Куля вписана в призму якості. Комбінації кулі із багатогранниками. Куля, вписана в призму. Комбінація кулі з круглими тілами

Або сферою. Будь-який відрізок, що з'єднує центр кулі з точкою кульової поверхні, називається радіусом. Відрізок, що з'єднує дві точки кульової поверхні і проходить через центр кулі, називається діаметром. Кінці будь-якого діаметра називаються діаметрально протилежними точками кулі.Будь-яке перетин куліплощиною є коло. Центр цього кола є підставою перпендикуляра, опущеного з центру на площу, що сить.Площина, що проходить через центр кулі, називається діаметральною площиною. Перетин кулі діаметральною площиною називається великим колом, а переріз сфери - великим колом. Будь-яка діаметральна площина кулі є її площиною симетрії. Центр кулі є його центром симетрії. Площина, що проходить через точку кульової поверхні і перпендикулярна до радіуса, проведеного в цю точку, називається дотичною площиною. Ця точка називається точкою торкання. Стосовна площина має з кулею лише одну загальну точку - точку торкання.Пряма, що проходить через задану точку кульової поверхні перпендикулярно до радіуса, проведеного в цю точку, називається дотичної. Через будь-яку точку кульової поверхні проходить безліч дотичних, причому всі вони лежать у дотичній площині кулі.Кульовим сегментомназивається частина кулі, що відсікається від нього площиною.Кульовим шаромназивається частина кулі, розташована між двома паралельними площинами, що перетинають кулю.Кульовий секторвиходить із кульового сегмента та конуса.Якщо кульовий сегмент менший за півкулі, то кульовий сегмент доповнюється конусом, у якого вершина в центрі кулі, а основою є основа сегмента.Якщо сегмент більше півкулі, то зазначений конус з нього видаляється. Основні формули Куля (R = ОВ - радіус):S б = 4πR 2; V = 4πR 3/3.Кульовий сегмент (R = ОВ - радіус кулі, h = СК - висота сегмента, r = КВ - радіус основи сегмента):V сегм = πh 2 (R - h/3)або V сегм = πh(h 2 + 3r 2) / 6; S сегм = 2πRh.Кульовий сектор (R = ОВ - радіус кулі, h = СК - висота сегмента):V = V сегм ± V кін, «+»- якщо сегмент менше, «-» - якщо сегмент більший за півсферу.або V = V сегм + V кін = πh 2 (R - h / 3) + πr 2 (R - h) / 3. Кульовий шар (R 1 і R 2 - радіуси основ шарового шару; h = СК - висота шарового шару або відстань між основами):V ш/сл = πh 3 / 6 + πh(R 1 2 + R 2 2 ) / 2; S ш/сл = 2πRh.приклад 1.Об'єм кулі дорівнює 288π см 3 . Знайти діаметр кулі.РішенняV = πd 3/6288π = πd 3/6πd 3 = 1728πd 3 = 1728d = 12 див.Відповідь: 12.приклад 2.Три рівні сфери радіусом r стосуються один одного і деякої площини. Визначити радіус четвертої сфери, що стосується трьох даних та даної площини.Рішення Нехай О1, О2, О3 - центри даних сфер і О - центр четвертої сфери, що стосується трьох даних і даної площини. Нехай А, У, З, Т - точки дотику сфер із цією площиною. Крапки торкання двох сфер лежать на лінії центрів цих сфер, тому О 1 О 2 = О 2 О 3 = О 3 О 1 = 2r. Точки рівновіддалені від площини АВС АВО 2 О 1 , АВО 2 О 3 , АВО 3 О 1- рівні прямокутники, отже, ∆АВС - рівносторонній зі стороною 2r.Нехай х – шуканий радіус четвертої сфери. Тоді ВІД = х. Отже, Аналогічно Отже, Т – центр рівностороннього трикутника. Тому звідсиВідповідь: r/3. Сфера, вписана у пірамідуКожну правильну піраміду можна вписати сферу. Центр сфери лежить на висоті піраміди в точці її перетину з бісектрисою лінійного кута при ребрі основи піраміди.