำเสมอของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส BCFG และสี่เหลี่ยมผืนผ้า BHJI นั้นคล้ายคลึงกันมาก

ทิมเองทำให้เข้าใจได้ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมซึ่งเกิดขึ้นจากด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นเกิดจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมซึ่งเกิดขึ้นที่ขา แนวคิดที่ว่าข้อพิสูจน์ข้อใดมีภาพประกอบเพิ่มเติมสำหรับภาพเคลื่อนไหวเพิ่มเติม เนื่องจากมีความละเอียดอ่อนมากกว่า

บทพิสูจน์ของเลโอนาร์โด ดา วินชี

บทพิสูจน์ของเลโอนาร์โด ดา วินชี

องค์ประกอบหลักของการพิสูจน์คือความสมมาตรและรูห์

ดูที่เก้าอี้เท้าแขนอย่างที่คุณเห็นจากความสมมาตรvіdrіzok คฉันสี่เหลี่ยมสีชมพู กขชมเจ ในสองส่วนเดียวกัน (เศษของ tricutniks กขคі เจชมฉันเท่ากับโปบูโดวา) Koristuyuchisya หัน 90 องศากับลูกศรของปี เราสมดุล vbachayemo ของร่างฟัก คกเจฉัน і ชงกข . ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนว่าพื้นที่ของรูปที่แรเงาโดยเรานั้นมากกว่าผลรวมของครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่อยู่บนขาซึ่งพื้นที่ของ \u200btricot ภายนอก อีกด้านหนึ่ง, อีกครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมซึ่งวางอยู่บนด้านตรงข้ามมุมฉาก, บวกกับพื้นที่ของไตรคอตด้านนอก. หลักฐานที่เหลือหวังว่าจะได้อ่าน

พิสูจน์ด้วยวิธีเล็ก ๆ น้อย ๆ

การพิสูจน์ที่น่ารังเกียจสำหรับความช่วยเหลือของสมการเชิงอนุพันธ์มักมาจากนักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวอังกฤษชื่อ Hardy ซึ่งมีชีวิตอยู่ในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20

มองไปที่เก้าอี้เท้าแขน โชว์เจ้าตัวเล็ก และดูการเปลี่ยนข้าง กเราสามารถบันทึกการโจมตีของspіvvіdnoshenyaเพื่อเพิ่มด้านข้างทีละเล็กทีละน้อย ชม.і ก(ผู้ชนะคล้ายกับ trikutnikov):

พิสูจน์ด้วยวิธีเล็ก ๆ น้อย ๆ

Koristuyuchis โดยวิธีการของpodіlu zminnyh เรารู้

ความดันเลือดต่ำใน gal virase เพิ่มขึ้นในแต่ละขาทั้งสองข้าง

บูรณาการ cobs, จิตใจ, otrimuemo ที่เท่าเทียมกันและได้รับชัยชนะ

ค 2 = ก 2 + ข 2+ ค่าคงที่

ในลำดับนี้เรามาที่ Bazhan vіdpovіdі

ค 2 = ก 2 + ข 2 .

ไม่ว่าจะใหญ่แค่ไหน เงินฝากกำลังสองในสูตรที่เหลือคือเส้นของสัดส่วนเชิงเส้นระหว่างด้านข้างของไตรโคตและส่วนเพิ่ม แม้ว่าผลรวมจะเกิดจากการสะสมอิสระในส่วนเพิ่มของประเภทอื่นๆ

หลักฐานที่ง่ายที่สุดสามารถนำมาเป็นหลักฐานว่าขาข้างหนึ่งไม่เติบโต (ในกรณีนี้คือขา ข). จากนั้นจึงทำการรวมเข้าด้วยกันอย่างต่อเนื่อง

การเปลี่ยนแปลงและ zagalnennya

• หากคุณต้องการแทนที่กำลังสองที่ขาของตัวเลขอื่นที่คล้ายกัน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะเป็นจริง: Tricot แบบตัดตรงมีผลรวมของพื้นที่ของตัวเลขที่คล้ายกัน เกิดขึ้นที่ขา มีพื้นที่มากขึ้นของตัวเลข เกิดขึ้นที่ด้านตรงข้ามมุมฉากโซเครมา:
  • ผลรวมของพื้นที่ของ tricots ปกติ, ตื่นขึ้นที่ขา, พื้นที่เพิ่มเติมของ trikutnik ที่ถูกต้อง, ตื่นขึ้นที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก
  • ผลรวมของพื้นที่ของpivkolіv, pobudovannyh ที่ขา (เช่นเส้นผ่านศูนย์กลาง), dorіvnyuєpіvkolіv, pіvkolіv, pobudovanogo บนด้านตรงข้ามมุมฉาก ก้นนี้ได้รับชัยชนะเมื่อพิสูจน์พลังของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยส่วนโค้งสองกิโลกรัมและสวมชื่อดวงจันทร์ของฮิปโปคราติก

