Elips

Elips. Concentrează-te. Rivnyanya elіpsa. Concentrează-te în picioare.

Mare și mic sunt axa elipsei. Excentricitate. Rivnyannya

subtotal la elipsă. Umova dreaptă și elipsă.

Elips (Fig.1 ) se numește locul geometric al punctelor, suma distanțelor de la oricare două puncte date F 1 i F 2 trucuri elipsa, este o valoare constantă.

Rivnyanna elipsa (Fig. 1):

Aici coordonatele cobcentrul de simetrie al elipsei, A axele de coordonate sunt aceleași cu axele de simetrie. LaA > bfocarele elipsei se află pe axă OH (Fig.1), cu A< b focarele elipsei se află pe axă Despre Y, și atunci când A= belips stă colo(focarele elipsei în acest caz converg în spatele centrului mizei). Într-o asemenea manieră kolo є okremiya epiposa .

Vidrezok F 1 F 2 = 2 h, de , numit punct focal . VidrezokAB = 2 Anumit marele întreg al elipsei , și video CD = 2 b – greutate mică elipsă . Număre = c / A , e < 1 называется excentricitate elipsă .

Să mergem R(X 1 , la 1 ) – punctul de elipsă, atuncizecimală până la elipsă V

introduce

În primul rând, curbele de o ordine diferită au fost luate de una dintre învățăturile lui Platon. Acest robot a propus: dacă luați două linii drepte care se mișcă și le înfășurați în jurul bisectoarei tăieturii create de ele, veți obține o suprafață conică. Dacă traversăm această suprafață cu un plan, atunci în secțiune transversală apar diverse figuri geometrice, iar elipsa însăși, colo, parabola, hiperbola și un număr de figuri congenerice.

Cu toate acestea, aceste cunoștințe științifice au început să stagneze abia în secolul al XVII-lea, când a devenit clar că planetele se prăbușesc pe traiectorii eliptice, iar un proiectil armonic zboară parabolic. Chiar și mai târziu, a devenit clar că dacă dai corpului prima fluiditate cosmică, te vei prăbuși pe un țăruș din apropierea Pământului, cu o fluiditate crescută - de-a lungul elipsei, iar după ce vei ajunge la un alt fluid cosmic Oasele corpului de-a lungul unei parabole privează câmpul gravitațional al Pământului.

Elips și yogo rіvnyannaya

Semnificatia 1. O elipsa este un punct inutil pe un plan, suma suprafetei pielii de la pana la doua puncte date, numite focare, este o valoare constanta.

Focarele elipsei sunt indicate prin litere și se ridică între focare - prin, iar suma crește din orice punct al elipsei la focare - prin. Mai mult, 2a> 2c.

Alinierea canonică a elipsei arată astfel:

unde a 2 + b 2 = c 2 sunt legate între ele (sau b 2 - a 2 = c 2).

Mărimea se numește greutatea mare și greutatea mică a elipsei.

Semnificație 2. Excentricitate Elipsa se numește relația dintre focare până la axa mare.

Indicat prin scrisoare.

Fragmentele din spatele valorilor 2a>2c, excentricitatea este acum exprimată ca o fracție regulată, atunci. .

Petele F 1 (–c, 0) că F 2 (c, 0), care sunt numite focare de elipsă la această valoare valoarea este 2 c mijloace focalizare încrucișată în picioare .

Petele A 1 (–A, 0), A 2 (A, 0), U 1 (0, –b), B 2 (0, b) sunt numite vârfurile elipsei (Mal. 9.2), când A 1 A 2 = 2A face întreaga Elipse grozavă și U 1 U 2 – mala, – centrul elipsei.

Principalii parametri ai elipsei care îi caracterizează forma:

ε = h/A – excentricitatea elipsei ;

– razele focale ale elipsei (pistrui M aparțin elipsei) și r 1 = A + εx, r 2 = A – εx;

– directrice ale elipsului .

Pentru elipsă este adevărat: directorii nu depășesc cordonul și regiunea interioară a elipsei și, de asemenea, exercită putere

Excentricitatea elipsei determină lumea sa de compresie.