Зауваження. Якщо піраміду, необов'язково правильну, можна вписати сферу, то радіус r цієї сфери можна обчислити за формулою r = 3V / S пп , де V - обсяг піраміди, S пп - площа її повної поверхні.приклад 3.Конічна воронка, радіус основи якої R , а висота H наповнена водою. У вирву опущена важка куля. Яким має бути радіус кулі, щоб об'єм води, витіснений з лійки зануреною частиною кулі, був максимальним?РішенняПроведемо перетин через центр конуса. Цей переріз утворює рівнобедрений трикутник. Якщо в лійці знаходиться куля, то максимальний розмір його радіуса дорівнюватиме радіусу вписаного в рівнобедрений трикутник кола, що вийшов.Радіус вписаного в трикутник кола дорівнює:r = S / p , де S – площа трикутника, p – його напівпериметр.Площа рівнобедреного трикутника дорівнює половині висоти (H = SO), помноженої на основу. Але оскільки основа - подвоєний радіус конуса, то S = RH.Напівпериметр дорівнює p = 1/2 (2R + 2m) = R + m.m - довжина кожної з рівних сторін рівнобедреного трикутника;R - радіус кола, що становить основу конуса.Знайдемо m за теоремою Піфагора: , звідкиКоротко це виглядає так: Відповідь: приклад 4.У правильній трикутній піраміді з двогранним кутом при підставі, що дорівнює α, розташовані дві кулі. Перший шар стосується всіх граней піраміди, а другий шар стосується всіх бічних граней піраміди і першої кулі. Знайти відношення радіуса першої кулі до радіуса другої кулі, якщо tgα = 24/7.Рішення
Нехай РАВС - правильна піраміда і точка Н-центр її основи АВС. Нехай М-середина ребра НД. Тоді - лінійний кут двогранного кута, який за умовою дорівнює α, причому α< 90° . Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой . Нехай ПН 1 - діаметр першої кулі і площина, що проходить через точку Н 1 перпендикулярно до прямої РН , перетинає бічні ребра РА, РВ, РС відповідно в точках А 1 , В 1 , С 1 . Тоді Н 1 буде центром правильного ∆А 1 В 1 С 1 , а піраміда РА 1 В 1 С 1 буде подібна до піраміди РАВС з коефіцієнтом подібності k = РН 1 / РН . Зауважимо, що другий шар, з центром у точці О 1 , є вписаним у піраміду РА 1 В 1 С 1 і тому відношення радіусів вписаних куль дорівнює коефіцієнту подібності: ВІН / ВІН 1 = РН / РН 1 . З рівності tgα = 24/7 знаходимо:Нехай АВ = х. ТодіЗвідси шукане ставлення ВІН/О1Н1=16/9.Відповідь: 16/9. Сфера, вписана у призмуДіаметр D сфери, вписаної в призму, дорівнює висоті Н призми: D = 2R = H.Радіус R сфери, вписаної в призму, дорівнює радіусу кола, вписаного в перпендикулярний переріз призми.Якщо в пряму призму вписано сферу, то в основу цієї призми можна вписати коло.Радіус R сфери, вписаної в пряму призму, дорівнює радіусу кола, вписаного в основу призми.Теорема 1Нехай в основу прямої призми можна вписати коло, і висота Н призми дорівнює діаметру D цього кола. Тоді цю призму можна вписати сферу діаметром D . Центр цієї вписаної сфери збігається з серединою відрізка, що з'єднує центри кіл, вписаних в основу призми.