ตัวดำเนินการรากลอการิทึมเป็นศูนย์ ลอการิทึมของกฎที่มีลอการิทึม วิธีแปลงนิพจน์ลอการิทึมให้เป็นตัวแปร

เราคำนวณลอการิทึมต่อไป ในบทความนี้เราจะพูดถึง การคำนวณลอการิทึมกระบวนการนี้เรียกว่า ลอการิทึม- ให้เราดูการคำนวณลอการิทึมสำหรับการคำนวณก่อน ต่อไปเราจะดูวิธีค้นหาค่าลอการิทึมจากกำลังของพวกมัน ตามด้วยการอ้างอิงถึงลอการิทึมที่คำนวณได้โดยการระบุค่าของลอการิทึมอื่น ๆ เริ่มต้นด้วยตารางลอการิทึม ทฤษฎีทั้งหมดถูกนำไปใช้กับวิธีแก้ปัญหาที่รายงาน

การนำทางบนหน้า

การคำนวณลอการิทึมสำหรับการคำนวณ

ในสถานการณ์ที่ง่ายที่สุด คุณสามารถทำเคล็ดลับให้เสร็จและเลิกทำได้ง่ายๆ การค้นหาลอการิทึมที่อยู่ด้านหลังค่า- มาดูกันว่ากระบวนการนี้ทำงานอย่างไร

สาระสำคัญของมันอยู่ที่การนำเสนอตัวเลข b ในรูปแบบของ a c ค่าของลอการิทึมของตัวเลข c และค่าของลอการิทึม ดังนั้นการค้นหาลอการิทึมด้านหลังค่าบ่งบอกถึงความสมดุลของความหึงหวงที่กำลังจะเกิดขึ้น: log a b = log a a c = c

ดังนั้นการคำนวณลอการิทึมสำหรับค่าจะลดลงเป็นค่าของตัวเลข c ดังนั้น a = b และ c เองคือค่าของลอการิทึม

จากข้อมูลในย่อหน้าก่อนๆ หากระบุตัวเลขใต้เครื่องหมายลอการิทึมตามขั้นตอนจริงของลอการิทึม คุณจะสามารถระบุได้ทันทีว่าลอการิทึมตัวใดเป็นขั้นตอนเดียวกัน เราจะแสดงวิธีแก้ปัญหาของก้นให้คุณ

ก้น

ค้นหาบันทึก 2 2 −3 และคำนวณลอการิทึมธรรมชาติของตัวเลข e 5.3 ด้วย

การตัดสินใจ.

ค่าลอการิทึมช่วยให้เราบอกได้ทันทีว่า log 2 2 −3 =−3 ใช่ ตัวเลขใต้เครื่องหมายลอการิทึมมีค่าเท่ากับ 2 -3 ขั้นตอน

ลอการิทึมอื่นเป็นที่รู้จักในทำนองเดียวกัน: lne 5.3 = 5.3

เรื่อง:

บันทึก 2 2 −3 =−3 และ lne 5.3 =5.3

หากไม่ได้ระบุเลข b ใต้เครื่องหมายลอการิทึมเป็นขั้นตอนของฐานของลอการิทึม จำเป็นต้องสงสัยด้วยความเคารพว่าเป็นไปได้ที่จะแสดงตัวเลข b เป็น a c บ่อยครั้งที่ปรากฏการณ์นี้ชัดเจน โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากตัวเลขใต้เครื่องหมายลอการิทึมเกี่ยวข้องกับระยะที่ 1 หรือ 2 หรือ 3 ...

ก้น

คำนวณเป็นลอการิทึม บันทึก 5 25 i

การตัดสินใจ.

เป็นการยากที่จะทราบว่า 25 = 5 2 ไม่อนุญาตให้เราคำนวณลอการิทึมแรก: log 5 25 = log 5 5 2 = 2

มาดูการคำนวณลอการิทึมอื่นกันดีกว่า สามารถแสดงตัวเลขได้โดยดูที่ระดับของหมายเลข 7: (ประหลาดใจกับความจำเป็น) โอตเจ, .

ลองเขียนลอการิทึมที่สามใหม่ด้วยวิธีนี้ ตอนนี้คุณสามารถตามใจตัวเองได้แล้ว เรามาวางดวงดาวกันเถอะ - โดยการใช้ลอการิทึม .

สรุปวิธีแก้ปัญหาสามารถเขียนได้ดังนี้: .

เรื่อง:

บันทึก 5 25 = 2, і .

ถ้าภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมมีจำนวนธรรมชาติมาก ก็ไม่สามารถหารเป็นตัวคูณอย่างง่ายได้ ซึ่งมักจะช่วยในการระบุตัวเลขในโลกที่ดูเหมือนจะร้องเพลงได้โดยการแทนที่ลอการิทึม แล้วจึงคำนวณลอการิทึมที่อยู่ด้านหลังค่าต่างๆ

ก้น

ค้นหาค่าลอการิทึม

การตัดสินใจ.

หน่วยงานของลอการิทึมช่วยให้คุณสามารถระบุค่าลอการิทึมได้ทันที พลังดังกล่าวเกี่ยวข้องกับกำลังของลอการิทึมของหนึ่งและกำลังของลอการิทึมของตัวเลขซึ่งเป็นพื้นฐานโบราณ: log 1 1 = log a a 0 = 0 และ log a a = log a a 1 = 1 จากนั้นหากภายใต้สัญลักษณ์ของลอการิทึมมีตัวเลข 1 หรือตัวเลข a เท่ากับสถานีย่อยของลอการิทึม ดังนั้นในลอการิทึมประเภทนี้จะเท่ากับ 0 และ 1 จะเท่ากัน

ก้น

เหตุใดลอการิทึมและ lg10 จึงเท่ากัน

การตัดสินใจ.

แฟรกเมนต์ แล้วค่าของลอการิทึมคือ .

