Proiecția ortogonală a puterii. Rozrobka „Raportați dovada teoremei despre proiecția ortogonală a proiecției ortogonale ortogonale” (gradul 10) Aria suprafeței ortogonale

Dovada detaliată a teoremei despre proiecția ortogonală a corpului ortogonal

Yakshcho - proiecția unui apartament n - kutnik la câmpie, apoi de - kut între câmpiile bogatului kutnik i. Cu alte cuvinte, aria proiecției unui înveliș bogat plat este aceeași cu aria învelișului bogat care este proiectat, pe cosinusul proiecției dintre planul proiecției și zonă. a învelișului bogat proiectat.

Terminat. eu etapă Să demonstrăm scapula pentru tricutanat. Să ne uităm la 5 tipuri.

1 episod. stați în planul de proiecție .

Nehai – proiecții de puncte pe planul subsolului. Pentru vipadka noastră. Să spunem, bine. Fie înălțimea, apoi, urmând teorema despre trei perpendiculare, o putem pune la loc, care este înălțimea (proiecția bazei și trecerea directă prin baza bazei și).

Hai să aruncăm o privire. Vin este simplu. Pentru valorile cosinusului:

Pe de altă parte, fragmentele, apoi în spatele celor indicate, sunt tăierea liniară a grămezii diedrice, creată pe suprafețele planelor și cu linia dreaptă de limită, și, prin urmare, lumea ei este și lumea grămezii. între planurile proiecției tricutilei și trikutnikul însuși, tobto.

Cunoaștem relația cu:

Vă rugăm să rețineți că formula nu va mai fi corectă. În acest caz

episodul 2. Așezați doar în planul de proiecție și paralel cu planul de proiecție .

Nehai – proiecții de puncte pe planul subsolului. Pentru vipadka noastră.

Să tragem o linie dreaptă prin punct. Uneori, planul de proiecție se suprapune direct și, prin urmare, conform termenului, suprafața de proiecție se suprapune direct. Să fie în punctul Deci, atunci punctele se află în același plan și, deoarece sunt paralele cu planul proiecției, atunci după semnul paralelismului linia și planul urmei, deci. Ei bine, este un paralelogram. Să aruncăm o privire la. Mirosurile sunt egale în spatele celor trei laturi (- partea din spate, ca laturile opuse ale unui paralelogram). Este important de remarcat faptul că chotiricutnik este un cotlet vertical și este antic (de-a lungul piciorului și ipotenuzei) și este, de asemenea, modern pe trei laturi. Tom v.

Pentru zastosuєmo 1 tastați: , atunci.

3 episoade. Se află doar în planul de proiecție și nu sunt paralele cu planul de proiecție .

Fie punctul să fie punctul barei transversale a dreptei din planul proiecției. Dragă, scho in. Pentru primul punct: i. În acest fel, negăm asta

4 episoade. Vârfurile nu se află în apropierea planului de proiecție . Să ne uităm la perpendiculare. Să luăm cel mai mic mijloc dintre aceste perpendiculare. Lasă-l să fie perpendicular. Se poate dovedi a fi doar unul sau altul. Vom lua totul oricum.

Adăugăm un punct la un punct decupat, astfel încât și un punct la un punct decupat, astfel încât. Acest lucru este posibil, fragmente din cele mai mici perpendiculare. Dragă, care este proiecția și în spatele cotidianului. Să vedem ce este egal.

Să aruncăm o privire la chotirikutnik. În spatele minții - perpendiculare pe un plan, apoi, în spatele teoremei, că. Deci, la fel ca în fiecare zi, apoi în spatele semnului unui paralelogram (de-a lungul laturilor paralele și egale ale prelungirii) putem plasa ceea ce este un paralelogram. Otje, . Același lucru se poate spune: Ei bine, hai să creștem împreună din trei părți. De asemenea. Cu respect, ca laturile opuse ale paralelogramelor, de asemenea, pentru semnul paralelismului planelor, . Deoarece aceste planuri sunt paralele, duhoarea este creată de același plan de proiecție.

Pentru a strânge articulațiile din față:

5 episoade. Zona de proiecție se suprapune pe părțile laterale . Să aruncăm o privire directă. Mirosurile sunt perpendiculare pe planul de proiecție, prin urmare, conform teoremei, mirosurile sunt paralele. Pe schimburile paralele cu stiuleții, în puncte, plasăm tăieturi egale în așa fel încât vârfurile să se afle într-o proiecție plană. Dragă, care este proiecția și în spatele cotidianului. Să arătăm ce este mai vechi.