Доведення Нехай АВС ... А 1 В 1 С 1 ... - Пряма призма і О - центр кола, вписаної в її основу АВС. Тоді точка Про рівновіддалена від усіх сторін основи АВС. Нехай О 1 - ортогональна проекція точки О на основу А 1 В 1 С 1 . Тоді О 1 рівновіддалена від усіх сторін основи А 1 В 1 С 1 і ОО 1 || АА 1 . Звідси випливає, що пряма ГО 1 паралельна кожній площині бічної грані призми, а довжина відрізка ГО 1 дорівнює висоті призми і, за умовою, діаметру кола, вписаного в основу призми. Значить, точки відрізка ГО 1 рівновіддалені від бічних граней призми, а середина F відрізка ГО 1 , рівновіддалена від площин підстав призми, буде рівновіддалена від усіх граней призми. Тобто F - центр сфери, вписаної в призму, і діаметр цієї сфери дорівнює діаметру кола, вписаного в основу призми. Теорему доведено.Теорема 2Нехай у перпендикулярний переріз похилої призми можна вписати коло, і висота призми дорівнює діаметру цього кола. Тоді до цієї похилої призму можна вписати сферу. Центр цієї сфери ділить висоту, що проходить через центр кола, вписаного в перпендикулярний перетин навпіл.Доведення
Нехай АВС…А 1 В 1 З 1 … - похила призма і F - центр кола радіусом FK, вписаної в її перпендикулярне перетин. Оскільки перпендикулярний переріз призми перпендикулярно до кожної площини її бічної грані, то радіуси кола, вписаного в перпендикулярний переріз, проведені до сторін цього перерізу, є перпендикулярами до бокових граней призми. Отже, точка F рівновіддалена від усіх бічних граней.Проведемо через точку F пряму ОО 1 перпендикулярну площині підстав призми, що перетинає ці підстави в точках О і О 1 . Тоді ГО 1 – висота призми. Оскільки за умовою ГО 1 = 2FK, то F - середина відрізка ГО 1:FK = ОО 1 / 2 = FО = FО 1, тобто. точка F рівновіддалена від площин всіх без винятку граней призми. Значить, у цю призму можна вписати сферу, центр якої збігається з точкою F - центром кола, вписаної в той перпендикулярний переріз призми, який ділить висоту призми, що проходить через точку F, навпіл. Теорему доведено.Приклад 5.У прямокутний паралелепіпед вписано кулю радіуса 1. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.Рішення Намалюйте вид зверху. Або збоку. Або попереду. Ви побачите те саме - коло, вписане в прямокутник. Очевидно, цей прямокутник буде квадратом, а паралелепіпед буде кубом. Довжина, ширина і висота цього куба вдвічі більша, ніж радіус кулі.АВ = 2, отже, об'єм куба дорівнює 8.Відповідь: 8.Приклад 6.У правильній трикутній призмі зі стороною основи, що дорівнює , розташовані дві кулі. Перший шар вписаний в призму, а другий шар стосується однієї підстави призми, двох її бічних граней і першої кулі. Знайти радіус другої кулі.Рішення
Нехай АВСА 1 В 1 С 1 - правильна призма та точки Р та Р 1 - центри її основ. Тоді центр кулі О , вписаної в цю призму, є серединою відрізку РР 1 . Розглянемо площину РВВ 1 . Оскільки призма правильна, то РВ лежить на відрізку BN, який є бісектрисою та висотою ΔАВС. Отже, площина і є бісекторною площиною двогранного кута при бічному ребрі ВР 1 . Тому будь-яка точка цієї площини рівновіддалена від бічних граней АА 1 ВВ 1 і СС 1 В 1 В. Зокрема, перпендикуляр ОК , опущений з точки Про на межу АСС 1 А 1 лежить у площині РВВ 1 і дорівнює відрізку ОР .Зауважимо, що KNPO - квадрат, сторона якого дорівнює радіусу кулі, вписаної в цю призму.Нехай О 1 - центр кулі, що стосується вписаної кулі з центром Про і бічних граней АА 1 ВВ 1 і СС 1 В 1 призми. Тоді точка О 1 лежить площині РВВ 1 а її проекція Р 2 на площину АВС лежить на відрізку РВ .За умовою сторона основи дорівнює

