Ulike måter å bevise Pythagoras teorem: anvendelser, beskrivelser og metoder. Hvordan angi Pythagoras' teorem Pythagoras

Pythagoras teorem- En av hovedteoremene i euklidisk geometri, som etablerer forholdet

mellom sidene av den rekktutane trikuten.

Vi setter pris på det som ble oppnådd av den greske matematikeren Pythagoras, som den er oppkalt etter.

En mer geometrisk formulering av Pythagoras teorem.

Bulas teorem er innledningsvis formulert som følger:

I en ortokutan tricupus er arealet av et kvadrat målt på hypotenusen det samme som summen av kvadratene,

vekket på beina.

Algebraisk formulering av Pythagoras teorem.

I en rett kutter er kvadratet til dovzhin-hypotenusen lik summen av kvadratene til dovzhin-kathetien.

Tobto, etter å ha utpekt dovzhna av hypotenusus av tricutaneum gjennom c, og dovzhini katetіv gjennom enі b:

Lovbrudd formulering Pythagoras teorem tilsvarende, men den andre formuleringen er mer elementær, men ikke

vil kreve en klarere forståelse. Denne andre uttalelsen kan verifiseres på nytt uten å vite noe om området

Utdøde bare noen få sider av den ortokutane tricutanea.

Vorotny Pythagoras teorem.

Hvis kvadratet på den ene siden av tricuten er lik summen av kvadratene på de to andre sidene, da

rettkuttet trikutan.

Eller med andre ord:

For tre positive tall en, bі c, så så

Den er basert på en rett skåret jersey med ben enі b og hypotenusen c.

Pythagoras teorem for ekvifemoral tricumus.

Pythagoras teorem for den likesidede tricupus.

Bevis for Pythagoras teorem.

For tiden har den vitenskapelige litteraturen registrert 367 bevis på denne teoremet. Ymovirno, teorem

Pythagoras har et enkelt teorem med et betydelig antall bevis. Slikt mangfold

kan bare forklares med de grunnleggende implikasjonene av teoremet for geometri.

Tilsynelatende kan de konseptuelt deles inn i et lite antall klasser. Hva vi vet fra dem:

bevise arealmetode, aksiomatiskі eksotiske bevis(for eksempel,

for ytterligere hjelp differensialnivåer).

1. Bevis for Pythagoras teorem gjennom de trikutane musklene.

Forhåndsbeviset for den algebraiske formelen er det enkleste av bevisene som vil være

rett bak aksiomet. Zokrema er ikke et vikoristisk konsept for en flat figur.

La oss gå ABCє rettskåret trikutnik є rettskjært C. La oss sjekke høyden C og betydelig

її sovner gjennom H.

Tricutnik ACH ligner på trikutnik AB Z to kutami. Ligner på trikutnik CBH lignende ABC.

Oppgitte instruksjoner:

utelates:

hva indikerer det -

Sklavshi en 2 ta b 2, utelat:

eller hva som måtte tas frem.

2. Bekreftelse av Pythagoras teorem etter arealet.

Bevisene nedenfor, uavhengig av dens enkelhet, er ikke så enkle i det hele tatt. Alt stinker

Vikoristiske autoriteter er firkantede, bevisene på det er kompliserte for beviset på selve Pythagoras teoremet.

Bevis gjennom ekvivalens.

Vi vokser rett ut av alt

trikutnik som vist i babyen

høyrehendt

Chotirikutnik med sider c- Torget,

fragmenter av en pose med to skarpe kutt 90°, og

utsvingt kutt - 180°.

Arealet til alle figurene er eldgammelt, på den ene siden,

arealet av en firkant på den tredje siden ( a+b), og på den annen side, summen av arealet av fire trikutane og

Hva som måtte tas opp.

3. Bevis for Pythagoras teorem ved metoden for infinitesimals.

Ser på lenestolen, vist til babyen, og

beskytte mot sideskifteen, vi kan

registrere datoen for forholdet ditt for alltid

malich økning av siderhі en(Vikorist som

trikutniki):

Vikorists metode er semi-foranderlig, vi vet:

Enda viktigere, endre hypotenusen for å øke begge sider:

Integrering av data likeverdige og vikorista cob sinn, avviser vi:

På denne måten kommer vi til konklusjonen:

Uansett hva, er det kvadratiske innholdet i restformelen alltid lineært

proporsjonene mellom sidene av tricuten og trinnene, og hvordan mengden er relatert til de uavhengige

bidrag fra en økning i ulike kategorier.

Det enkleste beviset kan forkastes hvis vi tar i betraktning at det ene benet ikke viser en økning

(i dette tilfellet beinet b). Resultatene for integrasjonskonstanten er eliminert:

Etter Van der Waerdens mening er det utrolig at forholdet i zagal-formen allerede var vanlig i Babylonia nær 1700-tallet f.Kr. e.

Omtrent 400 f.Kr. Det vil si at etter Proclus ga Platon en metode for å finne pytagoreiske trillinger, som kombinerte algebra og geometri. Nærmere 300 stjerner. Det vil si at i Euclids "Cobs" dukket det eldste aksiomatiske beviset på Pythagoras teoremet opp.

Formel

Hovedformuleringen av algebraiske operasjoner er i endetarmen trikutan, dozhni catheti på et eller annet nivå a (\displaystyle a)і b (\displaystyle b), og dovzhina av hypotenusis - c (\displaystyle c), Vikonano spіvіdnosheniya:

Det er en mulig og ekvivalent geometrisk formulering som går til forståelsen av arealet til figuren: i den rektkutane tricubitus er arealet av kvadratet dannet på hypotenusen lik summen av arealene til kvadratene som er dannet på bena. På denne måten er teoremet formulert på Cobs of Euclid.

Pythagoras teorem- en uttalelse om enkelheten til enhver trikutnik, nesten alle aspekter av ethvert forhold a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Som en siste utvei, for tre positive tall a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)і c (\displaystyle c), så så a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)) Det er en rett skåret jersey med ben a (\displaystyle a)і b (\displaystyle b) og hypotenusen c (\displaystyle c).