Yakshcho b > A> 0, atunci elipsa este dată de ecuațiile (9.7), care este substitutul minții (9.8) de către minte

Todi 2 A- totul este mic, 2 b– totul este grozav, – se concentrează (Fig. 9.3). Cu asta r 1 + r 2 = 2b,
ε = c/b, Directoarele sunt desemnate prin ranguri:

În spatele minții (în aspectul unei elipse rotunjite) în jurul razei R = A. Cu asta h= 0, atunci, ε = 0.

Punctele elipsei se mișcă putere caracteristică : suma pielii de la ele la focare este constantă, egală cu 2 A(Fig. 9.2).

Pentru proiectarea elipsei parametrice (formula (9.7)) în mințile vipadkah vikonannya (9.8) că (9.9) ca parametru t Puteți lua valoarea distanței dintre vectorul rază a punctului care se află pe elipsă și axa directă pozitivă Bou:

Dacă centrul elipsei și crestele sale sunt exact aceleași, atunci creasta ei arată astfel:

fundul 1. Conduce elipsa X 2 + 4y 2 = 16 la vizualizarea canonică și valoarea acestui parametru. Desenați o elipsă.

Decizie. Gelozie divizată X 2 + 4y 2 = 16 cu 16, după care scadem:

În aparență, linia tăiată este așezată în același mod ca și linia canonică a elipsei (formula (9.7)), de A= 4 - înălțime mare, b= 2 - cantitate mică. Aceasta înseamnă că vârfurile elipsei sunt puncte A 1 (–4, 0), A 2 (4, 0), B 1 (0, –2), B 2 (0, 2). Dacă fragmentele sunt jumătate din zona interfocală, atunci punctele sunt focarele elipsei. Excentricitate calculabilă:

Director D 1 , D 2 sunt descrise de egali:

Este reprezentată o elipsă (Fig. 9.4).

fundul 2. Semnificația parametrilor elipsei

Decizie. Alinierea se face cu aliniamentele canonice ale elipsei cu centru deplasat. Cunoaștem centrul elipsei Z: Înălțime mare și mică a liniilor drepte - axele capului Jumătate din distanța interfocală și, prin urmare, focalizarea Excentricitatea direcției D 1 i D 2 poate fi descris din motive suplimentare (Fig. 9.5).

fundul 3. Deci, cum este dată curba egalizatoarelor, reprezentați-o:

1) X 2 + y 2 + 4X – 2y + 4 = 0; 2) X 2 + y 2 + 4X – 2y + 6 = 0;

3) X 2 + 4y 2 – 2X + 16y + 1 = 0; 4) X 2 + 4y 2 – 2X + 16y + 17 = 0;

Decizie. 1) Să aducem ecuația la forma canonică arătând pătratul complet al binomului:

X 2 + y 2 + 4X – 2y + 4 = 0;

(X 2 + 4X) + (y 2 – 2y) + 4 = 0;

(X 2 + 4X + 4) – 4 + (y 2 – 2y + 1) – 1 + 4 = 0;

(X + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Cu acest rang, gelozia poate fi scoasă la suprafață

(X + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Miza ceremonială cu centrul în punctul (–2, 1) și rază R= 1 (Fig. 9.6).

2) Pătratele superioare ale binoamelor sunt vizibile pe partea stângă a liniei și pot fi eliminate:

(X + 2) 2 + (y – 1) 2 = –1.

Nu are sens în impersonalitatea numerelor reale, deoarece partea stângă este nenegativă pentru orice valoare reală a celor schimbătoare Xі y, Și drepturile sunt negative. Deci, se pare că ceremonia „mizei evidente” stabilește un punct gol al avionului.

3) Mai multe pătrate sunt vizibile:

X 2 + 4y 2 – 2X + 16y + 1 = 0;

(X 2 – 2X + 1) – 1 + 4(y 2 + 4y + 4) – 16 + 1 = 0;

(X – 1) 2 + 4(y + 2) 2 – 16 = 0;

(X – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 16.