Центр вписаної кулі - точка перетину бісекторних площин, побудованих для всіх двогранних кутів, що є в піраміді; якщо ці бісекторні площини немає загальної точки, то кулю вписати не можна.

Частковий випадок: бічні грані піраміди рівнонахилені до площини основи. Тоді:

кулю вписати можна;

центр Про кулі лежить на висоті піраміди, конкретніше - це точка перетину висоти з бісектрисою кута між апофемою та проекцією цієї апофеми на площину основи.

6.2. Куля та пряма призма

У пряму призму можна вписати кулю і тоді, коли:

в основу призми можна вписати коло,

діаметр цього кола дорівнює висоті призми.

Центром кулі служить середина відрізка, що з'єднує центри вписаних в основи кіл.

де - радіус вписаної кулі; - радіус вписаної в основу кола; Н – висота призми.

6.3. Куля та циліндр

У циліндр можна вписати кулю тоді і лише тоді, коли осьовий переріз циліндра - квадрат (такий циліндр іноді називають рівностороннім). Центром кулі служить центр симетрії осьового перерізу циліндра.

6.4. Куля та конус

У конус можна вписати кулю завжди. Центром кулі служить центр кола, вписаного в осьовий перетин конуса.

6.5. Куля та усічений конус

У зрізаний конус можна вписати кулю тоді і тільки тоді, коли

Тема "Різні завдання на багатогранники, циліндр, конус і куля" є однією з найскладніших в курсі геометрії 11 класу. Перед тим, як вирішувати геометричні завдання, зазвичай вивчають відповідні розділи теорії, на які посилаються під час вирішення завдань. У підручнику С.Атанасяна та ін. на цю тему (стор. 138) можна знайти лише визначення багатогранника, описаного біля сфери, багатогранника, вписаного в сферу, сфери, вписаної в багатогранник, та сфери, описаної біля багатогранника. У методичних рекомендаціях до цього підручника (див. книгу "Вивчення геометрії в 10-11-х класах" С.М.Саакяна і В.Ф.Бутузова, стор.159) сказано, які комбінації тіл розглядаються при вирішенні завдань № 629-646 , і звертається увага, що “при вирішенні тієї чи іншої завдання передусім потрібно домогтися, щоб учні добре представляли взаємне розташування зазначених у умов тіл”. Далі наводиться вирішення завдань №638(а) та №640.

Враховуючи все вище сказане, і те, що найважчими для учнів є завдання на комбінацію кулі з іншими тілами, необхідно систематизувати відповідні теоретичні положення та повідомити їх учнів.

Визначення.

1. Куля називається вписаною в багатогранник, а багатогранник описаним біля кулі, якщо поверхня кулі стосується всіх граней багатогранника.

2. Куля називається описаною біля багатогранника, а багатогранник вписаним у кулю, якщо поверхня кулі проходить через усі вершини багатогранника.

3. Куля називається вписаною в циліндр, усічений конус (конус), а циліндр, усічений конус (конус) - описаним біля кулі, якщо поверхня кулі стосується підстав (основи) і всіх утворюють циліндра, усіченого конуса (конуса).

(З цього визначення випливає, що в будь-який осьовий переріз цих тіл може бути вписано коло великого кола кулі).

4. Куля називається описаною біля циліндра, усіченого конуса (конуса), якщо кола основ (коло основи і вершина) належать поверхні кулі.

(З цього визначення випливає, що біля будь-якого осьового перерізу цих тіл може бути описано коло більшого кола кулі).

Загальні зауваження щодо положення центру кулі.

1. Центр кулі, вписаної в багатогранник, лежить у точці перетину бісекторних площин всіх двогранних кутів багатогранника. Він розташований лише всередині багатогранника.

2. Центр кулі, описаної біля багатогранника, лежить у точці перетину площин, перпендикулярних всім ребрам багатогранника і проходять через їх середини. Він може бути розташований усередині, на поверхні та поза багатогранником.

Комбінація кулі із призмою.

1. Куля, вписана в пряму призму.

Теорема 1. Кулю можна вписати в пряму призму в тому і тільки в тому випадку, якщо в основу призми можна вписати коло, а висота призми дорівнює діаметру цього кола.