Bevis det

Den vitenskapelige litteraturen har registrert minst 400 bevis på Pythagoras teorem, som er både grunnleggende for geometri og elementært for resultatet. De viktigste retningene for bevis: den ondskapsfulle algebraen til konjugerte elementer (som for eksempel den populære likhetsmetoden), områdemetoden, og det er også forskjellige eksotiske bevis (for eksempel ved å bruke differensialligninger ).

Gjennom lignende trøyer

Det klassiske beviset på Euklid etablerer direkte likheten i området mellom de rettlinjede bena, skapt fra høyden på kvadratet over hypotenusen til høyden fra den rettlinjede coterien med rutene over bena.

Designet, som brukes til bevis: for en rettskåret tricubitus med et rett kutt C (\displaystyle C), ruter over bena og ruter over hypotenusen A B I K (\displaystyle ABIK) det blir høyde CH Og husk at det vil vare, s (\displaystyle s), som deler kvadratet over hypotenusen i to rektangler i. Bevis på mål om å etablere likestilling av det rektangulære området A H J K (\displaystyle AHJK) med en firkant over benet A C (\displaystyle AC); likheten til arealet til den andre rektangulære siden, når du plasserer en firkant over hypotenusen, plasseres den rektangulære firkanten over det andre benet på lignende måte.

Likestilling av ortokutan område A H J K (\displaystyle AHJK)і A C E D (\displaystyle ACED) etableres gjennom kongruensen til de trikutane musklene △ A C K(\displaystyle \triangle ACK)і △ A B D (\displaystyle \triangle ABD) Arealet av huden er omtrent halvparten av rutene. A H J K (\displaystyle AHJK)і A C E D (\displaystyle ACED) Dette er åpenbart relatert til offensiv kraft: arealet av tricubitus er lik halvparten av arealet av rektukulært, siden figuren er på ryggsiden, og høyden på tricubitus til baksiden er den andre siden av det rektukulære. Kongruensen til de trikutane stammer fra likheten mellom de to sidene (sidene av rutene) og kuttet mellom dem (foldet med et rett kutt og kuttet med A (\displaystyle A).

Med denne metoden fastslår beviset at arealet av kvadratet over hypotenusen, som er summen av rektokutan A H J K (\displaystyle AHJK)і B H J I (\displaystyle BHJI), som er det samme som summen av arealene av rutene over bena.

Bevis for Leonardo da Vinci

Metoden er også avhengig av bevis fra funnene til Leonardo da Vinci. La den rettkuttede trikutnik gis △ A B C (\displaystyle \triangle ABC) fra en direkte vinkel C (\displaystyle C) ta firkantet A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG)і A B H J (\displaystyle ABHJ)(Div. lille). Hvems bevis er på hans side? HJ (\displaystyle HJ) resten av yttersiden vil ha en trikulet, kongruent △ A B C (\displaystyle \triangle ABC), i samme grad som hypotenusen, og like høy som høyden før den (da J I = B C (\displaystyle JI = BC)і H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Rett C I (\displaystyle CI) deler kvadratet på hypotenusen i to like deler, fragmenter av tricubitules △ A B C (\displaystyle \triangle ABC)і △ J H I (\displaystyle \triangle JHI) Rivnis budovy. Beviset etablerer kongruensen til chotiricutniks C A J I (\displaystyle CAJI)і D A B G (\displaystyle DABG), området av huden avsløres, på den ene siden, å være summen av halve arealet av rutene på bena og arealet av utgangstricuput, på den andre siden - halve arealet av kvadratet på hypotenusus pluss arealet av utgangstricuput. Halve summen av arealene av kvadratene over bena er også lik halvparten av kvadratets areal over hypotenusen, som er eldre enn den geometriske formuleringen til Pythagoras teoremet.

Bevis ved metoden for uendelig liten

Det er en mengde bevis som går inn i teknikken for differensielle sammenligninger. Zokrema, Hardy er kreditert for å bevise at veksten av kateter er uendelig liten. a (\displaystyle a)і b (\displaystyle b) og hypotenusis c (\displaystyle c) og bevare likheten med utgangen rektokutan, for å sikre fortsettelsen av påfølgende differensialforhold:

d a d c = c a (visningsstil (frac (da) (dc)) = (frac (c) (a))), d b d c = c b (visningsstil (frac (db) (dc)) = (frac (c) (b))).

Ved å bruke metoden for subvariabler utledes differensiallikheter c d c = a d a + b d b (visningsstil c dc = a, da + b, db), som integrasjon gir kompatibilitet c 2 = a 2 + b 2 + C o ns t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Stagnasjon av cob sinn a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) betyr at konstanten er 0, noe som resulterer i bekreftelsen av teoremet.

Det kvadratiske innholdet i restformelen viser alltid en lineær proporsjonalitet mellom sidene i trekanten og inkrementene, mens mengden er assosiert med uavhengige bidrag fra inkrementet til de forskjellige benene.

Variasjoner og tilpasning

Lignende geometriske figurer på tre sider

En viktig geometrialisering av teoremet til Pythagoras gitt av Euclid i "Cobs", som beveger seg fra området med firkanter på sidene til områdene til lignende geometriske figurer: summen av arealene til slike figurer dannet på sidene, lignende områder Dette er en figur produsert på hypotenusen.

Hovedideen bak dette er at arealet til en slik geometrisk figur er proporsjonal med kvadratet til en hvilken som helst av dens lineære dimensjoner og kvadratet på en hvilken som helst side. Vel, for lignende figurer fra Maidans A (\displaystyle A), B (\displaystyle B)і C (\displaystyle C), vekket på sidene med dovzhins a (\displaystyle a)і b (\displaystyle b) og hypotenusen c (\displaystyle c) Dette er åpenbart stedet for møtet:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (visningsstil (frac (A)(a^(2))))=(frac (B )( b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Høyrepil \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) )) C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

Bak Pythagoras teorem a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), deretter Viconano.