Deci, la urma urmei, atunci. Apoi, în spatele semnului unui paralelogram (pe două laturi egale și paralele), - un paralelogram. Poate fi explicat într-un mod similar - prin paralelograme. Ale todi, i (ca laturile opuse), apoi la fel ca cele trei laturi. Otje, .

În plus, și asta, pentru semnul paralelismului planurilor. Deoarece aceste planuri sunt paralele, duhoarea este creată de același plan de proiecție.

Pentru stastosuvannya 4 tipuri:.

II etapă Asamblam o cotlet bogat plat pe tricubitule folosind diagonalele desenate de sus: Apoi din fata picaturi pentru tricubitule: .

Ce trebuia adus în discuție.

Să aruncăm o privire asupra zonei p și se mișcă și merge drept . Să mergem A - Spațiul este suficient. Să tragem o linie dreaptă prin punctul qiu , paralel cu linia dreaptă . Să mergem . Krapka se numește proiecția unui punct A la apartament p cu design paralel în spatele unei linii drepte date . Zonă p Modul în care sunt proiectate punctele din spațiu se numește plan de proiecție.

p – aria de proiecție;

- Design direct; ;

; ; ;

Design ortogonal Să-i spunem o formă de design paralel. Proiecția ortogonală este aceeași cu proiecția paralelă, în care proiecția directă este perpendiculară pe aria de proiecție. Designul ortogonal este poziționat pe scară largă într-un scaun tehnic, unde figura este proiectată pe trei planuri - orizontal și două verticale.

Viznachennya: Proiecția ortogonală a unui punct M la apartament p numită bază M 1 perpendicular MM 1, omis din punct M la apartament p.

Programare: , , .

Viznachennya: Proiecția ortogonală a figurii. F la apartament p se numește punctul fără față al planului, care este denumit și proiecții ortogonale ale punctului fără față al figurii F la apartament p.

Designul ortogonal, ca rezultat al designului paralel, are aceeași putere:

p – aria de proiecție;

- Design direct; ;

1) ;

2) , .

Proiecțiile dreptelor paralele sunt paralele.

ZONA DE PROIECȚII ZONA DE FIGURI

Teorema: Aria de proiecție a unei bucle bogate plate pe suprafață este aceeași cu aria tăieturii bogate care este proiectată, înmulțită cu cosinusul tăieturii dintre zona bogatului -taietura si zona de proiectie.

Etapa 1: Figura care este proiectată este triunghiul ABC, a cărui latură AC se află în planul de proiecție a (paralel cu planul de proiecție a).

Dat:

Aduce:

Terminat:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. Conform teoremei despre trei perpendiculare;

ВD - înălțime; 1 D - înălțime;

5. - tăietură liniară a tăieturii diedrice;

6. ; ; ; ;

Etapa 2: Elementele care sunt proiectate sunt triunghiul ABC, fiecare parte a căruia nu se află în planul de proiecție și nu este paralelă cu acesta.

Dat:

Aduce:

Terminat:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(etapa I);

5. ; ; ;

(etapa I);

Scena: Figura este concepută - un om destul de bogat.

Terminat:

Tricutanatul este împărțit de diagonalele trase dintr-un vârf, la sfârșitul numărului de tricutanate, pentru care teorema este corectă. Prin urmare, teorema va fi adevărată pentru suma ariilor tuturor zonelor tricutanate, ale căror zone sunt combinate cu aceeași zonă a proiecției.

Respect: Teorema s-a dovedit a fi valabilă pentru orice figură plată înconjurată de o curbă închisă.

Dreapta:

1. Aflați aria tricubitului, a cărui zonă este extinsă până la zona proiecției de sub tăietură, deoarece proiecția sa este tricuputonul corect cu latura a.

2. Aflați aria tricupusului, al cărui plan este extins la planul proiecției sub tăietură, deoarece proiecția sa este un tricupus isosfemural cu o latură de 10 cm și o bază de 12 cm.

3. Aflați aria tricuputonului, a cărei zonă este extinsă până la planul proiecției sub tăietură, deoarece proiecția sa este tricuputonul cu laturile de 9, 10 și 17 cm.

4. Cheltuiesc pentru interpretarea mesei, câmpia scării la cheltuielile PID Kutu, Proiectul Yakshcho - RIVEN -Beded Trapeziya, baza bazei a 44 de dive, partea este partea 17 dive în diagonală 39 div.

5. Calculați aria de proiecție a unei șase tăieturi obișnuite cu o latură de 8 cm, a cărei zonă este extinsă până la zona de proiecție de sub tăietură.

6. Se creează un romb cu o latură de 12 cm și o tăietură rotundă cu o suprafață de tăiere dată. Calculați aria proiecției rombului pe această zonă.