ในการใช้งานอื่น หมายเลข 10 ใต้เครื่องหมายลอการิทึมจะถูกหลีกเลี่ยงโดยใช้ฐาน ดังนั้นลอการิทึมที่สิบของสิบจึงเท่ากับหนึ่ง จากนั้น lg10=lg10 1 =1

เรื่อง:

І lg10=1.

เป็นสิ่งสำคัญที่การคำนวณลอการิทึมสำหรับค่าต่างๆ (ดังที่เรากล่าวไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า) ขึ้นอยู่กับความถูกต้องที่เท่ากันของบันทึก a a p =p ซึ่งเป็นหนึ่งในกำลังของลอการิทึม

ในทางปฏิบัติ หากตัวเลขอยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึมและฐานของลอการิทึมมองเห็นได้ง่ายในรูปของจำนวนเฉพาะ ก็ง่ายต่อการแก้ไขสูตร ซึ่งแสดงให้เห็นหนึ่งในกำลังของลอการิทึม ลองดูตัวอย่างลอการิทึมซึ่งแสดงให้เห็นชัยชนะของสูตรนี้

ก้น

คำนวณลอการิทึม.

การตัดสินใจ.

เรื่อง:

.

ไม่มีใครรู้ว่าพลังของลอการิทึมนั้นใช้สำหรับการคำนวณด้วย แต่เราจะพูดถึงเรื่องนี้ในย่อหน้าถัดไป

การค้นหาลอการิทึมผ่านลอการิทึมประเภทอื่น

ข้อมูลในย่อหน้านี้ยังคงเป็นหัวข้อของการเพิ่มขึ้นของกำลังลอการิทึมภายใต้ชั่วโมงการคำนวณ แต่ประเด็นหลักอยู่ที่ความจริงที่ว่ากำลังของลอการิทึมถูกใช้เพื่อแสดงลอการิทึมเอาต์พุตผ่านลอการิทึมอื่น ซึ่งเป็นค่าที่ทราบ มาทำก้นให้ใสกันดีกว่า สมมติว่าเรารู้ว่าบันทึก 2 3µ1.584963 ดังนั้นเราสามารถรู้ได้ เช่น บันทึก 2 6 หลังจากทำการปรับเปลี่ยนลอการิทึมเล็กน้อยแล้ว: บันทึก 2 6=บันทึก 2 (2 3)=บันทึก 2 2+บันทึก 2 3data 1+1,584963=2,584963 .

ณ จุดนี้ เรามีกำลังและกำลังเพียงพอที่จะสร้างลอการิทึม อย่างไรก็ตาม มักจำเป็นต้องใช้กำลังลอการิทึมที่กว้างขึ้นเพื่อคำนวณลอการิทึมเอาท์พุตผ่านงานต่างๆ

ก้น

คำนวณลอการิทึมของ 27 บนฐาน 60 เนื่องจากชัดเจนว่าบันทึก 60 2=a และบันทึก 60 5=b

การตัดสินใจ.

เราต้องรู้ log 60 27 . สังเกตได้ง่ายว่า 27 = 3 3 และลอการิทึมเอาต์พุต เนื่องจากกำลังของลอการิทึมของขั้นตอน สามารถเขียนใหม่เป็น 3 log 60 3 ได้

ตอนนี้เรามาดูกันว่า log 60 3 สามารถแสดงผ่านลอการิทึมต่างๆ ได้อย่างไร พลังของลอการิทึมของตัวเลขซึ่งมีพื้นฐานมาจากหลักการโบราณ ช่วยให้เราสามารถเขียนบันทึกความเท่าเทียมกันได้ 60 60 = 1 ในทางกลับกัน บันทึก 60 60 = log60 (2 2 3 5) = บันทึก 60 2 2 +บันทึก 60 3+บันทึก 60 5= 2·ล็อก 60 2+ล็อก 60 3+ล็อก 60 5 ในลักษณะดังกล่าว 2 บันทึก 60 2+บันทึก 60 3+บันทึก 60 5=1- โอตเจ, ล็อก 60 3=1−2·ล็อก 60 2−ล็อก 60 5=1−2·a−b.

ลองคำนวณลอการิทึมเอาต์พุต: log 60 27 = 3 log 60 3 = 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

เรื่อง:

ล็อก 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Okremo Varto เล่าถึงความหมายของสูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่สำหรับลอการิทึมของแบบฟอร์ม - วอห์นอนุญาตให้คุณเปลี่ยนจากลอการิทึมที่มีฐานใดๆ มาเป็นลอการิทึมที่มีฐานเฉพาะ ซึ่งหมายถึงชนิดใดๆ หรือความสามารถในการลบฐานเหล่านั้นออก ใช้ลอการิทึมเอาต์พุตสำหรับสูตรการเปลี่ยนเพื่อไปยังลอการิทึมทีละตัวจากฐาน 2, e หรือ 10 ดังนั้นจากฐานเหล่านี้คุณสามารถสร้างตารางลอการิทึมที่ช่วยให้คุณคำนวณค่าของมันในระดับความแม่นยำที่สูงขึ้น . ณ จุดนี้เราจะแสดงให้คุณเห็นว่าต้องทำอย่างไร

ตารางลอการิทึม vicoristan

สำหรับการคำนวณอย่างใกล้ชิด สามารถปรับค่าลอการิทึมได้ ตารางลอการิทึม- ตารางลอการิทึมที่ใช้กันมากที่สุดบนขาตั้ง 2 คือตารางลอการิทึมธรรมชาติและตารางลอการิทึมหลักสิบ เมื่อทำงานในระบบสิบ ตัวเลขจะถูกแก้ไขด้วยตนเองโดยใช้ตารางลอการิทึมบนฐานสิบ ซึ่งจะช่วยคุณค้นหาค่าลอการิทึม

ตารางที่กำหนดช่วยให้สามารถค้นหาค่าลอการิทึมที่สิบของตัวเลขตั้งแต่ 1,000 ถึง 9999 ด้วยความแม่นยำสูงสุดหนึ่งในหมื่นของค่า (โดยมีเครื่องหมายสามตัวหลังอาการโคม่า) หลักการค้นหาค่าลอการิทึมในตารางลอการิทึมสิบเพิ่มเติมจะถูกวิเคราะห์ในการใช้งานเฉพาะอย่างชัดเจน เรารู้จัก lg1.256