I tillegg, som det kan konkluderes uten å oppnå Pythagoras teorem, er det et unikt forhold for området til tre lignende geometriske figurer på sidene av en rettlinjet tricuput A + B = C (\displaystyle A+B=C), så fra vicoristansene til reverseringen av bekreftelsen av Euklids indirektion, kan man utlede bekreftelse av Pythagoras teorem. For eksempel, hvis det på hypotenusen vil være en kongruent kobbeformet rett skåret trikutan firkant C (\displaystyle C), og på sidene - to lignende rettkuttede tricuts med firkanter A (\displaystyle A)і B (\displaystyle B), så ser det ut til at tricubitulene på sidene er skapt som et resultat av delingen av coba-tricubitulen med samme høyde, da er summen av de to mindre områdene av tricubitules den samme som den tredje, på denne måten A + B = C (\displaystyle A+B=C) Og basert på enkle relasjoner for slike figurer, er Pythagoras teorem utledet.

Cosinus teorem

Pythagoras teorem er en nær forlengelse av den større cosinussetningen, som forbinder begge sider av suffikset:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2,

de - kutt mellom partene a (\displaystyle a)і b (\displaystyle b). Hvis det er mer enn 90°, da cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0) Og formelen ligner på den opprinnelige Pythagoras teorem.

Dovilny trikutnik

Det er klart at Pythagoras' teorem er utvidet til tredje kvartal, som opererer inkluderende på relaterte sider, det er viktig å merke seg at det først ble etablert av den sabiske astronomen Sabit Ibn Kurra. I dette tilfellet, for en komfortabel tricoat med sider, passer en likebent tricoat med base på siden inn. c (\displaystyle c), apex som går nær apex av exit tricuput, som ligger på sidene c (\displaystyle c) og kuts ved standen, lik kut θ (\displaystyle \theta), protilegon boci c (\displaystyle c). Som et resultat blir det laget to trøyer, lik helgen: den første - med sider a (\displaystyle a), langt foran henne, sidesiden av den innskrevne isosfemorale tricuput, at r (\displaystyle r)- sidedeler c (\displaystyle c); den andre - symmetrisk til den andre siden b (\displaystyle b) på denne siden s (\displaystyle s)- den øvre delen av siden c (\displaystyle c). Som et resultat vises følgende forhold:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a (2) + b (2) = c (r + s)),

som blir til Pythagoras teorem når θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Forholdet ligner på dannelsen av trikutan vev:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (visningsstil (frac (c)(a))=(frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b) )=(\frac (b)(s))\,\Høyrepil \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Pappus sin teorem om arealer

Ikke-euklidisk geometri

Pythagoras teorem er avledet fra aksiomet til euklidisk geometri og er ineffektivt for ikke-euklidisk geometri - den deriverte av Pythagoras teorem tilsvarer det euklidiske postulatet om parallellisme.

I ikke-euklidisk geometri vil forholdet mellom sidene av recticutum nødvendigvis ha en form som stemmer overens med Pythagoras teorem. For eksempel, i sfærisk geometri, er alle tre sidene av den rekktutane tricubitus, som forbinder oktanten til en enkelt sfære, sammenhengende π / 2 (\displaystyle \pi /2) Hva kan sies om Pythagoras teorem

I dette tilfellet er Pythagoras teorem gyldig i hyperbolsk og elliptisk geometri, så vi kan erstatte rettheten til tricubitus med tanken på at summen av to koteletter av tricuputa må være lik den tredje.

Sfærisk geometri

For alle rettkuttede trikutane på sfæren med en radius R (\displaystyle R)(for eksempel fordi kuttet til trikutnik er rett) på begge sider a, b, c (\displaystyle a, b, c) Forholdet mellom partene ser slik ut:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac(c)(R))\right)=\cos \left((\frac) ) (a)(R))\høyre)\cdot \cos \venstre((\frac (b)(R))\høyre)).

Denne likheten kan utledes som en spesiell utvidelse av det sfæriske cosinus-teoremet, som er gyldig for alle sfæriske tricuputaner:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\høyre)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac(b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatørnavn(ch) c=\operatørnavn (ch),

de ch (\displaystyle \operatørnavn (ch) )- Hyperbolsk cosinus. Denne formelen er supplert med en versjon av det hyperbolske cosinus-teoremet, som er gyldig for alle trikutane muskler:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatørnavn(ch) c=\operatørnavn (ch) a\cdot \operatørnavn (ch) (sh) a \cdot \operatørnavn (sh) b\cdot \cos \gamma ),

de γ (\displaystyle \gamma)- Kut, toppen som er på siden c (\displaystyle c).

Vikorist Taylor-serien for den hyperbolske cosinus ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatørnavn (ch) x\ca. 1+x^(2)/2)) kan det vises at den hyperbolske tricutulus endres (hvis a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)і c (\displaystyle c) for å nå null), så nærmer de hyperbolske relasjonene i den ortokutane tricupus det klassiske Pythagoras teoremet.

Zastosuvannya

Stå ved de to-verdens rektangulære systemene

Det viktigste utsagnet i Pythagoras teoremet er den angitte avstanden mellom to punkter ved det rettlinjede koordinatsystemet: avstand s (\displaystyle s) mellom punkter med koordinater (a, b) (\displaystyle (a,b))і (c, d) (\displaystyle (c,d)) en:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

For komplekse tall gir Pythagoras teorem en naturlig formel for å finne modulen til et komplekst tall - for z = x + y i (\displaystyle z = x + yi) I gamle dager

Teorem

I recticutine er kvadratet av dovzhin hypotenusen lik summen av kvadratene til dovzhin catheti (fig. 1):

$c^(2)=a^(2)+b^(2)$

Bevis for Pythagoras' teorem

Nehai trikutnik $A B C$ - rettskåret trikutnik med rett snitt $C$ (fig. 2).

La oss tegne høyden fra toppunktet $ C $ til hypotenusen $ A B $, bunnen av høyden er signifikant som $ H $.

Den rettskårede tricutniken $A C H$ ligner tricutniken $A B C$ i to kutt ($\angle A C B=\angle C H A=90^(\circ)$, $\angle A$ - zagalny). På samme måte er trikutnik $C B H$ lik $A B C$ .