Наслідок 1.Центр кулі, вписаної в пряму призму, лежить у середині висоти призми, що проходить через центр кола, вписаного в основу.

Наслідок 2.Кулю, зокрема, можна вписати у прямі: трикутну, правильну, чотирикутну (у якої суми протилежних сторін основи рівні між собою) за умови Н = 2r, де Н – висота призми, r – радіус кола, вписаного в основу.

2. Куля, описана біля призми.

Теорема 2. Кулю можна описати біля призми в тому і тільки в тому випадку, якщо призма пряма і біля її основи можна описати коло.

Наслідок 1. Центр кулі, описаної біля прямої призми, лежить на середині висоти призми, проведеної через центр кола, описаного біля основи.

Наслідок 2.Кулю, зокрема, можна описати: біля прямої трикутної призми, біля правильної призми, прямокутного паралелепіпеда, біля прямої чотирикутної призми, у якої сума протилежних кутів основи дорівнює 180 градусів.

З підручника Л.С.Атанасяна на комбінацію кулі із призмою можна запропонувати завдання № 632, 633, 634, 637(а), 639(а,б).

Комбінація кулі із пірамідою.

1. Куля, описана біля піраміди.

Теорема 3. Біля піраміди можна описати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо біля її основи можна описати коло.

Наслідок 1.Центр кулі, описаної біля піраміди, лежить у точці перетину прямої, перпендикулярної основи піраміди, що проходить через центр кола, описаної біля цієї основи, і площині, перпендикулярній будь-якому бічному ребру, проведеної через середину цього ребра.

Наслідок 2.Якщо бічні ребра піраміди рівні між собою (або одно нахилені до площини основи), то біля такої піраміди можна описати кулю. бічного ребра та висоти.

Наслідок 3.Кулю, зокрема, можна описати: біля трикутної піраміди, біля правильної піраміди, біля чотирикутної піраміди, у якої сума протилежних кутів дорівнює 180 градусів.

2. Куля, вписана в піраміду.

Теорема 4. Якщо бічні грані піраміди однаково нахилені до основи, то таку піраміду можна вписати кулю.

Наслідок 1.Центр кулі, вписаної в піраміду, у якої бічні грані однаково нахилені до основи, лежить у точці перетину висоти піраміди з бісектрисою лінійного кута будь-якого двогранного кута на підставі піраміди, стороною якого служить висота бічної грані, проведена з вершини піраміди.

Наслідок 2.У правильну піраміду можна вписати шар.

З підручника Л.С.Атанасяна на комбінацію кулі з пірамідою можна запропонувати завдання № 635, 637(б), 638, 639(в),640, 641.

Комбінація кулі з усіченою пірамідою.

1. Куля, описана при правильній зрізаної піраміди.

Теорема 5. Біля будь-якої правильної зрізаної піраміди можна описати кулю. (Ця умова є достатньою, але не є необхідною)

2. Куля, вписана в правильну усічену піраміду.

Теорема 6. У правильну зрізану піраміду можна вписати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо апофема піраміди дорівнює сумі апофем основ.

На комбінацію кулі з усіченою пірамідою в підручнику Л.С.Атанасяна є лише одне завдання (№ 636).

Комбінація кулі з круглими тілами.

Теорема 7. Біля циліндра, зрізаного конуса (прямих кругових), конуса можна описати кулю.

Теорема 8. У циліндр (прямий круговий) можна вписати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо рівномірний циліндр.

Теорема 9. У будь-який конус (прямий круговий) можна вписати кулю.

Теорема 10. У зрізаний конус (прямий круговий) можна вписати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо його утворює дорівнює сумі радіусів основ.

З підручника Л.С.Атанасяна на комбінацію кулі із круглими тілами можна запропонувати завдання № 642, 643, 644, 645, 646.