ในคอลัมน์ด้านซ้ายของตารางลอการิทึมสิบ เรารู้ตัวเลขสองตัวแรกของตัวเลข 1.256 ดังนั้นเราจึงรู้ 1.2 (นี่คือวงกลมด้วยเส้นสีน้ำเงินเพื่อความแม่นยำ) หลักที่สามของหมายเลข 1.256 (หมายเลข 5) อยู่ในแถวแรกหรือแถวสุดท้ายของบรรทัดล่างสุด (หมายเลขนี้ถูกวงกลมด้วยเส้นสีแดง) หลักที่สี่ของหมายเลขเอาต์พุต 1.256 (หลัก 6) อยู่ในแถวแรกหรือแถวสุดท้ายทางขวาจากบรรทัดล่างสุด (ตัวเลขนี้ถูกวงกลมด้วยเส้นสีเขียว) ตอนนี้เราพบตัวเลขที่อยู่ตรงกลางตารางลอการิทึมบนคานประตูของแถวที่กำหนดและคอลัมน์ที่กำหนด (ตัวเลขเหล่านี้แสดงเป็นสีส้ม) ผลรวมของค่าของตัวเลขจะให้ค่าของลอการิทึมที่สิบที่แม่นยำกับทศนิยมตำแหน่งที่สี่หลังโคม่าแล้ว บันทึก1.236µ0.0969+0.0021=0.0990.

และคุณจะใช้ตารางค้นหาค่าลอการิทึมสิบของตัวเลขที่มีมากกว่าสามหลักหลังตัวเลขรวมทั้งระหว่าง 1 ถึง 9.999 ได้อย่างไร มันเป็นไปได้. เราจะแสดงวิธีใช้ก้นให้คุณดู

นับได้ lg102.76332. คุณต้องเขียนมันลงไปก่อน ตัวเลขในมุมมองมาตรฐาน: 102.76332 = 1.0276332 · 10 2. หลังจากตั๊กแตนตำข้าวนี้ ร่องรอยควรถูกปัดเศษเป็นทศนิยมตำแหน่งที่สามหลังอาการโคม่า 1.0276332 10 2 µ1.028 10 2ซึ่งในกรณีนี้ลอการิทึมเอาต์พุตที่สิบจะเท่ากับลอการิทึมของตัวเลขที่กำลังคำนวณโดยประมาณ ดังนั้นเราจึงหา lg102.76332µlg1.028·10 2 ตอนนี้กำลังของลอการิทึมหยุดนิ่ง: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2- ค้นหาค่าลอการิทึม lg1.028 จากตารางลอการิทึมหลักสิบ lg1.028 0.0086 +0.0034 = 0.012 เป็นผลให้กระบวนการทั้งหมดในการคำนวณลอการิทึมมีลักษณะดังนี้: log102.76332=log1.0276332 10 2 µlg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2γ0.012+2=2.012.

สุดท้ายนี้หมายความว่าตาราง Vikorist ของลอการิทึมหลักสิบสามารถคำนวณได้ใกล้เคียงกับค่าลอการิทึมใดๆ ก็ตาม สำหรับสิ่งนี้ ก็เพียงพอที่จะใช้สูตรเพิ่มเติมเพื่อไปยังลอการิทึมหลายสิบค่า ค้นหาค่าจากตาราง และคำนวณการคำนวณที่หายไป

ตัวอย่างเช่น บันทึก 2 3 สามารถคำนวณได้ ตามสูตร เราไปต่อที่ฐานใหม่ของลอการิทึม จากตารางลอการิทึมหลักสิบ เราพบ log3 data 0.4771 และ log2 data 0.3010 ในลักษณะดังกล่าว .

รายชื่อวรรณกรรม

• โคลโมโกรอฟ เอ.เอ็ม., อับรามอฟ เอ.เอ็ม., ดุดนิตซิน ยู.พี. และพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: คู่มือสำหรับการติดตั้งระบบไฟมืด 10 - 11 คลาส
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์(คู่มือสำหรับนักเรียนชั้นเตรียมเทคนิค)

สำหรับช่วงเวลาที่ ยกกำลังลอการิทึมของหนึ่ง- สูตรของมันคือดังนี้: ลอการิทึมของหนึ่งเท่ากับศูนย์ จากนั้น เข้าสู่ระบบ 1=0สำหรับ a>0, a≠1 ใดๆ การพิสูจน์ไม่ได้ตรงไปตรงมา: การแยกส่วน a 0 =1 สำหรับ a ใดๆ ที่ตรงกับใจที่สำคัญที่สุด a>0 และ a≠1 จากนั้นความเท่าเทียมกันของบันทึก a 1=0 ตามมาจากค่าลอการิทึมทันที

ให้เราชี้ให้เห็นความเมื่อยล้าของกระดูกที่ตรวจ: log 3 1=0, log1=0 i.

มาดูพลังโจมตีกันดีกว่า: ลอการิทึมของตัวเลขเท่ากับฐาน หน่วยโบราณ, แล้ว, เข้าสู่ระบบ a=1สำหรับ a>0, a≠1 จริงอยู่ แฟรกเมนต์ a 1 =a สำหรับ a ใดๆ จากนั้นลอการิทึมจะบันทึก aa=1

การประยุกต์ค่ากำลังของลอการิทึมและความเท่าเทียมกันของ log 5 5 = 1, log 5.6 5.6 และ lne = 1

ตัวอย่างเช่น บันทึก 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 і .

ลอการิทึมสร้างตัวเลขบวกสองตัว x และ y บวกลอการิทึมของตัวเลขเหล่านี้: บันทึก a (x y) = บันทึก a x + บันทึก a y, ก>0, ก≠1 ให้เรานำพลังมาสู่ลอการิทึมของการสร้างสรรค์ เนื่องจากอำนาจที่เป็นเวที a log a x + log a y = log a x · บันทึก a yและเนื่องจากเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานคือ log a x = x і a log a y = y ดังนั้น log a x a log a y = x y ด้วยวิธีนี้ log a x + log a y = x · y ดาวที่อยู่ด้านหลังค่าลอการิทึมแสดงความหึงหวงซึ่งทำได้

มาดูวิธีใช้ตัวประกอบกำลังกับลอการิทึม: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 .