Vivshi avtaler

$$B C=a, A C=b, A B=c$$

fra likheten til trikutniks er det klart at

$$\frac(a)(c)=\frac(H B)(a), \frac(b)(c)=\frac(A H)(b)$$

La oss se, hva

$$a^(2)=c \cdot H B, b^(2)=c \cdot A H$$

Etter å ha avvist sjalusien, avviser vi den

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot H B+c \cdot A H$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot(H B+A H)$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot A B$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot c$$

$$a^(2)+b^(2)=c^(2)$$

Hva som måtte tas opp.

En mer geometrisk formulering av Pythagoras teorem

Teorem

I rektikutinen er arealet av kvadratet dannet på hypotenusen det samme som summen av arealene til kvadratene dannet på bena (fig. 2):

Bruk for å løse problemer

rumpe

Zavdannya. Oppgaven er en rettskåret trikutan $A B C$, hvis ben er 6 cm og 8 cm lange Finn hypotenusen til denne tricucutineum.

Beslutning. Sammen med mentalsiden $a=6$ cm, $b=8$ cm Todi, sammen med Pythagoras teorem, kvadratet av hypotenusen

$c^(2)=a^(2)+b^(2)=6^(2)+8^(2)=36+64=100$

Det er tydelig at hypotenusen er shukana

$c = \sqrt(100) = 10$ (cm)

Bekreftelse. 10 cm

rumpe

Zavdannya. Finn området til recticutum, da det er klart at det ene bena er 5 cm større enn det andre, og hypotenusen er lik 25 cm.

Beslutning. La $x$ cm være dovzhinaen til det mindre benet, så er $(x+5)$ cm dovzhinaen til det større benet. Dette stemmer overens med Pythagoras teorem:

$$x^(2)+(x+5)^(2)=25^(2)$$

Vi løsner armene, trekker dem tilbake og kutter dem mest sannsynlig firkantet:

$x^(2)+5 x-300=0$

Basert på Viets teorem kan det konkluderes med at

$x_(1)=15$ (cm) , $x_(2)=-20$ (cm)

Verdien av $x_(2)$ tilfredsstiller ikke sinnet, men det mindre benet er lik 15 divs, og det større er 20 divs.

Området til den rettkuttede tricutniken er eldgammel til poenget med dovzhin yogo-katetre, da

$$S=\frac(15 \cdot 20)(2)=15 \cdot 10=150\venstre(\mathrm(cm)^(2)\høyre)$$

Bekreftelse.$S=150\venstre(\mathrm(cm)^(2)\høyre)$

Historisk bakgrunn

Pythagoras teorem- En av hovedteoremene i euklidisk geometri, som etablerer forholdet mellom sidene av recticutaneum.

Den gamle kinesiske boken "Zhou Bi Xuan Jing" snakker om den pytagoreiske tricuputon med sidene 3, 4 og 5. Den største tyske matematikkhistorikeren Moritz Cantor (1829 - 1920) setter pris på at verdien av $3 ^(2)+4^( 2)=5^ (2) $ var allerede kjent for egypterne rundt 2300 f.Kr. Til slutt ble alarmklokkene så rett skåret bak ved hjelp av rektangulære tricuts med sidene 3, 4 og 5. Mye mer er kjent om Pythagoras teorem blant babylonerne. I en tekst bringes beregningen av hypotenusen til isosfemoral tricucutineum nærmere.

For tiden har den vitenskapelige litteraturen registrert 367 bevis på denne teoremet. Det er klart at Pythagoras teorem er en enkelt teorem med et betydelig antall bevis. Dette mangfoldet kan bare forklares med de grunnleggende implikasjonene av teoremet for geometri.

Potensialet for kreativitet kan tilskrives humanistiske disipliner, naturvitenskap, utover analyse, praktisk tilnærming og tørt språk av formler og tall. Du kan ikke ta matematikk til humanistiske fag. Men uten kreativitet kommer du ikke langt i "dronningen av alle vitenskaper" - folk har visst om dette fra lenge siden. Fra Hours of Pythagoras, for eksempel.

Skoleassistenter, dessverre, nøler ikke med å forklare at i matematikk er det viktig å ikke stappe teoremer, aksiomer og formler. Det er viktig å forstå og forstå disse grunnleggende prinsippene. Og når du prøver å utvikle sinnet ditt fra klisjeer og abetkovske sannheter, blir alle de gode ideene populære i slike sinn.

Slik kritikk kan også inkludere de som i dag er kjent som Pythagoras teorem. Med denne hjelpen vil vi prøve å vise at matematikk ikke bare kan, men også kan være nyttig. Og hvorfor dette passer ikke bare for botanikere med disse okularene, men for alle som har et sterkt sinn og en sterk ånd.

Historie om ernæring

Strengt tydelig, selv om teoremet kalles "Pythagoras' teorem", avslørte ikke Pythagoras selv det. Den rettskårne trikutniken og dens spesielle krefter eksisterte lenge før. Og to polare blikk på maten. I en versjon var Pythagoras den første som fikk et fullstendig bevis på teoremet. Andre bevis kan ikke tilskrives forfatterskapet til Pythagoras.

I dag kan du ikke lenger se hvem som har barmhjertighet og hvem som har barmhjertighet. Det er også tydelig at Pythagoras sine bevis, som om det hadde skjedd, ikke ble bevart. Dessuten antas det at det berømte beviset fra Euclids "Cobs" kan tilskrives Pythagoras, og Euclid registrerte det bare.

Det er også kjent i dag at legender om den rettkuttede tritube finnes i de egyptiske klokkeringene til farao Amenemhat I, på babylonske leirtavler fra kong Hammurapas regjeringstid, i den gamle indiske avhandlingen "Sulva Su" tra" og den gamle Kinesisk skapelse "Zhoubi-sun".

