Nivelul planului este drept și perpendicular pe plan.

Repara

Golovna

Tehnologii

În acest articol vom vorbi despre modul în care se formează un plan de plan pentru a trece printr-un punct dat al spațiului trivial perpendicular pe o dreaptă dată.

În primul rând, să ne uităm la principiul găsirii unui plan plat care să treacă printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată, după care ne vom uita la soluția aplicațiilor și instrucțiunilor tipice.

Navigare pe pagină.

Găsirea unui plan care să treacă printr-un punct dat din spațiu, perpendicular pe o dreaptă dată.

Să ne punem înainte de sfârșit.

Fie fixat Oxyz în spațiul trivial, se dă un punct, dreapta a și este necesar să se scrie nivelul planului care trece prin punctul M1 perpendicular pe dreapta a.

Permiteți-mi mai întâi să vă reamintesc un fapt important.

La lecțiile de geometrie din liceu se prezintă o teoremă: printr-un punct dat dintr-un spațiu tridimensional există un singur plan perpendicular pe dreapta (dovada acestei teoreme o găsiți în manualul de geometrie pentru clasele 10-11, indicat în lista de referințe de exemplu statistici).

Acum vom arăta cum să găsim nivelul unei singure zone care trece printr-un punct dat perpendicular pe liniile date.

De dragul înțelegerii, ni se oferă coordonatele x 1, y 1, z 1 ale punctului M 1, care să treacă prin plan.

Apoi, odată ce cunoaștem coordonatele vectorului normal al zonei, putem îndoi planul necesar al zonei, cum ar fi trecerea printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată.

Aplicați un plan îndoit pentru a trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată.
.

Să ne uităm la soluțiile multor aplicații, care au un plan de nivel care trece printr-un punct dat din spațiu perpendicular pe o dreaptă dată.

Zona perpendiculară pe linia dreaptă de coordonate Oz este specificată în afara planului vederii.

Cunoaștem valorile lui Z și D, pentru care aria trece prin punct, înlocuind coordonatele punctului de aliniere:.

Acum vom arăta cum să găsim nivelul unei singure zone care trece printr-un punct dat perpendicular pe liniile date.

În acest fel, numerele C și D sunt asociate cu relații. .

Apoi, odată ce cunoaștem coordonatele vectorului normal al zonei, putem îndoi planul necesar al zonei, cum ar fi trecerea printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată.

Luând C = 1, eliminăm D = -5. Este posibil să găsiți nivelul lui C=1 și D=-5 și să găsiți nivelul planului perpendicular pe dreapta Oz și să treceți prin punct. Acolo poți vedea. Subiect:

Cunoaștem valorile lui Z și D, pentru care aria trece prin punct, înlocuind coordonatele punctului de aliniere:.

.

Acum vom arăta cum să găsim nivelul unei singure zone care trece printr-un punct dat perpendicular pe liniile date.

Scrieți planul planului care trece prin coordonatele și este perpendicular pe dreapta

Apoi, odată ce cunoaștem coordonatele vectorului normal al zonei, putem îndoi planul necesar al zonei, cum ar fi trecerea printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată.

Deci, deoarece aria pe care trebuie să o determinăm este perpendiculară pe o dreaptă atunci vectorul normal al ariei poate fi considerat ca fiind vectorul direct al dreptei date.

Todi

.

Cunoaștem valorile lui Z și D, pentru care aria trece prin punct, înlocuind coordonatele punctului de aliniere:.

.

.

Este imposibil să scrieți nivelul ariei care trece prin punct și este un vector normal : . Acesta este nivelul planului care trece prin sistemul de coordonate perpendicular pe dreapta dată. :
.

În sistemul de coordonate rectiliniu Oxyz, spațiului trivial este dat două puncte i .

Cunoaștem valorile lui Z și D, pentru care aria trece prin punct, înlocuind coordonatele punctului de aliniere:.

.

Planul trece prin punctul A perpendicular pe dreapta AB.

• Scrieți nivelul zonei tăieturilor.
• Planul exterior al planului, care trece prin punct și este vectorul normal al planului
• , înscrie-te yak.
• Bugrov Y.S., Mikilsky S.M.
• Vishcha matematică.

Volumul unu: elemente de algebră liniară și geometrie analitică.

Ilin V.A., Poznyak E.G.

Geometrie analitică.