Для успішного вивчення матеріалу цієї теми необхідно включати у хід уроків усні завдання:

1. Ребро куба дорівнює а. Знайти радіуси куль: вписаного в куб і описаного біля нього. (r = a/2, R = a3).

2. Чи можна описати сферу (кулю) близько: а) куба; б) прямокутного паралелепіпеда; в) похилого паралелепіпеда, в основі якого лежить прямокутник; г) прямого паралелепіпеда; д) похилого паралелепіпеда? (а) так; б) так; в) ні; г) ні; д) ні)

3. Чи справедливе твердження, що біля будь-якої трикутної піраміди можна описати сферу? (Так)

4. Чи можна описати сферу біля будь-якої чотирикутної піраміди? (Ні, не біля кожної чотирикутної піраміди)

5. Які властивості має піраміда, щоб біля неї можна було описати сферу? (У її основі має лежати багатокутник, біля якого можна описати коло)

6. У сферу вписана піраміда, бічне ребро якої перпендикулярно до основи. Як знайти центр сфери? (Центр сфери – точка перетину двох геометричних місць точок в просторі. Перше – перпендикуляр, проведений до площини основи піраміди, через центр кола, описаного біля нього. Друге – площина перпендикулярна даному бічному ребру і проведена через його середину)

7. За яких умов можна описати сферу біля призми, на основі якої – трапеція? (По-перше, призма має бути прямою, і, по-друге, трапеція має бути рівнобедреною, щоб біля неї можна було описати коло)

8. Яким умовам має задовольняти призма, щоб у неї можна було описати сферу? (Призма має бути прямою, і її основою повинен бути багатокутник, біля якого можна описати коло)

9. Біля трикутної призми описана сфера, центр якої лежить поза призмою. Який трикутник є основою призми? (Тупокутний трикутник)

10. Чи можна описати сферу біля похилої призми? (Ні, не можна)

11. За якої умови центр сфери, описаної біля прямої трикутної призми, буде на одній із бічних граней призми? (В основі лежить прямокутний трикутник)

12. Основа піраміди – рівнобедрена трапеція. Ортогональна проекція вершини піраміди на площину основи – точка, розташована поза трапецією. Чи можна при такій трапеції описати сферу? (Так, можна. Те, що ортогональна проекція вершини піраміди розташована поза її основою, не має значення. Важливо, що в основі піраміди лежить рівнобедрена трапеція – багатокутник, біля якого можна описати коло)

13. При правильної піраміди описана сфера. Як розташований її центр щодо елементів піраміди? (Центр сфери знаходиться на перпендикулярі, проведеному до площини основи через його центр)

14. За якої умови центр сфери, описаної біля прямої трикутної призми, лежить: а) усередині призми; б) поза призмою? (В основі призми: а) гострокутний трикутник; б) тупокутний трикутник)

15. Біля прямокутного паралелепіпеда, ребра якого дорівнюють 1 дм, 2 дм та 2 дм, описана сфера. Обчисліть радіус сфери. (1,5 дм)

16. У який зрізаний конус можна вписати сферу? (У усічений конус, в осьовий переріз якого можна вписати коло. Осьовим перетином конуса є рівнобедрена трапеція, сума її підстав повинна дорівнювати сумі її бічних сторін. Інакше кажучи, у конуса сума радіусів підстав повинна дорівнювати твірної)

17. У усічений конус вписано сферу. Під яким кутом утворююча конуса видно з центру сфери? (90 градусів)

18. Яка властивість повинна мати пряму призму, щоб у неї можна було вписати сферу? (По-перше, в основі прямої призми повинен лежати багатокутник, в який можна вписати коло, і, по-друге, висота призми повинна дорівнювати діаметру вписаного в основу кола)

19. Наведіть приклад піраміди, куди не можна вписати сферу? (Наприклад, чотирикутна піраміда, в основі якої лежить прямокутник або паралелограм)

20. В основі прямої призми лежить ромб. Чи можна до цієї призму вписати сферу? (Ні, не можна, тому що біля ромба в загальному випадку не можна описати коло)