ประวัติศาสตร์

ชูเป่ย 500-200 ปีก่อนคริสตกาล Zliva เขียนว่า: ผลรวมของกำลังสองของความยาวของความสูงและฐานคือกำลังสองของความยาวของความดันเลือดต่ำ

ในหนังสือจีนโบราณ Chu-Pei มีเรื่องราวเกี่ยวกับพีทาโกรัสสามขาที่มีด้าน 3, 4 และ 5: ในหนังสือเล่มนี้มีการเสนอตัวของเด็กน้อยซึ่งวิ่งไปพร้อมกับเก้าอี้นวมของรูปทรงเรขาคณิตของ Bashary ของอินเดีย

Kantor (นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ชาวเยอรมันที่ยิ่งใหญ่ที่สุด) รู้ว่าความเท่าเทียมกันของ 3 + 4 + 5 = เป็นที่รู้จักกันดีในหมู่ชาวอียิปต์ตั้งแต่ 2300 ปีก่อนคริสตกาล e .. เป็นเวลาหลายชั่วโมงของ King Amenemhat I (gidno with papyrus 6619 to the Berlin Museum) ตามความคิดของ Kantor พิณใหญ่หรือกระสวยดึงเป็นกุฎิทรงตรงโดยมีด้าน 3, 4 และ 5 ช่วย

ง่ายกว่าที่จะทำตามวิธีเดียวกัน เอาเสื้อกันลมยาว 12 ม. มาผูกให้เธอตามสีของสามีบนผ้ายาว 3 ม. จากหนึ่งในสี่และ 4 เมตรจากอีกที่หนึ่ง กุดตรงจะเชื่อมต่อระหว่างด้านข้างของ zavdovka 3 และ 4 เมตร ฮาร์พีโดนาปต์สามารถปฏิเสธได้ว่าวิธีการของพวกเขาจะกระตุ้นให้เราถูกครอบครอง ราวกับว่าเร่งความเร็ว ตัวอย่างเช่น ด้วยเครื่องตัดไม้ ซึ่งจะหยุดนิ่งกับช่างไม้ทั้งหมด มีเด็กน้อยชาวอียิปต์ซึ่งใช้เครื่องมือดังกล่าวเช่นตัวเล็ก ๆ ที่แสดงถึงงานของช่างไม้

มีข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสในหมู่ชาวบาบิโลน ในข้อความหนึ่งซึ่งลงวันที่จนถึงชั่วโมงของฮัมมูราบี นั่นคือจนถึง 2,000 ปีก่อนคริสตกาล นั่นคือเพื่อให้เข้าใกล้การคำนวณด้านตรงข้ามมุมฉากของ tricutnik แบบตัดตรง Zvіdsiคุณสามารถสร้าง nevtіshny visnovka ซึ่งที่ Dvorichchya พวกเขาสามารถทำงานกับ tricutniks แบบตัดตรงได้ด้วยวิธีที่รุนแรงของ vipadkas ในแง่หนึ่งความรู้ปัจจุบันของคณิตศาสตร์อียิปต์และบาบิโลนและในทางกลับกันเกี่ยวกับพวงหรีดที่สำคัญของวอลนัท Van der Waerden (นักคณิตศาสตร์ชาวดัตช์) ได้ไขลานดังกล่าว:

วรรณกรรม

เหมืองรัสเซีย

• Skopets Z.A.เพชรประดับทางเรขาคณิต ม., 2533
• เยเลนสกี้ ช.ตามพีทาโกรัส ม., 2504
• Van der Waerden B. L.วิทยาศาสตร์ตื่นรู้. คณิตศาสตร์ของอียิปต์โบราณ บาบิโลน และกรีก ม., 2502
• เกลเซอร์ จี.ไอ.ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน ม., 2525
• เซนต์ ลิตซ์แมน ทฤษฎีบทพีทาโกรัส มอสโก 1960
  • เว็บไซต์เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่มีการพิสูจน์เนื้อหาจำนวนมากที่นำมาจากหนังสือของ V. Litzman มีเก้าอี้เท้าแขนจำนวนมากนำเสนอในไฟล์กราฟิกจำนวนมาก
• ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและแฝดสามของพีทาโกรัส บทที่ 3 ของหนังสือโดย D.V. Anosov “ดูคณิตศาสตร์แล้วดูสิ”
• เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและวิธีการพิสูจน์ її G. Glazer นักวิชาการจาก Russian Academy of Arts กรุงมอสโก

ภาษาอังกฤษ

• ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ WolframMathWorld
• Cut-The-Knot ส่วนที่อุทิศให้กับทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทพิสูจน์ประมาณ 70 บทและข้อมูลเพิ่มเติม (ภาษาอังกฤษ)

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2553 .