Acest articol oferă informații despre cum să îndoiți planul unui plan pentru a trece printr-un punct dat al spațiului trivial perpendicular pe liniile drepte date.

Să ne uităm la algoritmul de ghidare de la capătul rezolvării sarcinilor tipice.

Găsirea unui plan care trece printr-un punct dat din spațiu perpendicular pe o dreaptă dată

Să fie date spațiul trivial și sistemul de coordonate rectiliniu O x y z.

Sunt date şi punctul M 1 (x 1, y 1, z 1), o dreaptă a şi un plan α, care trece prin punctul M 1 perpendicular pe dreapta a.

Este necesar să notăm nivelul zonei α.

În primul rând, să începem până la sfârșitul sarcinii, ghiciți teorema geometriei cu programele 10 – 11 clase, pentru a verifica:

Viznachennya 1

Printr-un punct dat dintr-un spațiu trivial, un singur plan trece perpendicular pe o dreaptă dată.

Acum să ne uităm la cum să găsim nivelul unei singure zone care trece prin punctul de ieșire și o linie perpendiculară pe linia dată.

Puteți nota nivelul suprafeței unui plan, având în vedere coordonatele punctului care se află pe plan, precum și coordonatele vectorului normal al planului.

Umova ne-a dat alocarea coordonatelor x1, y1, z1 ale punctului M1, prin care trebuie să trecem planul α.

Deoarece coordonatele vectorului normal al zonei α sunt semnificative, atunci este imposibil să notăm nivelul care coincide.

Vectorul normal al zonei α, ale cărui fragmente sunt nenule și se află pe dreapta a, perpendicular pe aria α, va fi un vector direct al dreptei a.

Astfel, valoarea prestabilită a coordonatelor vectorului normal al planului α se transformă în valoarea prestabilită a coordonatelor vectorului direct al dreptei a. a → = (a x, a y, a z) ;

Coordonatele vectorului normal al planului sunt semnificative ca coordonatele vectorului direct al dreptei a:

n → = (A, B, C), de A = a x , B = a y , C = a z;

Notam nivelul planului care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1, z 1) si vectorul normal n → = (A, B, C) iac A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0.

Va fi nevoie ca planele să treacă printr-un punct dat din spațiu și să fie perpendiculare pe o dreaptă dată. Piața Otrimane zagalne rіvnyanya:

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 face posibilă determinarea nivelului suprafeței tăieturilor sau a nivelului normal al suprafeței.

Să dezvăluim o grămadă de fund, vikorista și să eliminăm algoritmul superior.

fundul 1

Având în vedere un punct M 1 (3, - 4, 5), un plan trece prin el, iar acest plan este perpendicular pe dreapta de coordonate Despre z.

Decizie

vectorul direct al dreptei de coordonate O z va fi vectorul de coordonate k ⇀ = (0, 0, 1).

Cunoaștem valorile lui Z și D, pentru care aria trece prin punct, înlocuind coordonatele punctului de aliniere:. De asemenea, vectorul normal al planului are coordonatele (0, 0, 1).

Să notăm nivelul planului care trece printr-un punct dat M 1 (3, - 4, 5), al cărui vector normal este coordonatele (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

z - 5 = 0 .

Să ne uităm la un alt mod de a afla adevărul:

fundul 2

Cunoaștem valorile lui Z și D, pentru care aria trece prin punct, înlocuind coordonatele punctului de aliniere:. De asemenea, vectorul normal al planului are coordonatele (0, 0, 1).

Aria care este perpendiculară pe dreapta O z va fi dată planurilor nedirecționale ale ariei sub forma Z z + D = 0, C ≠ 0.

Valorile lui C și D sunt semnificative: de exemplu, pentru care planul trece printr-un punct dat.

Având în vedere un punct M 1 (3, - 4, 5), un plan trece prin el, iar acest plan este perpendicular pe dreapta de coordonate Despre z.

Să substituim coordonatele acestui punct în nivelul 3 + D = 0, scădem: 3 · 5 + D = 0.

Tobto.

numere, C și D asociate cu relații - DC = 5.

Cunoaștem valorile lui Z și D, pentru care aria trece prin punct, înlocuind coordonatele punctului de aliniere:.După ce am acceptat Z = 1, respingem D = -5.