Ei bine, gelozia arată așa:

Îndepărtați linia, apoi, apoi setați elipsa. Centrul elipsei este situat în punct Despre 1 (1, –2), axele capului sunt stabilite prin alinieri y = –2, X= 1, iar creșterea este mare A= 4, mic b= 2 (Fig. 9.7).

4) După ce ați văzut mai multe pătrate:

(X – 1) 2 + 4(y+ 2) 2 - 17 + 17 = 0 sau ( X – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 0.

Linia dreaptă definește un singur punct al planului cu coordonatele (1, –2).

5) Să aducem ecuația la aspectul canonic:

În mod evident, este determinată de o elipsă, al cărei centru este situat în punctul axei capului și este determinat de linii și cu cât este mai mare, cu atât mai mare, cu atât greutatea este mai mică (Fig. 9.8).

fundul 4.Înregistrați nivelul punctului la numărătoarea razei 2 centrată în focalizarea din dreapta a elipsei X 2 + 4y 2 = 4 în punctul barei transversale din întreaga ordonată.

Decizie. Aducem elipsa la forma sa canonică (9.7):

Ei bine, și focalizarea corectă - Prin urmare, nivelul mizei razei 2 poate arăta ca (Fig. 9.9):

Cercul se întinde pe întreaga ordonată în punctele ale căror coordonate sunt calculate din sistemul de aliniere:

Ignorabil:

Opriți petele N(0; -1) că M(0; 1). Ei bine, pot exista două filiale, iar semnificațiile lor sunt semnificative. T 1 i T 2. În spatele puterii date, dotichna este perpendiculară pe raza trasată către punctul dotik.

Să nu uităm că ești gelos T 1 pe viitor văd:

Deci, fie T 1: Este egal cu gelozia

Valoarea 7.1. Există o mulțime de puncte pe plan pentru care sumei celor două puncte fixe F 1 și F 2 i se dă o valoare constantă, numită elipsă.

Valoarea elipsei oferă o astfel de modalitate de a crea un aspect geometric. Fixăm două puncte F 1 și F 2 pe plan, iar valoarea constantă necunoscută este semnificativă după 2a. Vă rugăm să stați între punctele F1 și F2 spre 2c. Este clar că un fir care nu poate fi întins cu lungimea 2a este fixat în punctele F1 și F2, de exemplu, în spatele a două capete. Este clar că se poate face mai mult în ≥ s. După ce am întins firul cu un oval, traversăm linia ca și cum ar fi o elipsă (Fig. 7.1).

Ei bine, multiplicitatea este descrisă ca nu goală, dacă a ≥ c. Când a = elipsă există o secțiune cu capete F 1 și F 2, iar când c = 0, atunci. De îndată ce punctele fixe sunt atribuite elipsei desemnate, ele sunt aproape de raza a. În acest caz, vom presupune în continuare că > ​​s > 0.

Punctele fixe F 1 și F 2 de la elipsa desemnată 7.1 (div. Fig. 7.1) se numesc focare de elipsă, stați între ele, marcate după 2c, - punct focal iar secțiunile F 1 M și F 2 M, pentru a lega un punct suficient M de pe elipsă cu focarele sale, - raze focale.

Aspectul elipsei este determinat de punctul focal | F 1 F 2 | = 2 cu parametrul a, care este poziția pe plan - o pereche de puncte F 1 și F 2.

Valoarea elipsei este că este simetrică și dreaptă, care trece prin focarele F 1 și F 2, și, de asemenea, dreaptă, care împarte secțiunea F 1 F 2 în diagonală și perpendicular pe aceasta (Fig. 7.2 a). Îl cheamă direct axele elipsei. Punctul O al barei transversale este centrul de simetrie al elipsei și se numește centrul elipsei, Și punctele barei transversale a elipsei cu axele de simetrie (punctele A, B, C și D din Fig. 7.2, a) - vârfurile elipsei.