พลังของลอการิทึมของการสร้างสามารถใช้เพื่อกำหนดการบวกหมายเลขเทอร์มินัล n จำนวนบวก x 1 , x 2 , …, x n เป็น บันทึก a (x 1 · x 2 · ... · xn) = บันทึก a x 1 +บันทึก a x 2 +…+บันทึก a xn - ความหึงหวงนี้สามารถทำได้โดยไม่มีปัญหาใดๆ

ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมธรรมชาติของการสร้างสามารถแทนที่ได้ด้วยผลรวมของลอการิทึมธรรมชาติสามตัวของตัวเลข 4, e, i

ลอการิทึมของผลหารของจำนวนบวกสองตัว x และ y คือความแตกต่างระหว่างลอการิทึมของตัวเลขเหล่านี้ กำลังของลอการิทึมส่วนตัวแสดงโดยสูตรในรูปแบบโดยที่ a>0, a≠1, x และ y เป็นจำนวนบวกทั้งหมด ความถูกต้องของสูตรนี้แสดงเป็นสูตรสำหรับลอการิทึมของการสร้าง: แฟรกเมนต์ แล้วใช้ลอการิทึมแทน

ลองนำส่วนลอการิทึมกำลังมาใช้: .

เรามาต่อกันที่ ขั้นตอนลอการิทึมกำลัง- ลอการิทึมของสเตจคือการบวกตัวบ่งชี้ของสเตจเข้ากับลอการิทึมของโมดูลของสเตจหลัก ให้เราเขียนกำลังของขั้นตอนลอการิทึมในรูปแบบของสูตร: บันทึก a b p = บันทึก a | ข |โดยที่ a>0, a≠1, b และ p เป็นตัวเลขที่ทำให้ระยะ b p มีความละเอียดอ่อน และ b p >0

ตอนนี้เราจะถ่ายทอดพลังนี้ให้กับค่า b เชิงบวก โดยพื้นฐานแล้ว เอกลักษณ์ลอการิทึมช่วยให้เราจำหมายเลข b เป็นบันทึก a b จากนั้น b p = (a log a b) p และปรากฎว่า เนื่องจากพลังของขั้นตอน a p · log a b ดังนั้นเราจึงมาถึงสมการ b p = a p · log a b จากนั้นเราใส่ลอการิทึมไว้ด้านหลังค่า ดังนั้นให้ log a b p = p · log a b

แพ้เพื่อนำพลังนี้ไปสู่ด้านลบข สิ่งสำคัญที่ควรทราบคือนิพจน์ log a b p สำหรับลบ b อาจมีความรู้สึกน้อยกว่าในกรณีของตัวบ่งชี้ที่ตรงกันข้าม ขั้นตอน p (บางครั้งขั้นตอนสำคัญ b p อาจมากกว่าศูนย์ ในกรณีอื่นลอการิทึมไม่เท่ากัน ตามความรู้สึก) และในกรณีนี้ b p =|b| พี โทดี ข พี = | ข | p = (บันทึก a | b |) p = a p · บันทึก a | ข |, ดาว บันทึก a b p = p บันทึก a | ข | -

ตัวอย่างเช่น, และ ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3

จากรัฐบาลชุดก่อนมันไหล พลังของลอการิทึมของรูต: ลอการิทึมของรากของระดับที่ n ของเศษส่วนเพิ่มเติม 1/n ด้วยลอการิทึมของรากย่อย แล้ว โดยที่ a>0, a≠1,n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1, b>0

การพิสูจน์ขึ้นอยู่กับความหึงหวง (ทำให้ประหลาดใจ) เนื่องจากระดับลอการิทึมใช้ได้กับกำลังบวกใดๆ: .

แกนก้นของพลัง vikoristan: .

ตอนนี้ก็ชัดเจนแล้ว สูตรการแปลงเป็นฐานลอการิทึมใหม่จิตใจ - ด้วยเหตุนี้ ก็เพียงพอที่จะนำความเป็นธรรมมาสู่ log c b = log a b log c a โดยพื้นฐานแล้ว เอกลักษณ์ลอการิทึมช่วยให้เราสามารถแสดงตัวเลข b เป็น log a b เป็น log c b = log c a log a b พลังของลอการิทึมของขั้นตอนหายไปอย่างรวดเร็ว: log ca log ab = บันทึก a b บันทึก c a- ดังนั้นจึงนำความเท่าเทียมกันของ log c b = log a b log ca มาซึ่งหมายความว่าได้นำสูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ของลอการิทึมแล้ว

ให้เราแสดงการประยุกต์ใช้กำลังของลอการิทึมจำนวนหนึ่ง: .

สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ช่วยให้คุณสามารถย้ายไปทำงานโดยใช้ลอการิทึมซึ่งสามารถใช้สร้างฐาน "แบบแมนนวล" ได้ ตัวอย่างเช่น ด้วยความช่วยเหลือนี้ คุณสามารถไปที่ลอการิทึมธรรมชาติหรือสิบเพื่อให้คุณสามารถคำนวณค่าของลอการิทึมของตารางลอการิทึม สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ของลอการิทึมยังช่วยให้คุณค้นหาค่าของลอการิทึมได้ในบางกรณีตราบใดที่คุณคำนึงถึงค่าของลอการิทึมด้วยฐานอื่น ๆ

Vikorist มักใช้สูตรเวอร์ชันใหม่เพื่อเปลี่ยนเป็นฐานใหม่สำหรับลอการิทึมที่มี c = b อยู่ในรูปแบบ - เป็นที่ชัดเจนว่า log ab และ log ba – . ตัวอย่างเช่น, .