Înlocuim valorile în nivelul Z z + D = 0 și găsim nivelul necesar al planului perpendicular pe dreapta O z și trecem prin punctul M 1 (3 - 4 5).

Un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z este dat într-un spațiu trivial, în el sunt două puncte A (2, - 1, - 2) și B (3, - 2, 4).

Având în vedere un punct M 1 (3, - 4, 5), un plan trece prin el, iar acest plan este perpendicular pe dreapta de coordonate Despre z.

Planul trece prin punctul A perpendicular pe dreapta A B. Este necesar să îndoiți nivelul planului la secțiuni.

Aria α este perpendiculară pe dreapta AB, atunci vectorul AB → va fi vectorul normal al ariei α.

Vectorul de coordonate este calculat ca diferența dintre diferitele coordonate ale punctelor B (3, - 2, 4) și A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Nivelul final al zonei va fi scris astfel:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Cunoaștem valorile lui Z și D, pentru care aria trece prin punct, înlocuind coordonatele punctului de aliniere:.Acum să ne dăm seama de nivelul de planeitate al butașilor:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

De asemenea, este important să rețineți că planurile sunt ascuțite, astfel încât să puteți scrie planul planului care trece printr-un punct dat și este perpendicular pe două plane date.

Având în vedere un punct M 1 (3, - 4, 5), un plan trece prin el, iar acest plan este perpendicular pe dreapta de coordonate Despre z.

Apropo, scopul acestei sarcini este de a îndoi planul planului astfel încât să treacă printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată, adică.

două plane care se suprapun primesc o linie dreaptă.

fundul 5

Este dat un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z și are un punct M 1 (2, 0, - 5).

Se dă și alinierea a două plane: 3 x + 2 y + 1 = 0 i x + 2 z – 1 = 0, întrucât se intersectează cu dreapta a.

Cunoaștem valorile lui Z și D, pentru care aria trece prin punct, înlocuind coordonatele punctului de aliniere:. Este necesar să îndoiți planul planului astfel încât să treacă prin punctul M1 perpendicular pe dreapta a.

Coordonatele vectorului direct al dreptei a sunt semnificative.

Să ne uităm la suprafața Q. Poziția acesteia este determinată în întregime de datele vectorului N, perpendicular pe acest plan, și orice punct fix care se află în planul Q. Vectorul N, perpendicular pe planul Q, se numește vector normal ї zona.

Dacă notăm prin A, B și C proiecțiile vectorului normal N, atunci

Putem vedea nivelul ariei Q, astfel încât vectorul normal să treacă prin acest punct.

În acest scop, să ne uităm la vectorul care leagă punctul cu un punct semnificativ al zonei Q (Fig. 81).

Pentru orice poziție a punctului M pe planul Q, vectorul MHM este perpendicular pe vectorul normal N al planului Q. Prin urmare, solidul scalar Să scriem solidul scalar prin proiecții.

Fragmentele și vectorul, atunci

Și, bine,

Am arătat că coordonatele oricărui punct din planul Q satisfac nivelul (4).

Nu este important de reținut că coordonatele punctului nu trebuie să se afle pe planul Q, a cărui ecuație nu este satisfăcută (în cazul rămas).

Ei bine, am identificat nivelul planului Q. Nivelul (4) se numește nivelul planului pentru a trece de acest punct.

Primul pas, coordonate precise

În plus, am arătat că orice plan este indicat de nivelul primei etape la coordonatele exacte.

Exemplul 1. Scrieți planul planului care trece prin punctul perpendicular pe vector.

Decizie. Aici. Pe baza formulei (4) putem elimina sau, după ce și-a luat rămas bun,, Având în vedere coeficienții A, B și C, nivelul (4) este diferit, putem calcula nivelul oricărei suprafețe prin punctul .і Combinația de planuri care trec de un punct dat se numește conexiune de planuri. Alinierea (4), în care coeficienții A, B și C pot dobândi orice valoare, se numește alinierea planurilor.

Cap 2. Îndoiți suprafața plană pentru a trece prin trei puncte (Fig. 82). Decizie. Să scriem o linie de plane care trec printr-un punct Pentru a determina nivelul suprafeței planului, să luăm planul printr-un punct dat. Fie ca întinderea să aibă trei axe de coordonate deja cunoscute nouă - Bou

Oh Decizie. Să scriem o linie de plane care trec printr-un punct Oz.