21. За якої умови у пряму трикутну призму можна вписати сферу? (Якщо висота призми вдвічі більша за радіус кола, вписаного в основу)

22. За якої умови у правильну чотирикутну усічену піраміду можна вписати сферу? (Якщо перетином даної піраміди площиною, що проходить через середину сторони основи перпендикулярно до неї, є рівнобедрена трапеція, в яку можна вписати коло)

23. У трикутну усічену піраміду вписано сферу. Яка точка піраміди є осередком сфери? (Центр вписаної в цю піраміду сфери знаходиться на перетині трьох біссектральних площин кутів, утворених бічними гранями піраміди з основою)

24. Чи можна описати сферу біля циліндра прямого кругового? (Так можна)

25. Чи можна описати сферу біля конуса, усіченого конуса (прямих кругових)? (Так, можна, в обох випадках)

26. У будь-який циліндр можна вписати сферу? Якими властивостями повинен мати циліндр, щоб у нього можна було вписати сферу? (Ні, не у всякий: осьовий переріз циліндра має бути квадратом)

27. Чи можна в будь-який конус вписати сферу? Як визначити положення центру сфери, вписаної у конус? (Так, у всякий. Центр вписаної сфери знаходиться на перетині висоти конуса і бісектриси кута нахилу, що утворює до площини основи)

Автор вважає, що з трьох уроків, які відводяться за плануванням на тему “Різні завдання на багатогранники, циліндр, конус та кулю”, два уроки доцільно відвести на вирішення задач на комбінацію кулі з іншими тілами. Теореми, наведені вище, через недостатню кількість часу під час уроків доводити не рекомендується. Можна запропонувати учням, які володіють достатніми для цього навичками, довести їх, вказавши (за смиренням вчителя) перебіг чи план доказу.

Розв'язання задач на конус, вписаний у кулю (конус, вписаний у сферу), зводиться до розгляду одного або декількох трикутників.

Конус вписаний у кулю, якщо його вершина та коло основи лежать на поверхні кулі, тобто на сфері. Центр кулі лежить на осі конуса.

При вирішенні завдань на конус, вписаний у кулю, зручно розглядати переріз комбінації тіл площиною, що проходить через вісь конуса та центр кулі. Перетин являє собою велике коло кулі (тобто коло, радіус якого дорівнює радіусу кулі) з вписаним в нього рівнобедреним трикутником - осьовим перетином конуса. Бічні сторони цього трикутника утворюють конуса, основа діаметр конуса.

Якщо кут між такими, що утворюють гострий, центр описаного кола лежить усередині трикутника (відповідно, центр описаного біля конуса кулі — всередині конуса).

Якщо кут між утворюючими прямою, центр кола лежить на середині основи трикутника (центр кулі збігається з центром основи конуса).

Якщо кут між утворюючими тупою, центр кола лежить поза трикутником (центр описаної кулі - поза конусом).

Якщо в задачі не сказано, де саме лежить центр описаної кулі, бажано розглянути, як можуть вплинути на рішення різні варіанти його розташування.

Розглянемо конуса та описаної біля нього кулі площиною, що проходить через вісь конуса та центр кулі. Тут SO = H - висота конуса, SB = l - утворює конуса, SO1 = O1B = R - радіус кулі, OB = r - радіус основи конуса, ∠OSB = α - кут між висотою і утворює конуса.

Трикутник SO1B - рівнобедрений з основою SB (оскільки SO1=O1B=R). Значить, у нього кути при підставі рівні: OSB = O1BS = α, і O1F - медіана, висота і бісектриса. Звідси SF=l/2.

Під час вирішення завдань на конус, вписаний у кулю, можна розглянути прямокутні трикутники SFO1 і SOB. Вони подібні (гострого кута S). З подоби трикутників

У прямокутному трикутнику SOB ∠OBS=90º - ∠OSB=90º-α. За теоремою Піфагора

У прямокутному трикутнику O1OB ∠OBO1 = 90º - ∠O1BS = 90º - α - α = 90º - 2α.