Som du vet, har Pythagoras teorem okkupert sinnene til matematikere siden antikken. Det er omtrent 367 forskjellige typer bevis tilgjengelig i dag. Ingen andre teorem kan konkurrere med den. Blant de kjente bevisforfatterne kan du nevne Leonardo da Vinci og den tjuende amerikanske presidenten James Garfield. Alt dette er å si om den ekstreme betydningen av denne teoremet for matematikk: de fleste av geometriens teoremer er avledet fra den, eller på annen måte er de fleste teoremene knyttet til den.

Bevis for Pythagoras' teorem

Det er viktig for skolelærere å gjøre algebraiske bevis. Hvis essensen av teoremene er i geometri, så la oss ta en titt på bevisene til det berømte teoremet som gjelder for denne vitenskapen.

Bevis 1

For det enkleste beviset på Pythagoras teorem for den rekktutane tricupus, er det nødvendig å etablere ideelle sinn: la tricucutineum ikke bare være oppreist, men til og med ekvifemoral. La oss huske at en så tett sammensveiset mann selv så på matematikken fra gammelt av.

Tverzhennya "et kvadrat, dannet på hypotenusen til endetarmen trikutan, lik summen av kvadrater, dannet på bena" kan illustreres av ståstolene:

Forundre deg over den likebenede rekktutane ABC: På hypotenusen AC kan du lage en firkant, som består av fire tricucutiner, som ligner på den utgående ABC. Og på sidene AB og PS var det nødvendig å plassere en firkant på hver side, hver med to like trikuletter.

Før talen dannet denne stolen grunnlaget for en rekke anekdoter og karikaturer dedikert til Pythagoras teorem. Den mest kjente, kanskje "Pythagoreanbukser på alle sider er like":

Bevis 2

Denne metoden kombinerer algebra og geometri og kan sees på som en variant av det gamle indiske beviset til matematikeren Bhaskari.

Vær en rettskåret tricut med sider a, b og c(Figur 1). Lag så to firkanter med sider lik summen av to sider, - (a+b). Lag hver rute av rutene som i figur 2 og 3.

For den første ruten, ha flere av de samme tre-delene som for baby 1. Resultatet er to ruter: en med side a, den andre med side z b.

I en annen firkant lages lignende trikubituler for å lage en firkant med den andre siden, som er den gamle hypotenusen. c.

Summen av arealene til de opprettede firkantene i fig. 2 er lik arealet av kvadratet vi laget med siden z i fig. 3. Dette er lett å verifisere ved å se på arealet av rutene i fig. 2 for formelen. Og arealet til den innskrevne firkanten på den lille 3. Banen avslører arealet av fire like påskrevne firkanter av rettlinjede tricuts fra området til den store firkanten på den andre siden (a+b).

Etter å ha skrevet ned alt, la oss si: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Åpne armene, utfør alle nødvendige algebraiske beregninger og fjern hva a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Dette er området innskrevet i fig. 3. kvadrat kan beregnes ved hjelp av den tradisjonelle formelen S=c 2. Tobto. a 2 + b 2 = c 2- Du har fullført Pythagoras teorem.

Bevis 3

Selve Davniindiysky-beviset på beskrivelsene av XII-tabellen i TRACTITI "Vinneta" ("Siddhanta Shiromram") Jeg yak hodet argument forfatteren av vicoristov, grusomhetene til det matematiske talentet, det er reservasjonen av navigasjonen: "District !".

La oss se nærmere på dette beviset mer detaljert:

I midten av firkanten, plasser rette triketter, som angitt på stolen. Siden av den store firkanten, der er hypotenusen, signifikant h. Nemlig trikutnik kateti ENі b. Siden av den indre firkanten strekker seg opp til lenestolen (a-b).

Vikoristisk formel for arealet til en firkant S=c 2, for å beregne arealet av den ytre firkanten. Og roter samtidig den samme verdien, og legger sammen arealet av den indre firkanten og arealet til alle fire rettlinjede tricuts: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Du kan bruke forskjellige alternativer for å beregne arealet av kvadratet, slik at du kan bytte for å gi samme resultat. Dette gir deg rett til å skrive ned hva c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Som et resultat av løsningen din fjerner du formelen til Pythagoras teorem c 2 =a 2 + b 2. Teoremet er bevist.

Bevis 4

Dette eldgamle kinesiske beviset, etter å ha tatt bort tittelen "Stiletto of the Named One" - gjennom figuren som ligner stilen, som dukker opp som et resultat av alle anledninger:

Dette er det samme som vi allerede har sett i fig. 3 for et annet bevis. Og den indre firkanten med siden av impulsen er den samme som i det gamle indiske beviset, indusert av verden.

Hvis du tenker på å klippe to grønne rectiquaniki fra lenestolen i fig. 1, flytte dem til motsatte sider av firkanten på siden med hypotenusene og feste dem til hypotenusene til buccal tricutuellas, vil du få en figur som heter " st” Ilet's named” (fig. 2). For å være presis kan du også jobbe med papirruter og trikletter. Du ser at "den navngitte kvinnens stil" skaper to firkanter: små på den andre siden b og flott på denne siden en.

De lot umiddelbart de gamle kinesiske matematikerne og oss følge dem igjen, så c 2 =a 2 + b 2.

Bevis 5

En annen måte å finne løsninger på Pythagoras teorem er ved å bruke geometri. Den kalles "Garfield-metoden".

Vær en rettskåret tricutnik ABC. Det må vi formidle ND 2 = AC 2 + AB 2.

For hvem skal jeg fortsette å leve beinet? AC og følg med CD, som er et eldgammelt ben AB. Nedre vinkelrett AD video ED. Videoer EDі AC Rivni. Prikk-til-prikk Eі U, i tillegg til Eі Z Og ta av stolen, som litt lavere:

For å avslutte saken, går vi igjen tilbake til metoden vi allerede har prøvd: vi finner ut området av figuren som kom ut på to måter og tilsvarer ett til ett uttrykk.

Finn ut området til bogatokutnik EN SENG Det er mulig ved å klemme området på tre tredeler for å lage dem. Dessuten en av dem ESV, ikke bare rett kutt, men jevnt hofte. La oss heller ikke glemme det AB = CD, AC = EDі ВС = РЄ– ikke la oss skrive ned posten og ikke re-vantazhuvati yogo. Otje, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2°C 2.

