Ortogonal projeksjon av kraft. Rozrobka "Rapporter bevis for teoremet om den ortogonale projeksjonen av den ortogonale ortogonale projeksjonen" (grad 10) Areal av den ortogonale overflaten
Detaljert bevis på teoremet om den ortogonale projeksjonen av den ortogonale kroppen
Yakshcho - projeksjon av en flat n - kutnik til sletten, deretter de - kut mellom slettene til den rike kutnik i. Med andre ord, arealet av projeksjonen av en flat rich-wrap er det samme som arealet av rich-wrapen som blir projisert, på cosinus av projeksjonen mellom projeksjonens plan og området av den anslåtte rik-omslaget.
Ferdig. Jeg scene La oss bevise scapula for trikutan. La oss se på 5 typer.
1 episode. ligge ved projeksjonsplanet .
Nehai - projeksjoner av punkter på undergrunnens plan. Til vår vipadka. La oss si, ok. La det være høyden, så, etter teoremet om tre perpendikulære, kan vi sette det på plass, som er høyden (projeksjonen av basen, og den direkte passeringen gjennom basen av basen, og).
La oss ta en titt.
Vin er grei. For cosinusverdiene:
På den andre siden er fragmentene, deretter bak de indikerte, et lineært snitt av en dihedral haug, skapt på planene til planene med den rette grensen, og derfor er dens verden også haugens verden mellom flyene til tricut-projeksjonen Nika og trikutniken selv, tobto.
Vi kjenner forholdet til:
Vær oppmerksom på at formelen ikke lenger vil være korrekt. I dette tilfellet 2. episode. .
Ligg kun ved projeksjonsplanet og parallelt med projeksjonsplanet
Nehai - projeksjoner av punkter på undergrunnens plan. Til vår vipadka.
La oss tegne en rett linje gjennom punktet. Noen ganger overlapper projeksjonsplanet direkte, og derfor overlapper projeksjonsflaten direkte, ifølge begrepet. La det være i punktet Så, da ligger punktene i samme plan, og siden de er parallelle med projeksjonsplanet, så etter tegnene på parallellitet linjen og planen til sporet, så. Vel, det er et parallellogram. La oss ta en titt på. Luktene er like bak tre sider (- baksiden, som de motsatte sidene av et parallellogram). Det er viktig å merke seg at chotiricutnik er en oppreist kotelett og er eldgammel (langs benet og hypotenusen), og er også moderne på tre sider. Tom v.
For zastosuєmo 1 skriv: , deretter. 3 episoder. .
Ligg kun ved projeksjonsplanet og er ikke parallelle med projeksjonsplanet
La punktet være punktet til tverrstangen til den rette linjen fra projeksjonens plan. Kjære, scho in. For 1. punkt: i. På denne måten benekter vi det 4 episoder. . La oss se på perpendikulærene. La oss ta den minste midten av disse perpendikulærene. La det være vinkelrett. Det kan vise seg å være enten det ene eller det andre. Vi tar uansett alt.
Vi legger til et punkt til et utskjæringspunkt, slik at og et punkt til et utskjæringspunkt, slik at. Dette er mulig, fragmenter av de minste perpendikulære. Kjære, hva er projeksjonen og bak hverdagen. La oss se hva som er likt.
La oss ta en titt på chotirikutnik. Bak sinnet - vinkelrett på ett plan, så, bak teoremet, det. Så, akkurat som hver dag, kan vi bak tegnet til et parallellogram (langs de parallelle og like sider av forlengelsen) plassere det som er et parallellogram. Otje, . Det samme kan sies: Vel, la oss vokse sammen på tre sider. Også.
Respektert, som de motsatte sidene av parallellogrammer, også, for tegnet på parallellisme av fly, . Siden disse planene er parallelle, skapes stanken av samme projeksjonsplan.
For å stramme de fremre leddene: 5 episoder. Projeksjonsområdet overlapper sidene
. La oss ta en rett titt. Luktene er vinkelrett på projeksjonsplanet, derfor, ifølge teoremet, er luktene parallelle. På de parallelle utvekslingene med kolbene, ved punktene, legger vi like kutt på en slik måte at toppunktene ligger i en plan projeksjon. Kjære, hva er projeksjonen og bak hverdagen. La oss vise hva som er eldre.
Så, tross alt, da. Deretter, bak tegnet på et parallellogram (på to like og parallelle sider), - et parallellogram. Det kan forklares på lignende måte – med parallellogrammer. Ale todi, i (som de motsatte sidene), så det samme som de tre sidene. Otje, .