7. Un romb cu o latură de 20 cm și o diagonală de 32 cm creează o tăietură cu aceeași planeitate. Calculați aria proiecției rombului pe această zonă.

8. Proiecția copertinei pe plan orizontal arată rectul cu laturile i. Găsiți zona în suprafață, deoarece fețele laterale sunt cotlet drepte, extinzându-se într-un plan orizontal sub margine, iar partea din mijloc care este în deasupra este un pătrat, paralel cu planul de proiecție.

11. Chiar la subiectul „Drept și plat în spațiul deschis”:

Laturile tricubitronului sunt de 20 cm, 65 cm, 75 cm. Din partea de sus a colțului mai mare al tricubitronului, este trasată o perpendiculară pe al treilea plan, care este egal cu 60 cm. Aflați distanța de la capetele perpendicular pe latura mai mare a tricubitronului.

2. Din punctul care se întinde departe de plan la o distanță de cm s-au făcut două reparații pentru a crea o linie dreaptă între plan și plan. Aflați unde să stați între punctele barei transversale ale celor care au fost furați din avion.

3. Latura tricutului obișnuit are lungimea de 12 cm Punctul M este format astfel încât tăieturile care leagă punctul M cu vârfurile tricuului să fie create din forma sa plată. Aflați unde să stați de la punctul M până la vârfurile și laturile tricutnikului.

4. Prin latura pătratului, trageți un plan sub margine până la diagonala pătratului. Aflați colțurile sub care cele două laturi ale pătratului sunt plate.

5. Piciorul recticutumului isosfemural se extinde până în planul a, care trece prin ipotenuză, sub cut. Aduceți ceea ce este între avion și planul trikutnikului.

6. Creasta diedrică dintre câmpiile tricutanate АВС și ДВС este mai veche. Cunoașteți AD, unde AB = AC = 5 cm, PS = 6 cm, ВD = DC = cm.

Testați nutriția pe tema „Spații drepte în apropierea întinderii”

1. Enumerați conceptele de bază ale stereometriei. Formulați axioma stereometriei.

2. Aduceți consecințele axiomei.

3. Cum pot fi inversate cele două linii ale spațiului? Datele sunt drepte, se mișcă, sunt paralele, se intersectează.

4. Aduceți semnul liniilor drepte pentru a se întâlni.

5. Cum sunt reciproce liniile drepte și planele? Datele de identificare a intersecțiilor, a dreptelor paralele și a planurilor.

6. Aduceți semnul paralelismului la o dreaptă și un plan.

7. Care este aranjarea reciprocă a două planuri?

8. Datele planurilor paralele. Asigurați-vă că cele două plane sunt paralele. Formulați teoreme despre plane paralele.

9. Datele sunt diferite de cele drepte.

10. Aduceți semnul perpendicularității la o dreaptă și un plan.

11. Datele calculului perpendicularei și proiecției corespunzătoare pe zonă. Formulați puterea perpendicularei și a celor ascunse, coborâte pe plan dintr-un punct.

12. Datele sunt marcate între o linie dreaptă și un plan.

13. Demonstrați teorema despre trei perpendiculare.

14. Datele originii tăieturii diedrice, tăietura liniară a tăieturii diedrice.

15. Asigurați-vă că cele două plane sunt perpendiculare.

16. Datele distanței desemnate între două puncte diferite.

17. Datele indicate variază de la punct la linie dreaptă.

18. Datele desemnate se extind de la punct la plan.

19. Date pentru determinarea distanței dintre o dreaptă și planul ei paralel.

20. Datele identificării distanței dintre plane paralele.

21. Datele desemnate pentru poziția dintre liniile drepte care se vor întâlni.

22. Date pentru calcularea proiecției ortogonale a unui punct pe un plan.

23. Datele proiecției ortogonale a figurii pe plan.

24. Formulați puterea de proiecție pe zonă.

25. Formulați și demonstrați o teoremă despre aria de proiecție a unei vaci bogate plate.

Permiteți-mi să mă uit la formula pentru proiecția fețelor unui tetraedru dreptunghiular. În primul rând, voi arunca o privire asupra designului ortogonal al secțiunii care se află în planul α, văzând două tipuri de expansiune a acestei secțiuni astfel încât să fie drept l=α∩π.
Vipadok 1. ABl(Fig. 8). Secțiunea A 1 B 1 este o proiecție ortogonală a secțiunii AB, paralelă și paralelă cu secțiunea AB.