สูตรนี้มักจะถูกทำให้เป็นกรดด้วย ค่าลอการิทึมมีประโยชน์แค่ไหน? เพื่อยืนยันคำพูดของเรา เราจะแสดงวิธีคำนวณค่าลอการิทึมโดยใช้ค่าดังกล่าว มาเอโมะ - เพื่อพิสูจน์สูตร ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้สูตรเพื่อเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ของลอการิทึม a อย่างรวดเร็ว: .

เป็นไปไม่ได้ที่จะนำเจ้าหน้าที่ไปสู่ระดับลอการิทึม

ขอให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนบวกใดๆ b1 และ b2, b1 log a b 2 และสำหรับ a>1 – ความไม่สม่ำเสมอของ log a b 1

Nareshti แพ้ในการนำพลังลอการิทึมการประกันเกินส่วนที่เหลือมา ให้เราแนะนำการพิสูจน์ในส่วนแรกและพิสูจน์ว่า 1 >1, 2 >1 และ 1 1 เป็นจริง log a 1 b> log a 2 b การยืนยันกำลังของลอการิทึมอื่นๆ ก็มีพื้นฐานอยู่บนหลักการที่คล้ายกัน

วิธีที่รวดเร็วไม่เหมาะสม เป็นที่ยอมรับได้ว่าสำหรับ 1 >1, 2 >1 และ 1 1 เป็นจริง log a 1 b≤log a 2 b พลังของลอการิทึมสามารถเขียนใหม่ได้เป็น і เป็นที่ชัดเจน และจากนั้นก็เป็นไปตามนั้นว่า log b a 1 ≤ log b a 2 และ log b a 1 ≥ log b a 2 นั้นชัดเจน จากนั้น เบื้องหลังอำนาจของระดับต่างๆ ด้วยหลักการพื้นฐานเดียวกัน ความรับผิดชอบของความหึงหวงถูกกำหนดไว้: b log b a 1 b log b a 2 และ b log b a 1 b log b a 2 จากนั้น a 1 a 2 นี่คือวิธีที่เราเกิดจิตใจอันเป็นนิรันดร์ขั้นสุดยอด 1

รายชื่อวรรณกรรม

• โคลโมโกรอฟ เอ.เอ็ม., อับรามอฟ เอ.เอ็ม., ดุดนิตซิน ยู.พี. และพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: คู่มือสำหรับการติดตั้งระบบไฟมืด 10 - 11 คลาส
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์(คู่มือสำหรับนักเรียนชั้นเตรียมเทคนิค)

วันนี้เราจะมาพูดถึง สูตรลอการิทึมและแสดงให้สาวๆดู ใช้ความตั้งใจของคุณ.

รูปแบบการตัดสินใจนั้นสอดคล้องกับกำลังพื้นฐานของลอการิทึม ก่อนอื่น เราจะเตือนคุณถึงพลัง:

ตอนนี้เราจะแสดงบนพื้นฐานของสูตรเหล่านี้ (หน่วยงาน) ใช้ลอการิทึมสูงสุด.

ใช้คำตอบของลอการิทึมจากสูตร

ลอการิทึมจำนวนบวก b บนขาตั้ง a (ระบุโดยบันทึก a b) - นี่คือตัวบ่งชี้ขั้นตอนที่ต้องดำเนินการเพื่อยกเลิก b โดยที่ b > 0, a > 0 และ 1

เห็นได้ชัดว่าบันทึก a b = x ซึ่งเทียบเท่ากับ a x = b จากนั้นให้บันทึก a a x = x

ลอการิทึม, นำมาใช้:

บันทึก 28 = 3 เพราะ 2 3 = 8

บันทึก 7 49 = 2 เพราะ 7 2 = 49

บันทึก 5 1/5 = -1 เพราะ 5 -1 = 1/5

ลอการิทึมของสิบ- ลอการิทึมหลัก ตามค่า 10 กำหนดให้เป็น lg

บันทึก 10100 = 2 เพราะ 10 2 = 100

ลอการิทึมธรรมชาติ- ลอการิทึมหลักก็คือลอการิทึม ยกเว้นด้วยการแทนที่ e (e = 2.71828... - จำนวนอตรรกยะ) ระบุว่าเป็น ln.

สิ่งสำคัญคือต้องจำสูตรกำลังของลอการิทึมเพื่อที่เราจะได้ต้องใช้เมื่อลอการิทึมที่ไม่มีการเชื่อมต่อ สมการลอการิทึมและอสมการ มารีวิวสูตรผิวก้นกันอีกครั้ง

• เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
  บันทึก a b = b

  8 2ล็อก 8 3 = (8 2ล็อก 8 3) 2 = 3 2 = 9

• ลอการิทึมจะสร้างผลรวมของลอการิทึมที่เท่ากัน
  บันทึก a (bc) = บันทึก a b + บันทึก a c

  บันทึก 3 8.1 + บันทึก 3 10 = บันทึก 3 (8.1 * 10) = บันทึก 3 81 = 4

• ลอการิทึมของผลต่างส่วนตัวของลอการิทึม
  log a (b/c) = บันทึก a b - บันทึก a c

  9 บันทึก 5 50 / 9 บันทึก 5 2 = 9 บันทึก 5 50 - บันทึก 5 2 = 9 บันทึก 5 25 = 9 2 = 81

• ระดับกำลังของเลขลอการิทึมและพื้นฐานของลอการิทึม

  ขั้นตอนตัวบ่งชี้ของจำนวนลอการิทึม บันทึก a b m = mlog a b

  ลอการิทึมฐานของตัวบ่งชี้ขั้นตอน log a n b =1/n*log a b

  บันทึก a n b m = m/n*บันทึก a b

  เนื่องจาก m = n เราสามารถกำจัด log a n b n = log a b ได้

  บันทึก 4 9 = บันทึก 2 2 3 2 = บันทึก 2 3

• การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่
  บันทึก a b = บันทึก c b/บันทึก c a

  ถ้า c = b เราสามารถลบบันทึก b b = 1 ได้

  จากนั้นให้ล็อก a b = 1/log b a

  บันทึก 0.8 3*บันทึก 3 1.25 = บันทึก 0.8 3*บันทึก 0.8 1.25/บันทึก 0.8 3 = บันทึก 0.8 1.25 = บันทึก 4/5 5/4 = -1

ดังที่คุณทราบ สูตรลอการิทึมไม่ซับซ้อนเท่าที่เขียนไว้ ตอนนี้ เมื่อดูการประยุกต์ใช้การแก้ลอการิทึมแล้ว เราก็มาดูสมการลอการิทึมกันดีกว่า การประยุกต์ใช้ความสัมพันธ์ระหว่างสมการลอการิทึมจะกล่าวถึงในรายงานด้านล่างในสถิติ: "" อย่าพลาด!