I tillegg, og det, for tegnet på parallellisme av fly. Siden disse planene er parallelle, skapes stanken av samme projeksjonsplan.
For stastosuvannya 4 typer:. scene II
Vi setter sammen en flat rik-kotlett på tricubitules ved hjelp av diagonaler tegnet fra toppen: Så fra forsiden dråper for tricubitules:.
Hva som måtte tas opp. La oss ta en titt på området s og den beveger seg og den går rett . La oss gå EN – Plassen er nok. La oss tegne en rett linje gjennom qiu-punktet og den beveger seg og den går rett . , parallelt med rett linje Krapka . La oss gå kalles projeksjon av et punkt La oss ta en titt på området til leiligheten . med parallell utforming bak en gitt rett linje La oss ta en titt på området Område
Måten punkter i rommet projiseres på kalles projeksjonsplanet.
p – projeksjonsområde;
; ; ;
- Direkte design; ; La oss kalle det en form for parallell design. Ortogonal projeksjon er det samme som parallell projeksjon, der den direkte projeksjonen er vinkelrett på projeksjonsområdet. Den ortogonale utformingen er bredt plassert i en teknisk stol, hvor figuren er utformet på tre plan - horisontal og to vertikale.
Viznachennya:
Ortogonal projeksjon av et punkt M kalles projeksjon av et punkt La oss ta en titt på området kalt basen M 1 vinkelrett MM 1, utelatt fra punktet M kalles projeksjon av et punkt La oss ta en titt på området.
Avtale: , 
, .
Viznachennya: Ortogonal projeksjon av figuren. F kalles projeksjon av et punkt La oss ta en titt på området kalles det ansiktsløse punktet på planet, som også refereres til som ortogonale projeksjoner av det ansiktsløse punktet på figuren F kalles projeksjon av et punkt La oss ta en titt på området.
Ortogonal design, som et resultat av parallell design, har samme kraft:
Måten punkter i rommet projiseres på kalles projeksjonsplanet.
p – projeksjonsområde;
1) ;
2) , .
- Projeksjoner av parallelle rette linjer er parallelle.
PROSJEKSJONSOMRÅDE FIGUROMRÅDE
Teorem: Arealet av projeksjonen av en flat rik-krøll på overflaten er det samme som arealet av den rike snittet som blir projisert, multiplisert med cosinus av snittet mellom området til de rike -kuttet og projeksjonsområdet.
Trinn 1: Figuren som utformes er ABC-trekanten, hvis side AC ligger i projeksjonsplanet a (parallelt med projeksjonsplanet a).
Gitt:
Bringe:
Ferdig:
1. ; ;
2. ; ; ; ;
3. ; 
;
4. I følge teoremet om tre perpendikulære;
ВD - høyde; 1 D - høyde;
5. - lineær kutt av dihedral kutt;
6. ; ; ; 
;
Trinn 2: Elementene som blir designet er ABC-trekanten, som hver side ikke ligger ved projeksjonsplanet og ikke er parallell med det.
Gitt:
Bringe:
Ferdig:
1. ; ;
2. ; ;
4. ; ; ;
(1. trinn);
5. ; ; ;
(1. trinn);
Scene: Figuren er designet - en ganske rik mann.
Ferdig:
Den trikutane er delt med diagonaler trukket fra ett toppunkt, ved endenummeret på trikutane, som teoremet er riktig for. Derfor vil teoremet være sant for summen av arealene til alle trikutane områder, hvis arealer er kombinert med det samme området av projeksjonen.
Respekt: Teoremet har vist seg å være gyldig for enhver flat figur omgitt av en lukket kurve.
Ikke sant:
1. Finn ut arealet av tricubitulen, hvis område er utvidet til området av projeksjonen under kuttet, siden projeksjonen er den riktige tricuputon med side a.
2. Finn ut området til tricupus, hvis plan er utvidet til projeksjonens plan under kuttet, siden projeksjonen er en isosfemoral tricuput med en side på 10 cm og en base på 12 cm.
3. Finn ut området til tricupullen, hvis område er utvidet til projeksjonens plan under kuttet, siden projeksjonen er tricumulus med sider på 9, 10 og 17 cm.
4. Beregn arealet av trapeset, hvis areal er utvidet til projeksjonens plan under kuttet, som er projeksjonen - den isosfemorale trapesen, hvis største base er 44 div, sidesiden er 17 div og diagonalen er 39 div.
5. Beregn projeksjonsområdet til et vanlig sekssnitt med en side på 8 cm, hvis areal er utvidet til projeksjonsområdet under snittet.