Det er åpenbart at EN SENG– Dette er en trapes. Derfor beregner vi arealet ved hjelp av formelen: S ABED = (DE + AB) * 1/2AD. For våre beregninger er det lettere og lettere å identifisere økningen AD som en sum penger ACі CD.

La oss skrive ned to måter å beregne arealet til en figur på, og sette et tegn på troskap mellom dem: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Vikorist er allerede kjent for oss og beskrev den større likheten mellom seksjonene, for å forenkle den høyre delen av platen: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Og la oss nå åpne armene og forvandle sjalusi: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Etter å ha fullført all transformasjonen, tar vi bort de tingene vi trenger: ND 2 = AC 2 + AB 2. Vi har fullført teoremet.

Selvfølgelig er denne listen over bevis langt fra uttømmende. Pythagoras teoremet kan også utvides ved hjelp av vektorer, komplekse tall, differensialligninger, stereometri, etc. Og poenget med fysikk: som for eksempel i lignende forestillinger på stolene, brukes firkanter og tredeler for å fylle landet. Ved å helle radiusen er det mulig å bringe likheten til området og selve teoremet til resultatet.

Et par ord om pythagoras trillinger

Denne ernæringen er sjelden inkludert i skoleprogrammet. Og nå er den enda kraftigere og har stor betydning i geometri. Pythagoras trippel er satt i de mest rike matematiske oppgavene. Avsløringer om dem kan være til ytterligere fordel for deg i fremtiden.

Så hva er pythagoras trillinger? Dette er navnet gitt til naturlige tall samlet i grupper på tre, summen av kvadratene av to lik det tredje tallet i annen.

Pythagoras trippel kan være:

primitiv (alle tre tallene er gjensidig enkle);
ikke primitiv (som om du ganger samme antall tre med samme tall, får du en ny tre, som ikke er primitiv).

Allerede før vår tidsregning var de gamle egypterne fascinert av manien til antallet pytagoreiske trillinger: ved templene kunne de se en rettskåret tredelt med sider på 3,4 og 5 enheter. Før du snakker, det være seg en tricutnik, hvis sider er sammenlignbare med tallene fra Pythagoras tre, for resonnementet til de rettlinjede.

Rumper av Pythagoras trillinger: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14 48, 50), (30, 40, 50) osv.

Den praktiske definisjonen av teoremet

Pythagoras teorem er kjent i matematikk, så vel som i arkitektur og hverdagsliv, astronomi og litteratur.

Litt om hverdagen: Pythagoras’ teorem finnes i et nytt bredt spekter av objekter med ulike nivåer av kompleksitet. For eksempel, beundre maleriet i romansk stil:

Betydelig bredden på vinduet b Da kan radiusen til den store vulkanen defineres som R og uttrykke gjennom b: R=b/2. Radiusen til mindre runder er også synlig gjennom b: r=b/4. Hvem sin kommando er det for oss å klikke på radiusen til den interne innsatsen i vinduet (kalt yogo s).

Pythagoras teorem er bare i hånden for å beregne R. For dette formålet er vikoristen en rettskåret tricutnik, som er indikert med en stiplet linje for en liten mengde. Den trikutane hypotenusen består av to radier: b/4+p. Ett ben har en radius. b/4, annet b/2-p. Ved å bruke Vikorists teorem om Pythagoras skriver vi: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Så åpnes og fjernes armene b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. La oss rekonstituere dette viruset til bp/2=b2/4-bp. Og så skal vi dele alle medlemmer inn i b, la oss få frem detaljene som skal fjernes 3/2*p=b/4. Og som et resultat vet vi det p=b/6- Hva trenger vi?

Ved å bruke følgende teorem kan du beregne dowzhin av penger for en tohåret dahu. Dette betyr hvilken høyde på mobiltelefontilkoblingen som kreves for at signalet skal nå et befolket område. Og installer deretter den nye yalinkaen på Moskva Maidan. Som du ser, er dette teoremet levende ikke bare på sidene i håndbøker, men det spiller ofte inn i det virkelige liv.

Når det gjelder litteratur, har Pythagoras teorem blitt skrevet av forfattere siden antikken og fortsetter å virke i vår tid. For eksempel ble den tyske forfatteren Adelberta von Chamisso fra 1800-tallet inspirert til å skrive en sonett:

Sannhetens lys vil ikke blomstre snart,
Ale, som har skrumpet seg, vil neppe blomstre
Jeg, som for tusen år siden,
Uttaler ikke tvil og supers.

Mest klok, hvis du ser på det
Sannhetens lys, gudene taler;
Og hundre nebb, stukket, legger seg.
En gave fra stamfaren til Pythagoras.

Fra den timen brølte nebbet hjerteligst:
Navik har skremt stammen
Podia, gjettet her.

Jeg tenker: akse-akse timen kommer,
Jeg vil bringe dem igjen som et offer
For et flott teorem.

(Oversettelse av Viktor Toporov)

Og på 1900-tallet viet Radian-forfatteren Evgen Veltistov, i sin bok "Advanced Electronics", en hel del til bevisene for Pythagoras' teorem. Og det er flere historier om verdens verden, som kan betraktes som om Pythagoras teorem ble den grunnleggende loven og ga opphav til religion i tillegg til verden. Livet i det nye ville vært mye enklere, men også mye kjedeligere: for eksempel er det ingen der som forstår betydningen av ordene "rund" og "fluffy".

Og også i boken "Hjelpeelektronikk" sier forfatteren fra matematikklæreren Taratar: "Det viktigste i matematikk er sammenbruddet av tanker, nye ideer." Denne kreative tankeflukten i seg selv er generert av Pythagoras teorem - ikke for ingenting at den har så mange forskjellige bevis. Det hjelper deg å gå utover de vanlige grensene og forundre deg over kjent tale på en ny måte.

