Elips

Ellips. Fokus. Rivnyannia elips. Fokusvisning.

Flott er den lille ellipseaksen. Eksentrisitet. Rivnyannia

dotic til ellipse. Umovs torsjonsrette linje og ellipse.

Elipsom (Figur 1 ) kalles et geometrisk sted for punkter, summen av et antall på opptil to gitte punkter F 1 i F 2 triks elіpsa, є konstant verdi.

Rivnyannya elipsa (Figur 1):

Her cob av koordinaterє midten av symmetrien til elipene, EN koordinataksene er symmetriaksene. Påen > btriks av ellipsen å ligge på akselen ÅH (fig. 1), med en< b triks av ellipsen å ligge på akselen Pro Y, og når en= belіps staє kolo(foci av ellipsen i hvilken retning løper rundt midten av staven). på en slik måte, kolo є okremy vipadok elipsa .

Vіdrіzok F 1 F 2 = 2 h, de , kalt brennvidde . VіdrіzokAB = 2 enkalt stort slør av ellipse , men vіdrіzok CD = 2 b – liten vekt ellipsa . Antalle = c / en , e < 1 называется eksentrisitet ellipsa .

Kom igjen R(X 1 , på 1 ) er poenget med elіps, todiutjevning av dothic til ellipse V

Inngang

Tidligere ble kurver av en annen orden vridd av en av Platons lære. Yogo-robot stakk i offensiven: hvis du tar to rette linjer, som er sammenflettet, og vikler dem rundt kutens bisectrix, etablert av dem, så er weide en konisk overflate. Hvis du velter overflaten med en flat overflate, vises forskjellige geometriske figurer i omkretsen, og ellipsen, colo, parabel, hyperbel og brisling av virogene figurer.

Imidlertid visste vitenskapelig kunnskap mindre på 1600-tallet, hvis det ble kjent at planetene kollapset i elliptiske baner, og et harmonisk prosjektil ville fly i en parabolsk. Det ble enda verre å vite at hvis du gir kroppen den første kosmiske sikkerheten, vil den kollapse på en påle nær Jorden, med en økning i tettheten av sikkerheten - langs ellipsen, og hvis den når en annen kosmisk sikkerhet, kroppen langs parabelen jordens tyngdefelt.

Elіps ta yogo rivnyannia

Utnevnelse 1. Ellipse er et navnløst punkt på planet, summen av det totale antallet punkter i huden av opptil to gitte punkter, kalt foci, er en konstant verdi.

Fociene til ellipsen er angitt med bokstaver og mellom foci - gjennom, og summen av foci mellom foci av ellipsen til foci - gjennom. Dessuten, 2a > 2c.

Den kanoniske utjevningen av ellipsen kan se ut:

de pov'yazanі mіzh i vіvnіstyu a 2 + b 2 \u003d c 2 (eller b 2 - a 2 \u003d c 2).

Størrelsen kalles den store vekten, og den lille vekten av ellipsen.

Betegnelse 2. Eksentrisitet ellipsen kalles overgangen mellom brennpunktene frem til den gamle storaksen.

Det er betegnet med et brev.

Skår for utnevnelsene 2a>2c, eksentrisiteten uttrykkes alltid som en egenbrøk, altså. .

Krapki F 1 (–c, 0) det F 2 (c, 0), som kalles ellipsetriks for hvilken verdi 2 c betyr interfokal visning .

Krapki EN 1 (–EN, 0), EN 2 (EN, 0), På 1 (0, –b), B 2 (0, b) er kalt ellipsetopper (Mal. 9.2), mens EN 1 EN 2 = 2EN Jeg gjør hele ellipsen flott, og På 1 På 2 - liten, - midten av ellipsen.

De viktigste parametrene til ellipsen, som karakteriserer yogaformen:

ε = h/en – ellipse eksentrisitet ;

– brennradius av ellipsen (flekk M ligge på en elіpsu), dessuten r 1 = en + εx, r 2 = en – εx;

– directrix elipsa .

Det er sant for ellipsen: regissører velter ikke kordonen og den indre delen av ellipsen, men svinger også kraften

Ellipsens eksentrisitet trekker verden sammen.

Yakscho b > en> 0, så gis ellips til lik (9,7)

Todi 2 EN- liten vekt, 2 b- flott alt, - fokus (Fig. 9.3). Med hvem r 1 + r 2 = 2b,
ε = c/b, styremedlemmer utnevnes som likeverdige:

For sinnet, maєmo (ved synet av ellips, okremy ellips) nær radius R = en. Med hvem h= 0, senere, ε = 0.