6. En rombe med en side på 12 cm og et rundt snitt lages med en gitt snittflate. Beregn arealet av projeksjonen av romben på dette området.
7. En rombe med en side på 20 cm og en diagonal på 32 cm skaper et kutt med samme flathet. Beregn arealet av projeksjonen av romben på dette området.
8. Projeksjonen av baldakinen på horisontalplanet viser endetarmen med sidene i. Finn det overhengende området, siden sideflatene er rette koteletter, som strekker seg til et horisontalt plan under kanten, og den overhengende midtdelen er en firkant, parallelt med projeksjonsplanet.
11. Rett om emnet "Rett og flatt i det åpne rommet":
Sidene på trikubitronen er 20 cm, 65 cm, 75 cm Fra toppen av det større hjørnet av trikubitronen tegnes en vinkelrett på det tredje planet, som er lik 60 cm vinkelrett på den større siden av trikubitronen.
2. Fra punktet som strekker seg bort fra planet i en avstand på cm, ble det utført to reparasjoner for å lage en rett linje mellom flyet og planet. Finn ut hvor du skal stå mellom punktene på tverrstangen til de som ble stjålet fra flyet.
3. Siden av den vanlige tricuten er 12 cm lang Point M er formet på en slik måte at kuttene som forbinder punkt M med toppunktene på tricuen er laget av dens flate form. Finn avstanden fra punkt M til toppene og sidene av trikutniken.
4. Gjennom siden av firkanten tegner du et plan under kanten til diagonalen til firkanten. Finn ut hjørnene der de to sidene av firkanten er flate.
5. Benet av isosfemoral recticutum strekker seg til plan a, som går gjennom hypotenusen, under cutum. Ta med det som er mellom flyet og planet til trikutniken.
6. Den dihedrale ryggen mellom de trikutane slettene АВС og ДВС er eldre. Kjenn til AD, hvor AB = AC = 5 cm, PS = 6 cm, ВD = DC = cm.
Test ernæring om emnet "Rete rom nær vidden"
1. Liste de grunnleggende begrepene for stereometri. Formuler aksiomet for stereometri.
2. Ta med konsekvensene av aksiomet.
3. Hvordan kan de to romlinjene gjengjeldes? Datoene er rette, de beveger seg, de er parallelle, de krysser hverandre.
4. Ta med tegnet av rette linjer for å møtes.
5. Hvordan gjengjeldes rette linjer og plan? Datoer for identifisering av kryss, parallelle linjer og plan.
6. Før tegnet på parallellitet til en rett linje og et plan.
7. Hva er det gjensidige arrangementet av to plan?
8. Datoer for parallelle plan. Ta med parallelliteten til de to planene. Formuler teoremer om parallelle plan.
9. Datoene er forskjellige fra de rette.
10. Før tegnet på perpendikularitet til en rett linje og et plan.
11. Datoer for beregning av perpendikulæren og tilsvarende projeksjon på arealet. Formuler kraften til den perpendikulære og de skjulte, senket ned på planet fra ett punkt.
12. Datoer er merket mellom en rett linje og et plan.
13. Bevis teoremet om tre perpendikulære.
14. Opprinnelsesdatoer for det dihedrale snittet, det lineære snittet til det dihedrale snittet.
15. Sørg for at de to planene er vinkelrette.
16. Datoer for den angitte avstanden mellom to forskjellige punkter.
17. Datoene som er angitt går fra punktet til den rette linjen.
18. De angitte datoene strekker seg fra punktet til flyet.
19. Datoer for å bestemme avstanden mellom en rett linje og dens parallelle plan.
20. Datoer for identifisering av avstanden mellom parallelle plan.
21. Datoer utpekt for posisjonen mellom de rette linjene som skal møtes.
22. Datoer for beregning av ortogonal projeksjon av et punkt på et plan.
23. Datoer for den ortogonale projeksjonen av figuren på planet.
24. Formuler kraften til projeksjon på området.
25. Formuler og bevis et teorem om projeksjonsområdet til en flat rikere kropp.
La meg se på formelen for projeksjonen av ansiktene til et rektangulært tetraeder. Først skal jeg ta en titt på den ortogonale utformingen av seksjonen som ligger i planet α, og se to typer utvidelse av denne seksjonen slik at den er rett l=α∩π.
Vipadok 1.
ABl(Fig. 8). Snitt A 1 B 1 er en ortogonal projeksjon av snitt AB, parallelt og parallelt med snitt AB.