หากคุณสูญเสียแหล่งอาหารเขียนลงในความคิดเห็นจนกว่าจะถึงสถิติ

หมายเหตุ: เราตัดสินใจให้ความรู้แก่ชั้นเรียนอื่นเกี่ยวกับการเริ่มต้นหลังวงล้อมเพื่อเป็นทางเลือกในการพัฒนาแนวทางดังกล่าว

สถิติเหล่านี้เป็นศูนย์กลางของการเคารพ – ลอการิทึม- ที่นี่เราจะแนะนำความหมายของลอการิทึม มาดูความหมาย การประยุกต์ใช้ลอการิทึม กันดีกว่า และพูดคุยเกี่ยวกับลอการิทึมธรรมชาติและสิบ หลังจากนี้ เรามาดูเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานกัน

การนำทางบนหน้า

ค่าลอการิทึม

แนวคิดของลอการิทึมเข้ามามีบทบาทเมื่อจำเป็นต้องคำนวณตัวบ่งชี้ขั้นตอนสำหรับค่าขั้นตอนที่กำหนดและฐานที่กำหนด

มาเข้าประเด็นกันดีกว่า ตอนนี้ถึงเวลาที่จะถามว่า "ลอการิทึมคืออะไร"? ผู้หญิงถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจน

วิซนาเชนเนีย.

ลอการิทึมของจำนวน b บนฐาน aโดยที่ a>0, a≠1 และ b>0 – นี่คือตัวบ่งชี้ระดับที่คุณต้องป้อนตัวเลข a เพื่อลบ b ออกจากผลลัพธ์

ในขั้นตอนนี้ สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าคำว่า "ลอการิทึม" สามารถเรียกคำสองคำได้ทันที: "เลขอะไร" และ "ด้วยการแทนที่อะไร" มิฉะนั้น ดูเหมือนว่าไม่มีลอการิทึม มีแต่ลอการิทึมของตัวเลขในรูปแบบอื่นเท่านั้น

มาแนะนำกันทันที ระบุด้วยลอการิทึม: ลอการิทึมของตัวเลข b ตาม a มักจะแสดงเป็น log a b ลอการิทึมของเลข b บนขาตั้ง e และลอการิทึมบนขาตั้ง 10 มีความหมายพิเศษของตัวเอง lnb และ lgb ดังนั้นอย่าเขียน log e b แต่เขียน lnb และไม่ใช่ log 10 b แต่เขียนเป็น lgb

ตอนนี้คุณสามารถชี้: .
และบันทึกต่างๆ มันไม่สมเหตุสมผลเลย อันแรกมีจำนวนลบภายใต้เครื่องหมายลอการิทึม อีกอันมีจำนวนลบที่ฐาน และอันที่สามมีทั้งจำนวนลบใต้เครื่องหมายลอการิทึมและอีกอันอยู่ที่ฐาน

ตอนนี้เรามาพูดถึง กฎสำหรับการอ่านลอการิทึม- บันทึกสัญกรณ์ a b อ่านว่า "ลอการิทึมของ b อิงจาก a" ตัวอย่างเช่น log 2 3 คือลอการิทึมจำนวนเต็มของ 3 ถึงฐาน 2 และเป็นลอการิทึมจำนวนเต็มของ 2 จุด 2 ถึงรากที่สองของฐานของ 5 ลอการิทึมตาม e เรียกว่า ลอการิทึมธรรมชาติและรายการ lnb อ่านว่า “ลอการิทึมธรรมชาติของ b” ตัวอย่างเช่น ln7 คือลอการิทึมธรรมชาติของ 7 และเราอ่านมันเป็นลอการิทึมธรรมชาติของ pi ลอการิทึมบนฐาน 10 มีชื่อพิเศษเช่นกัน - ลอการิทึมที่สิบและรายการ lgb อ่านว่า “ลอการิทึมที่สิบของ b” ตัวอย่างเช่น lg1 คือลอการิทึมที่สิบของหนึ่ง และ lg2.75 คือลอการิทึมที่สิบของสองจุดเจ็ดสิบห้าร้อย

Varto ศึกษาแนวคิด a>0, a≠1 และ b>0 อย่างรอบคอบ โดยให้ค่าลอการิทึมที่สอดคล้องกัน ขอให้ชัดเจนว่าดวงดาวถูกถ่ายโดยไม่มีการอ้างอิง การหาเงินจะช่วยให้คุณซื่อสัตย์ต่อรูปลักษณ์และชื่อของคุณ เนื่องจากค่าลอการิทึมสูงสุดจะไหลออกมาโดยตรง

ลองทำ≠1 กัน เนื่องจากหนึ่งในโลกใดๆ ก็ตามที่มีมาแต่โบราณ ความอิจฉาริษยาจึงยุติธรรมน้อยกว่าที่ b = 1 แต่ที่ล็อก 1 อาจเป็นจำนวนจริงได้ เพื่อชื่นชมความสำคัญอันมากมายนี้ เราใช้≠1

มันถูกลงสีพื้นไว้จนถึงขอบเขตของการซัก a>0 เมื่อ a = 0 ค่าลอการิทึมจะเท่ากันน้อยกว่า ซึ่งเป็นไปได้น้อยกว่าสำหรับ b = 0 Ale ดังนั้น log 0 0 อาจเป็นจำนวนจริงได้ เช่นเดียวกับที่ 0 ก็คือศูนย์ จิตใจ a≠0 ช่วยให้คุณเข้าใจความสำคัญอันมากมายนี้ และเมื่อก<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