Numar de apel a marele vârf al elipsei, și b = √(a 2 - c 2) - yogo mica crestere. Este important de reținut că la c>0 înălțimea lui a este mare de la centrul elipsei până la vârfurile care se află pe aceeași axă cu focarele elipsei (vârfurile A și B în Fig. 7.2 a) și înălțimea lui b este mică. Creșterea exterioară se află în centrul elipsei până la celelalte două vârfuri (vârfurile C și D în Fig. 7.2, a).

Rivnyanya elіpsa. Să ne uităm la o elipsă mare pe planul cu focare în punctele F 1 și F 2 cu o mare greutate 2a. Fie 2c - punct focal, 2c = | F1F2 |

Selectăm un sistem de coordonate dreptunghiular Oxy pe plan, astfel încât cobul său să fie aliniat cu centrul elipsei, iar focarele să fie pe axa abscisului(Fig. 7.2, b). Acest sistem de coordonate este numit canonic pentru elipsa analizată și modificările corespunzătoare - canonic.

Sistemul de coordonate de focalizare selectat are coordonatele F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Să notăm formula Vikorist între punctele | F 1 M | + | F 2 M | = 2a în coordonate:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7,2)

Ecuația nu este ușoară, pentru că în această cameră sunt doi radicali pătrați. Deci haideți să o schimbăm. Transferăm un alt radical în partea dreaptă și îl reducem la pătrat:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.

După deschiderea brațelor, adăugarea unor adaosuri similare poate fi eliminată

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

de ε = c/a. Repetăm ​​operația de pătrare pentru a adăuga un alt radical: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2 sau, după valoarea parametrului introdus ε, (a 2 - c 2) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. Fragmentele a 2 - c 2 = b 2 > 0, atunci

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Rivnyanya (7.4) conține coordonatele tuturor punctelor care se află pe elipsă. Cu toate acestea, la derivarea acestei ecuații, a fost efectuată transformarea inegală a ecuației de ieșire (7.2) - de două ori la pătrat, ceea ce ia radicalii pătrați. Noul pătrat este egal cu transformările echivalente, deoarece în ambele părți mărimile au același semn, dar nu au verificat acest lucru în transformările lor.

Nu putem verifica echivalența recreării, deoarece este greșită. Perechea de puncte F 1 și F 2 | F 1 F 2 | = 2c, planurile indică o familie de elipse cu focare în aceste puncte. Punctul de piele al planului, în plus față de punctul de tăiere F 1 F 2, ar trebui să fie plasat pe orice elipsă a familiei desemnate. Ori de câte ori cele două elipse nu se suprapun, fragmentele sumei razelor focale indică clar o elipsă specifică. De asemenea, familia descrisă de elipse fără retine acoperă întreaga suprafață, cu excepția punctului de tăiere F1F2. Să aruncăm o privire la punctele fără rost, ale căror coordonate satisfac ecuația (7.4) din aceste valori ale parametrului a. Câte elipse pot fi distribuite? Punctele parțiale ale multiplicatorului se află pe elipsa cu suprafața mare a. Lăsați această multiplicitate să aibă un punct care se află pe elipsă cu o mare surplomă. Apoi coordonatele acestor puncte sunt ordonate după aliniere

tobto. nivelurile (7.4) și (7.5) se profilează decizii secrete. Cu toate acestea, este ușor să supraconversii deoarece sistemul

pentru ã ≠ a nu există soluție. Pentru cine este suficient să dezactivați, de exemplu, x de la primul nivel:

Ce ar trebui să aducem după recreare la trezire?

nu există soluție pentru ã ≠ a, fragmente . De asemenea, (7.4) este alinierea unei elipse cu o surplosă mare a > 0 și o conexiune mică b = √ (a 2 - c 2) > 0. Aceasta se numește la rândurile canonice ale elipsei.

Perspectiva elipsei. Metoda mai geometrică de sculptare a elipsei oferă suficiente informații despre aspectul actual al elipsei. Acest tip de elipsă poate fi citit și folosind ecuația canonică (7.4). De exemplu, dacă y ≥ 0, îl puteți exprima prin x: y = b√(1 - x 2 /a 2) și, după ce a tras această funcție, creați un grafic. Un alt mod de a crea o elipsă. Raza a centrată pe cob-ul sistemului de coordonate elipsei canonice (7.4) este descrisă de liniile x 2 + y 2 = a 2 . Cum se stoarce cu coeficientul a/b > 1 vdovzh axele ordonate, atunci veți vedea o curbă așa cum este descrisă de Rivnyanyam x 2 + (ya/b) 2 = a 2 apoi o elipsă.