Liten
8
Vipadok 2 CD⊥l (Fig. 8). I følge teoremet om tre perpendikulære er linje C 1 D 1 en ortogonal projeksjon av linje CD, også vinkelrett på linje l. Dessuten er ∠CEC 1 mellom planet α og planprojeksjonen π, da C0D=C1D1
. Tom |C 1 D 1 |=|CD|∙cosφ
Nå skal jeg ta en titt på ernæringen om den ortogonale utformingen av tricutulen.
Ferdig. Arealet av den ortogonale projeksjonen av tricumulus på planet til det opprinnelige tricumulus-området som blir projisert, multipliseres med cosinus til området mellom tricumulus-planet og projeksjonsplanet. Da er høyden på VN vinkelrett på rett linje l, og arealet er lik det.
Projeksjonsområde av tricuputide.
Liten
a) Lag en av sidene, for eksempel AC, av den utformede trekanten ABC parallell med rett linje l=α∩π (fig. 9) eller legg deg på den.
b) En av sidene på den utformede trøyen ABC er ikke parallell med rette linjer l (fig. 10). Jeg vil tegne en rett linje gjennom den kutane toppen av tricubitulen, parallelt med rett l. En av disse rette linjene ligger mellom de to andre (for den lille - dette er den rette linjen m), og deler derfor trekanten ABC i trekantene ABD og ACD med høyder som ligner på ВН og РЄ, tegnet til det samme dorsal side AD (eller dovzhennya), yaka parallell l. Rett linje m 1 - ortogonal projeksjon av rett linje m - deler også tricumulus A 1 B 1 C 1 - ortogonal projeksjon av tricumulus ABC - inn i tricumulus A 1 B 1 D 1 i A 1 C 1 D 1 de. Beruchi inntil respekt (9) og (10), tar jeg bort
Det kan minnes om at avstanden mellom den rette linjen og planet kalles avstanden mellom den gitte rette linjen og projeksjonen på planet (fig. 164).
Teorem. Arealet av den ortogonale projeksjonen av ortocutaneum på planet til det eldgamle området av det ortokutane området, som er projisert, multipliseres med cosinus av kuttet, multiplisert med arealet av det ortokutane området og projeksjonen område.
Kozhen orgatokutnik kan deles inn i trikutniks, hvis område ligner på oregano-området. Så det er nok til å bevise teoremet for tricutniken.
La \(\Delta\)ABC projiseres på planet R. La oss se på to typer:
a) en av sidene \(\Delta\)ABC er parallell med planet R;
b) på begge sider \(\Delta\)ABC er ikke parallell R.
La oss ta en titt første episode: la oss gå [AV] || R.
Tegn gjennom (AB) plan R 1 || Rі er utformet ortogonalt \(\Delta\)ABC på R 1 og videre R(fig. 165); \(\Delta\)АВС 1 і \(\Delta\)АВС er fjernet.
Bak projeksjonsaksen har vi \(\Delta\) ABC 1 \(\cong\) \(\Delta\) ABC, og så
S\(\Delta\)ABC1 = S\(\Delta\)ABC
La oss utføre ⊥ og seksjon D 1 C 1. Todi ⊥ , a \(\widehat(CD_(1)C_(1))\) = φ er verdien av cutoff mellom planet \(\Delta\) ABC og planet R 1 . Tom
S (Delta) ABC1 = 1 / 2 | AB | |C1D1 | = 1 / 2 | AB | |CD 1 | cos φ = S \(\Delta\)ABC cos φ
og derfor S (Delta) A B = C = S \ (Delta) ABC cos φ.
La oss gå videre til anmeldelsen en annen fyr. La oss bære ut området R 1 || R gjennom det toppunktet \(\Delta\)ABC, stå derfra til planet R naymenshe (la oss ikke være topp A).
Vi designer \(\Delta\)ABC på en leilighet R 1 i R(fig. 166); La projeksjonene hans være nøyaktig \(\Delta\)AB 1 C 1 og \(\Delta\)ABC.
Nehai (VS) \(\cap \) La oss ta en titt på området 1 = D. Todi
S \(\Delta\)A B=C = S \(\Delta\)AB1 C1 = S \(\Delta\)ADC1 - S \(\Delta\)ADB1 = (S \(\Delta\) ADC - S \(\Delta\)ADB) cos φ = S \(\Delta\)ABC cos φ
Zavdannya. Gjennom bunnen av det vanlige trikutane prismet trekkes et plan under kuttet φ = 30° til bunnen. Finn ut området av kuttet, som er siden av bunnen av prismet EN= 6 div.