Visnovok

Denne artikkelen ble laget slik at du kan se utover skoleprogrammer i matematikk og lære mer om bevisene til Pythagoras teoremet, som er angitt i håndbøkene "Geometry 7-9" (L.S. Atanasyan, V.M. Rudenko) og "Geometry 7 -11 " (A.V. Pogorelov), og andre gode måter å bevise det berømte teoremet på. Og husk også at Pythagoras teorem kan brukes i hverdagen.

Først av alt vil denne informasjonen tillate deg å søke om høyere poengsum i matematikktimer - kunnskap om emnet og ytterligere ferdigheter vil bli høyt verdsatt i fremtiden.

På en annen måte ønsket vi å hjelpe deg å forstå hvor mye matematikk er en vitenskap. Bytt til spesifikke rumper, som alltid er stedet for kreativitet. Vi mistenker at Pythagoras teorem vil inspirere deg til uavhengig forskning og innsikt i matematikk og andre vitenskaper.

Fortell oss i kommentarene hvilke bevis du fant nyttig i statistikken. Du trengte denne informasjonen fra begynnelsen. Skriv til oss hva du synes om Pythagoras teorem og denne artikkelen - vi vil gjerne diskutere alt med deg.

blog.site, med hel eller delvis kopiering av materialet sendt til Pershodzherel ob'yazkov.

Pythagoras teorem: En sum av kvadrater som spiraler på sidene ( enі b), arealet av kvadratet skapt på hypotenusen ( c).

Geometrisk formulert:

Bulas teorem er innledningsvis formulert som følger:

Algebraisk formel:

Tobto, etter å ha utpekt dovzhna av hypotenusus av tricutaneum gjennom c, og dovzhini katetіv gjennom enі b :

en 2 + b 2 = c 2

Begge formuleringene av teoremet er ekvivalente, mens de andre formuleringene er mer elementære, og de innebærer et enklere konsept. Denne andre påstanden kan verifiseres på nytt uten å vite noe om området og de eksisterende sidene av den rekktutane planten.

Pythagoras teorem:

Bevis det

Tilsynelatende kan de konseptuelt deles inn i et lite antall klasser. De vanligste av dem er: bevis ved arealmetoden, aksiomatiske og eksotiske bevis (for eksempel ved hjelp av differensialligninger).

Gjennom lignende trøyer

Det neste beviset for den algebraiske formelen er det enkleste av bevisene som vil være direkte relatert til aksiomet. Zokrema, det er ikke det vikoristiske konseptet til en flat figur.

La oss gå ABCє rettskåret trikutnik є rettskjært C. La oss sjekke høyden Cі betydelig її basis gjennom H. Tricutnik ACH ligner på trikutnik ABC to kuts hver. Ligner på trikutnik CBH lignende ABC. Vivshi avtaler

negert

Hva er ekvivalent

Klem, ta det bort

Bevis med arealmetoden

Bevisene nedenfor, uavhengig av dens enkelhet, er ikke så enkle i det hele tatt. Alle av dem er seirende mot myndighetene, bevisene som ligner på beviset for selve Pythagoras teorem.

Bevis gjennom pålitelighet

Vi dyrker den samme rettkuttede trikutniki som vist i baby 1.
Chotirikutnik med sider c Den er firkantet, fragmentene av posen med to skarpe kutt er 90 °, og det åpne snittet er 180 °.
Arealet til alle figurene er det samme, på den ene siden, arealet av kvadratet på den andre siden (a+b), på den andre siden, summen av arealet av fire tricupus og to indre firkanter.

Hva som måtte tas opp.

Bevis gjennom konsistens

Et elegant bevis for ytterligere permutasjoner

Baken av et av disse bevisene er angitt på høyre lenestol, de square, på hypotenusen, ved omorganisering blir den forvandlet til to firkanter, på sidene.

Euklids bevis

Lenestol til Euklids bevis

Illustrasjon før Euklids bevis

Ideen til Euklids bevis ligger i nåtiden: vi vil prøve å bevise at halve arealet av kvadratet generert på hypotenusen er lik summen av halvparten av arealene av kvadratene generert på bena, og deretter arealet av den store firkanten og to små firkanter av samme størrelse.

La oss ta en titt på Evils stol. I dette tilfellet plasserte vi firkanter på sidene av den rektangulære tricuten og tegnet fra toppen av det rektangulære snittet C, vinkelrett på hypotenusen AB, så kuttet vi kvadratet ABIK, på hypotenusen, i to rektangulære snitt - BHJI og HAKJ henholdsvis. Det viser seg at arealene til disse rette kutterne er nøyaktig lik arealene til firkantene som er dannet på de tilsvarende bena.

La oss prøve å bevise at arealet av DECA-firkanten er lik arealet til den ortokutane AHJK. Av denne grunn blir følgende konklusjoner raskt fulgt: Arealet av trikutan er i samme høyde og grunnlaget for at den danske ortokutan er den samme halve arealet for denne rette kutteren. Dette er grunnen til at arealet av tricubitulen er lik halve høyden på basen. Det følger av dette at området til den trikutane ACK er det eldgamle området til den trikutane AHK (ikke avbildet i babyen), som på sin side er den eldgamle halvdelen av området til den rektukutane AHJK .

La oss nå bevise at arealet til trikuben ACK også er halvparten av arealet av kvadratet DECA. Det eneste som er nødvendig for denne utviklingen er å bringe sjalusien til ACK- og BDA-trikutiklene (fragmentene av området til BDA-trikutikulaen er lik halve arealet av kvadratet for den angitte kraften). Sjalusien er åpenbar, tightsen er like på begge sider og strikket mellom dem. Selv - AB=AK,AD=AC - likheten mellom utskjæringene CAK og BAD kan enkelt oppnås ved hjelp av rukhu-metoden: vi snur trikutikula CAK 90° mot årspilen, da er det åpenbart at de motsatte sidene av de to trikutikler, som sees med et blikk, løper sammen (gjennom hjørnet på toppen av firkanten - 90°).

Diskusjonen om jevnheten til området til kvadratet BCFG og rektum BHJI er helt lik.