Mic 8

Vipadok 2 CD⊥l(Fig. 8). Conform teoremei despre trei perpendiculare, dreapta C 1 D 1 este o proiecție ortogonală a dreptei CD, de asemenea perpendiculară pe dreapta l. De asemenea, ∠CEC 1 este între planul α și proiecția plană π, atunci COD=C1D1. Tom |C 1 D 1 |=|CD|∙cosφ
Acum voi arunca o privire la articolul despre designul ortogonal al tricutului.
Aria proiecției ortogonale a tricumulusului pe planul ariei tricumulus inițiale care este proiectată este înmulțită cu cosinusul ariei dintre planul tricumulus și planul de proiecție.

Terminat. Zona de proiecție a tricuputidei.
a) Faceți una dintre laturile, de exemplu AC, ale triunghiului proiectat ABC paralelă cu dreapta l=α∩π (Fig. 9) sau întindeți-vă pe ea.

Mic 9

Atunci înălțimea VN este perpendiculară pe dreapta l, iar aria este egală cu aceasta.

Pe baza viziunii autorităților într-o proiecție ortogonală, există o decupare din luna mai:

Urmând teorema despre trei perpendiculare, dreapta B 1 H 1 este proiecția ortogonală a dreptei BH - perpendiculară pe dreapta l, prin urmare, secțiunea B 1 H 1 este înălțimea tricubului A 1 B 1 C 1 . Tom. În acest mod...
b) Una dintre laturile tricoului proiectat ABC nu este paralelă cu liniile drepte l (Fig. 10). Voi trasa o linie dreaptă prin apexul cutanat al tricubitului, paralelă cu dreapta l. Una dintre aceste linii drepte se află între celelalte două (pentru cel mic - aceasta este linia dreaptă m) și, prin urmare, împarte triunghiul ABC în triunghiurile ABD și ACD cu înălțimi similare cu ВН și РЄ, trase la același partea dorsală AD (sau alt Zhenya), yaka paralelă l. Linia dreaptă m 1 - proiecția ortogonală a dreptei m - împarte și tricumulus A 1 B 1 C 1 - proiecția ortogonală a tricumulusului ABC - în tricumulus A 1 B 1 D 1 i A 1 C 1 D 1 de. Beruchi pana la respect (9) si (10), iau

Se poate aminti că distanța dintre linie dreaptă și plan se numește distanța dintre dreapta dată și proiecția pe plan (Fig. 164).

Teorema. Aria proiecției ortogonale a ortocutanatei pe planul zonei antice a zonei ortocutanate, care este proiectată, este înmulțită cu cosinusul tăieturii, înmulțită cu aria ortocutanatei și proiecția zonă.

Orgatokutnik Kozhen poate fi împărțit în trikutnik-uri, a căror zonă este similară cu zona oregano. Deci este suficient să se demonstreze teorema pentru tricutnik.

Să fie proiectat $\Delta$ABC pe plan R. Să ne uităm la două tipuri:

a) una dintre laturile $\Delta$ABC este paralelă cu planul R;

b) pe ambele părți $\Delta$ABC nu este paralel R.

Hai să aruncăm o privire primul episod: să mergem [AV] || R.

Desenați prin planul (AB). R 1 || Rі este proiectat ortogonal $\Delta$ABC pe R 1 și mai departe R(Fig. 165); $\Delta$АВС 1 і $\Delta$АВС este eliminat.

În spatele axei de proiecție avem $\Delta$ ABC 1 $\cong$ $\Delta$ ABC și așadar

S$\Delta$ABC1 = S$\Delta$ABC

Să executăm ⊥ și secțiunea D 1 C 1. Todi ⊥ , a $\widehat(CD_(1)C_(1))$ = φ este valoarea limitei dintre planul $\Delta$ ABC și planul R 1 . Tom

S (Delta) ABC1 = 1 / 2 | AB | |C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | |CD 1 | cos φ = S $\Delta$ABC cos φ

şi, prin urmare, S (Delta) A B = C = S \ (Delta) ABC cos φ.

Să trecem la recenzie un alt tip. Hai să desfășurăm zona R 1 || R prin acel vârf $\Delta$ABC, stai de acolo până în plan R naymenshe (să nu fim primii A).

Proiectăm $\Delta$ABC pe un apartament R 1 i R(Fig. 166); Fie proiecțiile lui exact $\Delta$AB 1 C 1 și $\Delta$ABC.

Nehai (VS) $\cap $ p 1 = D. Todi

S $\Delta$A B=C = S $\Delta$AB1 C1 = S $\Delta$ADC1 - S $\Delta$ADB1 = (S $\Delta$ ADC - S $\Delta$ADB) cos φ = S $\Delta$ABC cos φ

Zavdannya. Prin baza prismei tricutanate obișnuite se trasează un plan sub tăietura φ = 30° față de bază. Aflați zona tăieturii, care este partea bazei prismei A= 6 div.