Det er tenkelig å skjære gjennom dette prismet (fig. 167). Fragmentene av prismet er korrekte, og sideribbene er vinkelrett på grunnplanet. Dessuten er \(\Delta\)ABC en projeksjon av \(\Delta\)ADC, så
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(S_(\Delta ABC))(cos\phi) = \frac(a\cdot a\sqrt3)(4cos\phi) $$
ellers
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(6\cdot 6\cdot \sqrt3)(4\cdot\frac(\sqrt3)(2)) = 18 (cm^2) $$
GEOMETRI
Leksjonsplaner for 10. klasse
Leksjon 56
Emne. Området for den ortogonale projeksjonen av algene
Meta til leksjonen: lære teoremet om området for den ortogonale projeksjonen av den ortogonale kroppen, og danner elevenes evne til å formulere det lærte teoremet av høyeste orden.
Utstyr: stereometrisk skriving, kubemodell.
Leksjonsfremgang
JEG. Sjekker leksene dine
1. To elever lager løsninger på oppgave nr. 42, 45 i førskolen.
2. Frontal forberedelse.
1) Gi en strek mellom de to leilighetene som er i bevegelse.
2) Hvorfor ligner dette på:
a) parallelle plan;
b) vinkelrette plan?
3) Ved hvilke grenser kan du skifte mellom to sletter?
4) Er det riktig at et plan som renner over parallelle plan, renner over dem under de samme kantene?
5) Er det riktig at planet som krysser de perpendikulære planene krysser dem under de samme kantene?
3. Kontrollere riktigheten av løsningen av oppgaver nr. 42, 45, slik de ble gjort på skolen.
II. Hold deg oppdatert med nytt materiale
Zavdannya uchnyam
1. Beregn at arealet av projeksjonen av tricupus, hvis ene side er plassert ved projeksjonsplanet, er det samme som cosinus til tricumulus-området og projeksjonsplanet.
2. Utvikle et teorem for konklusjonen om at det finnes en tricuputin, hvor den ene siden er parallell med projeksjonsplanet.
3. Utvikle et teorem for konklusjonen om at gitterverket er en tricuputon, og hver side ikke er parallell med projeksjonsplanet.
4. Bevis teoremet for enhver rik-kjøler.
Versjon av oppgaver
1. Finn arealet av den ortogonale projeksjonen av ortocutaneum, hvis areal er 50 cm2, og området mellom arealet av ortocutaneum og dens projeksjon er 60°.
2. Finn ut arealet til den ortogonale koteletten, siden arealet av den ortogonale projeksjonen til denne rike koteletten er lik 50 cm2, og mellom arealet til den rike koteletten og dens projeksjon er lik 45° .
3. Arealet av den ortogonale projeksjonen er 64 cm2, og arealet til den ortogonale projeksjonen er 32 cm2. Finn ut hvor du skal gå mellom slettene i frukthagen og dens projeksjon.
4. Hvordan kan arealet av den ortogonale projeksjonen av den ortogonale halsen sammenlignes med arealet av den ortogonale halsen?
5. Kanten på kuben er gammel en. Finn området av kuben kuttet med et plan som går gjennom toppen av basen under kuttet 30° til denne basen og krysser alle sideribbene. (Video.)
6. Zavdannya nr. 48 (1, 3) fra assistenten (s. 58).
7. Zavdannya nr. 49(2) fra assistenten (s. 58).
8. Sidene av den ortokutane planten blir 20 og 25 cm. Dens projeksjon på overflaten ligner den andre. Finn omkretsen av projeksjonen. (Vide 72 cm eller 90 cm.)
III. Oppussing
§4, paragraf 34; ernæringskontroll nr. 17; Oppgaver nr. 48 (2), 49 (1) (s. 58).
IV. Legg til vesken til leksjonen
Måltider før timen
1) Formuler et teorem om arealet av den ortogonale projeksjonen av algene.
2) Hvordan kan arealet av den ortogonale projeksjonen av den rike koteletten være større enn arealet til den rike koteletten?
3) Gjennom hypotenusen AB til rektum tricutulum ABC trekkes et plan under snittet 45° til planet til tricucutineum og et vinkelrett CO på planet. AC = 3 cm, ND = 4 cm Angi hvilke punkter som er riktige og hvilke som er feil:
a) mellom flyene АВС og α prevnya kutu СМО, hvor punktet Н er grunnlaget for høyden til CM til ABC-tricuputin;
b) CO = 2,4 cm;
c) tricutulum AOS er en ortogonal projeksjon av tricutulum ABC på planet α;
d) arealet til trikuben AOB er 3 cm2.
(Verb. a) Riktig; b) feil; c) feil; d) riktig.)
Vantaged...