Respect 7.1. Cum se poate strânge același lucru cu coeficientul a/b

Excentricitatea elipsei. Se numește relația dintre aspectul focal al elipsei și axa sa mare excentricitatea elipseiși notat cu ε. Pentru o elipsă dată

niveluri canonice (7.4), ε = 2c/2a = c/a. Deoarece (7.4) parametrii a și b sunt legați de denivelarea lui a

La c = 0, dacă elipsa se transformă într-un cerc, iar ε = 0. În alte cazuri, 0

Nivelul (7.3) este echivalent cu nivelul (7.4), iar unele sunt echivalente cu nivelul (7.4) și (7.2). Prin urmare, elipsa este egală cu (7.3). În plus, relația (7.3) ne oferă o formulă simplă, fără radicali pentru viață | F 2 M | una dintre razele focale ale punctului M(x; y) al elipsei: | F 2 M | = a + εx.

O formulă similară pentru o altă rază focală poate fi derivată din simetria și repetarea pliurilor, în care primul radical este transferat în partea dreaptă, și nu în cealaltă. De asemenea, pentru orice punct M(x; y) de pe elipsă (div. Fig. 7.2)

|F 1 M | = a - εx, | F 2 M | = a + εx, (7,6)

iar pielea acestor căptușeli și crestele elipselor.

Cap 7.1. Cunoaștem alinierea canonică a elipsei cu o înălțime mare de 5 și o excentricitate de 0,8 și va fi yogo.

Cunoscând înălțimea mare a elipsei a = 5 și excentricitatea ε = 0,8, cunoaștem înălțimea mică a lui b. Fragmentele b = √(a 2 - з 2) și з = εa = 4, apoi b = √(5 2 - 4 2) = 3. Deci alinierea canonică arată ca x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Pentru a crea o elipsă, desenați manual rectul cu centrul său pe cobul sistemului de coordonate canonic, ale cărui laturi sunt paralele cu axele de simetrie ale elipsei și se aliniază cu axele sale similare (Fig. 7.4). Această iarbă dreaptă se amestecă

Axele elipsei la vârfurile sale sunt A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), iar elipsa însăși are inscripții. În fig. 7.4 indică, de asemenea, focalizarea F 1.2 (±4; 0) elipsa.

Puterea geometrică a elipsei. Să rescriem prima linie (7.6) sub forma |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Este semnificativ faptul că valoarea a/ε - x pentru a > z este pozitivă, deoarece focarul F 1 nu aparține elipsei. Această mărime se extinde la dreapta verticală d: x = a/ε în punctul M(x; y), care se află pe stânga în linie cu această dreaptă. Numele elipsei poate fi scris sub formă

|F 1 M|/(a/ε - x) = ε

Aceasta înseamnă că această elipsă este formată din aceste puncte M(x; y) ale planului, pentru care raportul dintre razele focale F 1 M și creșterea la dreapta d este o valoare constantă egală cu ε (Fig. 7.5) .

Linia dreaptă d are un „geamăn” - linia dreaptă verticală d” este simetrică față de d față de centrul elipsei, care este dată de egalul x = -a/ε. Elipsa d” este descrisă în același mod la fel de clar d. Infracțiunile direct d i d nume directricele elipsei. Directricele elipsei sunt perpendiculare pe axa de simetrie a elipsei, moment în care focalizarea acesteia este extinsă și stau în fața centrului elipsei la distanța a/ε = a 2/s (div. Fig. 7.5).

Ridică-te în fața direcției până când se numește focarul cel mai apropiat de ea parametrul focal al elipsei. Acest parametru este mai vechi

p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c

Elipsa are o altă putere geometrică importantă: razele focale F 1 M și F 2 M se adună la o fracțiune a elipsei în punctul M de la nivelul tăieturii (Fig. 7.6).