Ei bine, înțelegeți cum este determinat nivelul suprafeței, de ex. Pentru a-l elimina singur nivelul pătratului Decizie. Să scriem o linie de plane care trec printr-un punct, ceea ce poate duce la o vedere mai bună, să o luăm pe câmpie sunt multumit punct M cu coordonatele schimbate, x, y z . Acest punct ar trebui aplatizat din acest motiv, dacă vector

vector perpendicular :

.

(Fig. 1). În acest scop, pe baza perpendicularității mentale a vectorilor, este necesar și suficient ca adunarea scalară a acestor vectori să fie egală cu zero, astfel încât

Vectorul este plasat în spatele creierului. Coordonatele vectorului sunt cunoscute din formula Acum, formula lui vikorist pentru crearea scalară a vectorilor Decizie. Să scriem o linie de plane care trec printr-un punct, Solid scalar Virazimo sub formă de coordonate: Punctul Bo M(x; y; z)

Dacă zona este suficient de acoperită, atunci nivelul rămas este mulțumit de coordonatele oricărui punct care se află pe zonă.

Pentru un punct

N , ca să nu se întindă pe un plan dat, atunci. , gelozia (1) este distrusă.і fundul 1. Pantele planului care trec prin punct sunt perpendiculare pe vector. cu coordonatele schimbate0 , x0 і y0 Decizie. Să aruncăm o privire la formula lui Vikorist (1) și să ne minunem încă o dată de ea:

Această formulă are numere

O

.

B C coordonatele vectorului și ale numerelor

- coordonatele punctului.

Calculele sunt foarte simple: puteți înlocui numerele din formulă și le puteți elimina Înmulțim tot ce trebuie înmulțit și pur și simplu adunăm numere (ca fără litere). .

Rezultat: Nivelul necesar de suprafață pentru acest cap a fost dezvăluit de nivelurile exterioare ale primei etape din cauza schimbării coordonatelor .

x, y, z

punct suficient al planului. Combinația de planuri care trec de un punct dat se numește conexiune de planuri. O, dragă, sunt gelos pe vedere cu coordonatele schimbate = x numit y Câmpiile Zagalnym ale pieței Combinația de planuri care trec de un punct dat se numește conexiune de planuri. fundul 2. , ca să nu se întindă pe un plan dat, atunci.(0; 0; 6) .

Aflați aria dată planelor într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare Având în vedere coeficienții A, B și C, nivelul (4) este diferit, putem calcula nivelul oricărei suprafețe prin punctul . Decizie. Pentru a determina planul real, este necesar și suficient să cunoașteți trei puncte, astfel încât acestea să nu se afle pe aceeași linie dreaptă, de exemplu, punctele de cruce ale planului cu axele de coordonate. cu coordonatele schimbate = y Cum să cunoști aceste puncte? x Pentru a cunoaște punctul barei transversale de sus gelozia (1) este distrusă.(0; −3; 0) .

, este necesar să se egalizeze, având în vedere, zerouri înlocuite: sau, după ce și-a luat rămas bun, Decizie. Pentru a determina planul real, este necesar și suficient să cunoașteți trei puncte, astfel încât acestea să nu se afle pe aceeași linie dreaptă, de exemplu, punctele de cruce ale planului cu axele de coordonate. x = y= 0. Deci este neglijabil cu coordonatele schimbate= 6. fundul 1.În acest fel, zona dată se țese peste întreg , ca să nu se întindă pe un plan dat, atunci.(0; 0; 6) , gelozia (1) este distrusă. la punct fundul 1. Așa cunoaștem punctul barei transversale a avionului de sus

. La= 0 poate fi eliminat

= −3 , apoi punctul Eu, constat, cunoaștem punctul de cruce al avionului nostru din toate direcțiile= 0 poate fi eliminat = 2, apoi un punct 0 (2; 0; 0).

În spatele celor trei puncte identificate în soluția noastră (0; −3; 0) că= 0 poate fi eliminat (2; 0; 0) se va specifica zona. sau, după ce și-a luat rămas bun,, fragmentul este vectorul normal al planului perpendicular pe axă. sau, după ce și-a luat rămas bun,(proiecția sa pe ansamblu sau, după ce și-a luat rămas bun, egal cu zero). La fel, când B= 0 planeitate Având în vedere coeficienții A, B și C, nivelul (4) este diferit, putem calcula nivelul oricărei suprafețe prin punctul . paralel cu axa , și când B= 0 planeitate Combinația de planuri care trec de un punct dat se numește conexiune de planuri..