Este imaginabil să tăiați prin această prismă (Fig. 167). Fragmentele prismei sunt corecte, iar nervurile laterale sunt perpendiculare pe planul bazei. De asemenea, $\Delta$ABC este o proiecție a $\Delta$ADC, deci
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(S_(\Delta ABC))(cos\phi) = \frac(a\cdot a\sqrt3)(4cos\phi) $$
sau
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(6\cdot 6\cdot \sqrt3)(4\cdot\frac(\sqrt3)(2)) = 18 (cm^2) $$

GEOMETRIE
Planuri de lecție pentru clasa a X-a

Lecția 56

Subiect. Zona proiecției ortogonale a algelor

Meta la lecție: învățarea teoremei despre aria proiecției ortogonale a corpului ortogonal, formând capacitatea elevilor de a formula teorema învățată de ordinul cel mai înalt.

Echipament: tastare stereometrică, model cub.

Progresul lecției

eu. Verificarea temelor

1. Doi elevi creează soluții la problemele nr. 42, 45 la preșcolar.

2. Pregătirea frontală.

1) Dați o linie între cele două apartamente care se mișcă.

2) De ce este similar cu:

a) plane paralele;

b) planuri perpendiculare?

3) La ce granițe te poți schimba între două câmpii?

4) Este corect că un plan care debordează plane paralele le revarsă sub aceleași muchii?

5) Este corect că planul care traversează planurile perpendiculare le traversează sub aceleași muchii?

3. Verificarea corectitudinii soluționării problemelor nr. 42, 45, așa cum s-au făcut în școală.

II. Fii la curent cu noile materiale

Zavdannya uchnyam

1. Calculați că aria proiecției tricumulului, a cărei latură este situată în planul de proiecție, este aceeași cu cosinusul ariei tricumulului și planul de proiecție.

2. Elaborați o teoremă pentru concluzia că există o tricuputină, în care o parte este paralelă cu planul de proiecție.

3. Elaborați o teoremă pentru concluzia că rețeaua este un tricuputon și fiecare latură nu este paralelă cu planul de proiecție.

4. Demonstrați teorema pentru orice răcitor bogat.

Versiunea sarcinilor

1. Găsiți aria proiecției ortogonale a ortocutanatei, a cărei zonă este de 50 cm2, iar aria dintre aria ortocutanatei și proiecția sa este de 60°.

2. Aflați aria cotletului ortogonal, deoarece aria proiecției ortogonale a acestui cotlet bogat este egală cu 50 cm2, iar între aria cotletului bogat și proiecția sa este egală cu 45° .

3. Aria proiecției ortogonale este de 64 cm2, iar aria proiecției ortogonale este de 32 cm2. Află unde să mergi între câmpiile livezii și proiecția ei.

4. Cum se poate compara aria proiecției ortogonale a tăieturii ortogonale cu aria tăieturii ortogonale?

5. Muchia cubului este antică a. Găsiți aria cubului tăiat cu un plan care trece prin partea superioară a bazei sub tăietura la 30 ° față de această bază și traversează toate nervurile laterale. (Video.)

6. Zavdannya nr. 48 (1, 3) de la asistent (p. 58).

7. Zavdannya nr. 49(2) de la asistent (p. 58).

8. Laturile plantei ortocutanate devin 20 si 25 cm.Proiecția ei pe suprafață este asemănătoare celeilalte. Găsiți perimetrul proiecției. (Vizualizare 72 cm sau 90 cm.)

III. Îmbunătățirea locuinței

§4, paragraful 34; control nutrițional nr. 17; Probleme nr. 48 (2), 49 (1) (p. 58).

IV. Adaugă-ți geanta la lecție

Mesele înainte de oră

1) Formulați o teoremă despre aria proiecției ortogonale a algelor.

2) Cum poate aria proiecției ortogonale a cotletului bogat să fie mai mare decât aria cotletului bogat?

3) Prin ipotenuza AB a rectului tricutulum ABC se trasează un plan sub tăietura la 45° pe planul tricucutineului și un CO perpendicular pe plan. AC = 3 cm, ND = 4 cm. Indicați care puncte sunt corecte și care sunt incorecte:

a) între planurile АВС și α prevnya kutu СМО, unde punctul Н este baza înălțimii CM a tricuputinei ABC;

b) CO = 2,4 cm;

c) tricutulul AOS este o proiecție ortogonală a tricutulului ABC pe planul α;

d) aria tricubului AOB este de 3 cm2.

(Verb. a) Corect; b) greșit; c) incorectă; d) corect.)