นเรศติ จิตข>0 ไหลมาจากความไม่สม่ำเสมอ ก>0 ชิ้นส่วน และก้าวสำคัญที่มีพื้นฐานเชิงบวกย่อมเป็นบวกเสมอ

ในตอนท้ายของจุดนี้ เราบอกว่าค่าลอการิทึมที่ประกาศช่วยให้คุณสามารถระบุค่าของลอการิทึมได้ทันที หากมีขั้นตอนที่สองของการทดแทนภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม แท้จริงแล้ว ค่าของลอการิทึมช่วยให้เรายืนยันได้ว่าถ้า b = a p ดังนั้นลอการิทึมของตัวเลข b บนขาตั้ง a จะเท่ากับ p มันเป็นความจริงที่ log a a p = p ตัวอย่างเช่น เรารู้ว่า 2 3 =8 ดังนั้นให้บันทึก 2 8=3 เราจะพูดถึงรายงานนี้ที่สถิติ

ลอการิทึมของตัวเลข เอ็น บนขาตั้ง ก เรียกว่า เวทีแสดง เอ็กซ์ จำเป็นต้องรู้ในจามรี ก เพื่อลบหมายเลข เอ็น

อะไรวะ
,
,

ค่าลอการิทึมจึงมองเห็นได้
, แล้ว.
- ความหึงหวงนี้เป็นเอกลักษณ์เฉพาะของลอการิทึมหลัก

ลอการิทึมบนฐาน 10 เรียกว่าลอการิทึมสิบ ซามิสต์
เขียน
.

ลอการิทึมบนขาตั้ง จ เรียกว่าเป็นธรรมชาติและถูกกำหนดไว้
.

กำลังหลักของลอการิทึม

ลอการิทึมของหนึ่งสำหรับการทดแทนใดๆ ก็ตามจะเท่ากับศูนย์

ลอการิทึมเท่ากับผลรวมของลอการิทึมของ spp

3) ลอการิทึมของผลต่างส่วนตัวของลอการิทึม

ตัวคูณ
เรียกว่าโมดูลสำหรับแปลงลอการิทึมบนขาตั้ง ก เป็นลอการิทึมบนฐาน ข .

ด้วยความช่วยเหลือของหน่วยงานที่ 2-5 มักจะจำเป็นต้องคำนวณลอการิทึมของนิพจน์การพับอันเป็นผลมาจากการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายกับลอการิทึม

ตัวอย่างเช่น,

การแปลงลอการิทึมดังกล่าวเรียกว่าลอการิทึม การกลับตัวของลอการิทึมเรียกว่าศักยภาพ

หมวดที่ 2 องค์ประกอบของคณิตศาสตร์ชั้นสูง

1. พรมแดน

ระหว่างฟังก์ชั่น
Terminal หมายเลขเทอร์มินัล A เช่นเดียวกับในกรณีเกิดเพลิงไหม้ xx 0 เพื่อผิวที่กำหนดไว้ล่วงหน้า
มีจำนวนดังกล่าว
เป็นอย่างไรเท่านั้น
, ที่
.

ฟังก์ชันที่ทำงานระหว่างการเพิ่มขึ้นด้วยจำนวนที่น้อยมาก:
, เดอ -b.m.v., ไปจนถึง
.

ก้น มาดูฟังก์ชั่นกันดีกว่า
.

เมื่อหมดสภาพ
, การทำงาน ย pragna เป็นศูนย์:

1.1. ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับขอบเขต

ระหว่างค่าคงที่และระหว่างค่าคงที่

.

ระหว่างจำนวน (ส่วนต่าง) ของจำนวนฟังก์ชันสุดท้าย จะมีจำนวน (ส่วนต่าง) ที่เท่ากันระหว่างฟังก์ชันเหล่านี้

ระหว่างการเพิ่มจำนวนฟังก์ชันสุดท้าย จะมีการเพิ่มเหมือนกันระหว่างฟังก์ชันเหล่านี้

ระหว่างส่วนของทั้งสองฟังก์ชันจะมีค่าส่วนตัวระหว่างฟังก์ชันเหล่านี้ เนื่องจากความแตกต่างระหว่างเครื่องหมายไม่เท่ากับศูนย์

ขอบเขตปาฏิหาริย์

,
เดอ

1.2. ใช้การคำนวณระหว่าง

อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ว่าขอบเขตทั้งหมดจะคำนวณได้ง่ายๆ บ่อยครั้งที่การคำนวณขอบเขตลดลงจนไม่มีนัยสำคัญต่อประเภท: หรือ .

.

2. ฟังก์ชั่นที่คล้ายกัน

ให้เรามีหน้าที่
โดยไม่หยุดพัก
.

การโต้แย้ง ตัดการเติบโตบางส่วนออกไป
- ฟังก์ชั่นเดียวกันเพิ่มขึ้น
.

ความสำคัญของข้อโต้แย้ง บ่งบอกถึงความหมายของฟังก์ชัน
.

ความสำคัญของข้อโต้แย้ง
บ่งบอกถึงความหมายของฟังก์ชัน

โอเจ, .

เรารู้ถึงความสัมพันธ์ระหว่าง
- เนื่องจากมีความแตกต่างระหว่างทั้งสองจึงเรียกว่าฟังก์ชันที่คล้ายกัน

ค่าของ 3 ฟังก์ชั่นที่กำหนดของไวรัส
เบื้องหลังการโต้แย้ง ถูกเรียกระหว่างการเพิ่มฟังก์ชันเพื่อเพิ่มอาร์กิวเมนต์เมื่อเพิ่มอาร์กิวเมนต์ด้วยจำนวนที่เพียงพอให้เป็นศูนย์

ฟังก์ชั่นที่คล้ายกัน
Buti อาจได้รับมอบหมายตำแหน่งต่อไปนี้:

; ; ; .