Tim oppdaget selv at arealet av kvadratet dannet på hypotenusen er summen av arealet av kvadratene dannet på bena. Ideen med dette beviset er ytterligere illustrert med ekstra animasjon, som er illustrert ovenfor.

Bevis for Leonardo da Vinci

Hovedelementene i beviset er symmetri og flyt.

La oss ta en titt på lenestolen, som kan sees fra symmetrien fra siden CJeg dissekerer torget ENBHJ i to nye deler (skår av trikulets ENBCі JHJeg sjalusi for hver dag). Ved å rotere 90 grader mot årspilen øker vi jevnheten til de skraverte figurene CENJJeg і GDENB . Nå er det klart at arealet av figuren vi har skyggelagt er lik halve arealet av firkantene som finnes på bena, og arealet til den ytre tricuput. På den annen side er det mer enn halvparten av kvadratet oppnådd på hypotenusen pluss arealet av tricuputa. Resten av bevistiden forblir hos leseren.

Bevis ved metoden for uendelig liten

Forhåndsbeviset for de ekstra differensialligningene tilskrives ofte den berømte engelske matematikeren Hardy, som var i live i første halvdel av 1900-tallet.

Den ser stolen vises til babyen, og vokter endringen av sider en, kan vi registrere datoen for forholdet for uendelig små trinn av sider hі en(vikorysts og lignende trikutniks):

Bevis ved metoden for uendelig liten

Knusing etter metoden med halvt foranderlige, vet vi

En viktigere måte å endre hypotenusen på er å øke begge sider

Integrating data like og vikorista cob sinn, eliminert

c 2 = en 2 + b 2+ konstant.

På denne måten kommer vi til den viktige grenen

c 2 = en 2 + b 2 .

Uansett hva, det kvadratiske innholdet i restformelen viser alltid en lineær proporsjonalitet mellom sidene av tricuten og inkrementene, akkurat som beløpet er assosiert med uavhengige bidrag fra inkrementet til tricutene.

Det enkleste beviset kan avvises hvis det tas i betraktning at ett av bena ikke støtter inkrement (i dette tilfellet benet b). Resultatene for integrasjonskonstanten fjernes

Variasjoner og tilpasning

Hvis det i stedet for firkanter er andre lignende figurer på sidene, vil Pythagoras teorem sikkert komme: Rektum tricutaneum har området med lignende figurer dannet på bena, og det eldgamle området av figuren dannet på hypotenusen. Zokrema:
- Summen av arealene til de vanlige tricucutines, plassert på bena, er den samme som arealet av de vanlige tricucutines, plassert på hypotenusen.
- Summen av arealet av injeksjoner gjort på bena (som i diameter), det tradisjonelle området av injeksjoner gjort på hypotenusen. Denne baken brukes til å bevise kraften til figurene, omgitt av buene til to søyler og bærer navnene til den hypokratiske lunulaen.

Historie

Chu-pei 500-200 f.Kr Venstre skrevet: summen av kvadratene til dovzhinen av høyden og basen er kvadratet av dovzhinen til hypotenusen.

Den gamle kinesiske boken Chu-pei forteller om den pytagoreiske trikuten med sidene 3, 4 og 5: Denne samme boken inneholder en baby som løper med en av lenestolene til den indiske geometrien til Bashari.

Cantor (den største tyske historikeren av matematikk) bemerker at ligningen 3 + 4 + 5 = allerede var kjent for egypterne rundt 2300 f.Kr. e.., for timene til kong Amenemhet I (fra papyrus 6619 til Berlin-museet). I følge Kantor var harpedonaptene, eller spenningen av motusene, direkte kutt bak ved hjelp av de rettkuttede trikutane med sidene 3, 4 og 5.

Det er veldig enkelt å lage denne metoden. Ta en spole med 12 m bånd og bind den til den med et fargeslips på et 3 m stativ. fra den ene enden og 4 meter fra den andre. Et rett kutt vil vises mellom sidene av kilen på 3 og 4 meter. Harpedonaptamen kunne motvirkes fordi metoden deres ville oppmuntre dem til å bli merkbare, da de raskt ville kuttet, for eksempel med en treflette, som ville bli festet sammen med alt metallarbeidet. Det er egyptiske små som et slikt verktøy er slipt på, for eksempel små som representerer et snekkerverksted.

Vi vet mer om Pythagoras teorem blant babylonerne. I en tekst, som dateres tilbake til Hammurabis tid, deretter til 2000 f.Kr. Det vil si å bringe beregningen av hypotenusus i rektum tricutaneum nærmere. Fra dette synspunktet kan du si at Dvorichya var i stand til å jobbe med beregninger med rettkuttede trikutane planter, i den ekstreme enden i noen tilfeller. Basert seg på den ene siden på dagens kunnskap om egyptisk og babylonsk matematikk, og på den andre siden på kritisk bruk av valnøtter, produserte Van der Waerden (nederlandsk matematiker) følgende oversikt:

Litteratur

russisk språk

Skopet Z.A. Geometriske miniatyrer. M., 1990
Yelensky Shch. Spor av Pythagoras. M., 1961
Van der Waerden B.L. Vitenskapen vekkes. Matematikk fra det gamle Egypt, Babylon og Hellas. M., 1959
Glazer G. I. Historie om matematikk i skolen. M., 1982
St. Litzman, "The Pythagorean Theorem" M., 1960.
- Et nettsted om Pythagoras teorem med et stort antall bevis, materiale lært fra boken av V. Litzman, et stort antall stoler er presentert i følgende grafiske filer.
Pythagoras teorem og Pythagoras trillinger kapittel fra boken av D. V. Anosov "A Look at Mathematics and What's About It"
Om Pythagoras teorem og bevismetoder G. Glaser, akademiker ved det russiske vitenskapsakademiet, Moskva

Engelsk

Pythagoras teorem ved WolframMathWorld
Cut-The-Knot, seksjon dedikert til Pythagoras teorem, nesten 70 bevis og tilleggsinformasjon (engelsk)

Wikimedia Foundation. 2010.