C= 3. Când A=D= sau, după ce și-a luat rămas bun, Nivelul 0 înseamnă zona care trece prin întreg sau, după ce și-a luat rămas bun, ((0; −3; 0) căEu, constat, cunoaștem punctul de cruce al avionului nostru din toate direcțiile fragmentele sunt paralele cu axa Având în vedere coeficienții A, B și C, nivelul (4) este diferit, putem calcula nivelul oricărei suprafețe prin punctul . 0). Combinația de planuri care trec de un punct dat se numește conexiune de planuri..

În mod similar, avionul trece prin întreg , și zona din întreg 4. Când A=B= Nivelul 0 înseamnă planul paralel cu planul de coordonate sau, după ce și-a luat rămas bun, (, ca să nu se întindă pe un plan dat, atunci. xOy Având în vedere coeficienții A, B și C, nivelul (4) este diferit, putem calcula nivelul oricărei suprafețe prin punctul . (gelozia (1) este distrusă. fragmentele sunt paralele cu axele = 0) ta= 0). În mod similar, planul este paralel cu planul.

yOz , iar zona este zona xOz 5. Când A=B=D= A=B= 0 rivnyannya (sau A=B= (, și zona din întreg z = Eu, constat, cunoaștem punctul de cruce al avionului nostru din toate direcțiile 0) înseamnă planul de coordonate fragmentele sunt paralele cu planul 0) și trece prin granulația de coordonate ( În mod similar, planul este paralel cu planul 0). La fel, gelozia y = = 0) ta.

0 pentru spațiu înseamnă aria de coordonate, și gelozie Decizie. Să scriem o linie de plane care trec printr-un punct x = Având în vedere coeficienții A, B și C, nivelul (4) este diferit, putem calcula nivelul oricărei suprafețe prin punctul . 0 - plan de coordonate

fundul 3. Având în vedere coeficienții A, B și C, nivelul (4) este diferit, putem calcula nivelul oricărei suprafețe prin punctul . Pantele câmpiei x prin ce să treci , ca să nu se întindă pe un plan dat, atunci.і fundul 1.și punct. Decizie. Să scriem o linie de plane care trec printr-un punct .

Decizie. Ei bine, zona trece prin tot

punct0 (2; −4; 3) .

. cu coordonatele schimbate = 2 , y Pentru că în її egal

2, ca să nu se întindă pe un plan dat, atunci. + 3fundul 1. = 0 .

= 0 și arată așa. , ca să nu se întindă pe un plan dat, atunci. Pentru a selecta coeficienți fundul 1. Este accelerat deoarece punctul se află pe plan

, ca să nu se întindă pe un plan dat, atunci. = −1,5fundul 1. .

Prin urmare, mijlocul coordonatelor este același cu care poate fi înlocuit în planurile plane pe care le-am introdus deja (). , ca să nu se întindă pe un plan dat, atunci. Să ne minunăm încă o dată de coordonatele punctului:

Printre ei

= 3. Le reprezentăm în forma egală a formei galale și eliminăm valoarea egală pentru vederea noastră laterală:

Pierderea 2

partea stângă are un nivel, tolerabil 3 din dreapta, o parte din ea poate fi luată

Înlocuirea valorii găsite în egală măsură, respinsă.

sau .

Acest lucru este egal, este necesar pentru spălarea fundului.

Puneți-vă planurile la același nivel în mod independent și apoi revizuiți-vă deciziile fundul 4. Calculați aria (sau zonele care sunt mai mari decât una) pe baza axelor de coordonate sau a planurilor de coordonate, deoarece aria este dată axelor. Lista comenzilor tipice care apar pe roboții de control - către ajutor

„Conceptul de plan: paralelism, perpendicularitate, secțiune transversală a trei plane într-un punct”

(3)

După deschiderea originii, ceremonia devine egală cu vederea (2), apoi.

spre câmpiile exterioare ale pieţei. fundul 5.

Pantele unui plan care trec prin trei puncte date astfel încât să nu se afle pe aceeași dreaptă:

Și înseamnă că următorul pas al relației zagalal este direct, așa cum poate fi cazul.

Decizie. Urmând formula (3) putem:

Nivel normal al suprafeței.