การดำเนินการที่สำคัญ 4 ประการในการค้นหาฟังก์ชันที่คล้ายกันเรียกว่า ความแตกต่าง

2.1. ความรู้สึกเชิงกลของเดือนมีนาคม

ลองดูเส้นตรงของวัตถุแข็งหรือจุดวัตถุใดๆ

เรามาร้องเพลงกันเถอะ จุดที่กำลังจะพังทลาย
อยู่ที่ชานเมือง ประเภทของซัง
.

หลังจากนั้นประมาณหนึ่งชั่วโมง
เธอย้ายไปอยู่ชานเมือง
- รูปปั้น =- ความลื่นไหลโดยเฉลี่ยของจุดวัสดุ
- เรารู้ความสัมพันธ์คุณหมอ
.

จากนี้ไป ความลื่นไหลของนวมของจุดวัสดุจะลดลงเป็นเส้นทางที่คล้ายกันหลังจากผ่านไปหนึ่งชั่วโมง

2.2. ค่าเรขาคณิตของเดือนมีนาคม

ให้เรามีฟังก์ชันที่ได้รับมอบหมายแบบกราฟิก
.

เล็ก 1. ตำแหน่งทางเรขาคณิตของการเดินขบวน

ยักชโช
แล้วจุด
จะเคลื่อนตัวเป็นเส้นโค้งเข้าใกล้จุดนั้น
.

โอตเจ
, แล้ว. ค่าที่คล้ายกับค่าที่กำหนดของการโต้แย้ง ตัวเลขเท่ากับค่าแทนเจนต์ของการตัดจุดที่สร้างขึ้น ณ จุดที่กำหนดบนแกนตรงบวก
.

2.3. ตารางสูตรหาอนุพันธ์พื้นฐาน

ฟังก์ชั่นขั้นตอน

ฟังก์ชั่นการแสดงผล

ฟังก์ชันลอการิทึม

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ส่งกลับฟังก์ชันตรีโกณมิติ

2.4. กฎของความแตกต่าง

โพธิ์นาจาก

ฟังก์ชั่นPokhіdna sumi (rіznitsі)

หุ่นยนต์มีสองหน้าที่

คล้ายกับสองฟังก์ชั่นส่วนตัว

2.5. คล้ายกับฟังก์ชั่นการพับ

ปล่อยให้ฟังก์ชันได้รับ
เพื่อที่จะให้ปรากฏแก่สายตาได้

і
, เดซมินนา อาร์กิวเมนต์ระดับกลางแล้ว

ฟังก์ชันการพับที่คล้ายกันจะสร้างฟังก์ชันที่คล้ายกันหลังอาร์กิวเมนต์ตัวกลางเพื่อความคล้ายคลึงของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางเทียบกับ x

ก้น1.

ก้น2.

3. ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล

ปล่อยมันไป
ซึ่งทำให้แตกต่างในทุกส่วน
และปล่อยฉันไป ที่ ฟังก์ชั่นเหล่านี้คล้ายกัน

,

จากนั้นคุณก็สามารถเขียนได้

(1),

เดอ - มูลค่าน้อยอนันต์

ดังนั้นที่

คูณเงื่อนไขความกระตือรือร้นทั้งหมด (1) ด้วย
ใช่แล้ว:

เด
- บี.เอ็ม.วี. ฉันสบายดี.

ขนาด
เรียกว่าฟังก์ชันอนุพันธ์
และมีการระบุไว้

.

3.1. ทางเรขาคณิตมีความสำคัญมากกว่าส่วนต่าง

ปล่อยให้ฟังก์ชันได้รับ
.

รูปที่ 2. การกระจัดเชิงอนุพันธ์ทางเรขาคณิต

.

เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล
เท่ากับการเพิ่มทศนิยมตำแหน่ง ณ จุดนี้

3.2. ที่คล้ายกันและความแตกต่างของคำสั่งที่แตกต่างกัน

ยัคชโช є
แล้ว
เรียกว่าการเดินขบวนครั้งแรก

การเดินขบวนหลังจากการเดินขบวนครั้งแรกเรียกว่าการเดินขบวนของลำดับอื่นและบันทึกไว้
.

คล้ายกับลำดับที่ n ของฟังก์ชัน
เรียกว่าการเดินทัพลำดับ (n-1) และเขียนว่า:

.

ส่วนต่างภายในส่วนต่างของฟังก์ชันเรียกว่าส่วนต่างหรือส่วนต่างของลำดับอื่น

.

.

3.3 ความเชื่อมโยงระหว่างปัญหาทางชีววิทยาและความแตกต่าง

ภารกิจที่ 1 การสืบสวนพบว่าการเจริญเติบโตของอาณานิคมของจุลินทรีย์เป็นไปตามกฎหมาย
เดอ เอ็น – จำนวนจุลินทรีย์ (เป็นพัน) ที -ชั่วโมง (วัน)

b) ในช่วงนี้จำนวนอาณานิคมจะเพิ่มขึ้นหรือเปลี่ยนแปลงหรือไม่?

การยืนยัน ขนาดของอาณานิคมจะเพิ่มขึ้น

ภารกิจที่ 2 น้ำในทะเลสาบได้รับการทดสอบเป็นระยะเพื่อควบคุมแบคทีเรียที่ทำให้เกิดโรค ผ่าน ที วันหลังการทดสอบ ความเข้มข้นของแบคทีเรียจะถูกกำหนดตาม

.

เมื่อมีแบคทีเรียในทะเลสาบมีความเข้มข้นน้อยที่สุด จะสามารถว่ายน้ำได้หรือไม่?

ฟังก์ชันที่แก้ไขแล้วถึงค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ตราบใดที่ค่าถึงศูนย์

,

สิ่งสำคัญคือค่าสูงสุดและต่ำสุดจะอยู่ใน 6 วัน เราควรพาเพื่อนไปเพื่อใคร?

หลักฐาน: หลังจากผ่านไป 6 วัน แบคทีเรียจะมีความเข้มข้นน้อยที่สุด