Această putere are un efect fizic imediat. Dacă la focarul F 1 focalizarea luminii este extinsă, atunci deplasați-vă din acest focar, după ce vedeți elipsa de-a lungul unei alte raze focale, așa cum după ce vedem elipsa, ne vom deplasa sub aceeași tăietură la curbă, ceea ce rămâne de do? În acest fel, toate schimburile care ies din focus F 1 sunt concentrate într-un alt focus F 2 și din același motiv. Cu această interpretare, se numește putere puterea optică a elipsei.

Alinierea canonică a elipsei arată ca

de a – mare înălțime; b – înălțime mică. Se numesc punctele F1(c,0) si F2(-c,0) − c

a, b – formele elipsei.

Semnificația focusurilor, excentricitatea, directricea elipsei, așa cum este evident din alinierea ei canonică.

Semnificația hiperdurerii. Focalizarea hiperbolei.

Viznachennya. O hiperbola este un punct lipsit de sens pe un plan pentru care modulul diferenței dintre două puncte, numite focare, este constant și mai mic decât diferența dintre focare.

Pentru programări | r1 - r2 | = 2a. F1, F2 – focusuri de hiperbole. F1F2 = 2c.

Nivelul canonic al hiperbolei. Sentimente de hiperbolă. Va fi hiperbolă, după cum știm din gelozia canonică.

Alinierea canonică:

Este foarte dificil să plasați jumătate din distanța minimă dintre cei doi pini de hiperbolă, pe laturile pozitive și negative ale axei (stângaci și dreptaci la originea coordonatelor). Pentru o unghie cusută pe partea pozitivă, într-un mod foarte modern:

Cum să-l exprimați prin intervalul de capăt și excentricitate, atunci va arăta astfel:

Semnificația focalizării, excentricității, direcris de hiperbolă, așa cum este cunoscut din ecuația canonică.

Excentricitatea hiperdurerii

Viznachennya. Relația se numește excentricitatea hiperbolei, de

jumătate se ridică între focusuri și – acțiunea se ridică.

Privind acele c2 – a2 = b2:

Dacă a = b, e = atunci hiperbola se numește cu laturi egale.

Directori de hiperbolă

Viznachennya. Două drepte, perpendiculare pe axa activă a hiperbolei și extinse simetric față de centrul pe linia a/e de cealaltă, se numesc directrice ale hiperbolei. Gelozia lor: .

Teorema. Dacă r – se ridică de la punctul suficient M al hiperbolei la orice focar, d – se ridică din același punct la focarul corespunzător al direcției, atunci raportul r/d – valoarea a devenit egală cu excentricitatea.

Sensul parabolei. Director de focus și parabole.

Parabolă. O parabolă este o locație geometrică a unui punct, care este totuși distanță de un punct fix dat și de o dreaptă fixă ​​dată. Pata, așa cum am menționat mai sus, se numește focarul parabolei, iar linia dreaptă se numește directrix.

Ecuația canonică a parabolei. Parametrul parabolei. Parabole Pobudova.

Alinierea canonică a unei parabole într-un sistem de coordonate rectiliniu: (sau altfel inversează axele).

Parabolele zilnice pentru o valoare dată a parametrului p sunt construite în următoarea secvență:

Efectuați întreaga simetrie a parabolei și plasați-o într-o nouă secțiune KF=p;

Prin punctul K, perpendicular pe axa de simetrie, se trasează directricea DD1;

Tăiați KF pentru a împărți și îndepărtați vârful parabolei 0;

În partea de sus există un număr de puncte suplimentare 1, 2, 3, 5, 6 cu o creștere între ele, care crește treptat în dimensiune;

Prin aceste puncte, trasați linii drepte suplimentare perpendiculare pe axa parabolei;

Pe liniile drepte suplimentare, faceți crestături cu o rază egală cu linia dreaptă din linia directă;

Desenați punctele și conectați-le cu o curbă netedă.