Prikkene på ellipsen kan være karakteristisk kraft : summen av avstandene fra huden til brennpunktene er konstant, lik 2 EN(Fig. 9.2).

Til parametrisk oppgave elіps (formel (9.7)) t kan tas verdien av kuta mellom radiusvektoren til punktet, som ligger på ellipsen, og den positive direkte aksen Okse:

Hvis midten av ellipsen er plassert på samme sted, kan det samme sees:

eksempel 1. Ta med utjevningen av ellipsen x 2 + 4y 2 \u003d 16 til det kanoniske utseendet og verdien av yogo-parametere. Tegn en elips.

Løsning. La oss dele elven x 2 + 4y 2 \u003d 16 av 16, hvoretter vi tar:

Ved synet av en take-off utjevning, er det mulig å fastslå at den kanoniske utjevningen av ellipsen (formel (9.7)), de EN= 4 - flotte pіvvіs, b= 2 - små pіvvіs. Så, hjørnene til ellipsen er punkter EN 1 (–4, 0), EN 2 (4, 0), B 1 (0, –2), B 2(0,2). Skår er halvparten av den interfokale linjen, deretter er punktene ellipsens brennpunkter. Beregn eksentrisiteten:

Rektor D 1 , D 2 er beskrevet av likeverdige:

Ellipsen vises (fig. 9.4).

rumpe 2. Finn parametrene til ellips

Løsning. Det er lik kirkejusteringen med den kanoniske justeringen av ellipsen med erstatningssenteret. Vi kjenner midten av elipene Z: Store pіvvіs små pіvvіs rette linjer - hovedakse Halvparten av interfokalpunktet, og derfor fokuserer Eksentrisitetsretningslinjen D 1 i D 2 kan beskrives for ytterligere hjelp (fig. 9.5).

eksempel 3. Angi hvordan kurven er gitt til like, avbilde den:

1) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0; 2) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 6 = 0;

3) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0; 4) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 17 = 0;

Løsning. 1) La oss bringe det opp til den kanoniske formen ved å se det absolutte kvadratet til binomialet:

x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0;

(x 2 + 4x) + (y 2 – 2y) + 4 = 0;

(x 2 + 4x + 4) – 4 + (y 2 – 2y + 1) – 1 + 4 = 0;

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

I denne rangeringen kan jevnhet bringes i tankene

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Innrettingen av staven med midten ved punktet (–2, 1) og radius R= 1 (fig. 9.6).

2) Vi ser de samme kvadratene av binomialene i venstre del av like og allmektig:

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = –1.

Det er ingen mening med de upersonlige reelle tallene, skårene i venstre del er ikke-negative for noen reelle verdier av endringen xі y, Og rettigheter - negativ. For ham ser det ut til at hensikten med den "klare staken" ellers setter det tomme meningsløse punktet på flyet.

3) Vi ser de samme rutene:

x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0;

(x 2 – 2x + 1) – 1 + 4(y 2 + 4y + 4) – 16 + 1 = 0;

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 – 16 = 0;

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 16.

Otzhe, lik kan jeg se ut:

Otrimane rivnyannya, otzhe, og på slutten av dagen spør en elips. Sentrum av ellipsen er plassert ved punktet Pro 1 (1, –2), er hovedakser gitt ved like y = –2, x= 1, dessuten er pivvis stor EN= 4, små pіvvіs b= 2 (fig. 9.7).

4) Etter å ha sett de siste rutene, kanskje:

(x – 1) 2 + 4(y+ 2) 2 - 17 + 17 = 0 eller ( x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 0.

Otriman-utjevning setter et enkelt punkt i planet med koordinater (1, -2).

5) La oss ta det opp til det kanoniske utseendet:

Det er åpenbart bestemt av elipsene, hvis senter er plassert ved punktet av hodeaksen er gitt av like, og jo større er jo mindre jo mindre (fig. 9.8).

rumpe 4. Skriv justeringen av prikken til staven med radius 2 med midten i høyre fokus av ellipsen x 2 + 4y 2 \u003d 4 ved punktet av linjen fra hele ordinaten.

Løsning. Justeringen av ellipsen bringes til den kanoniske formen (9.7):

Otzhe, og høyre fokus - Tom, shukane lik stake med radius 2 kan se ut (fig. 9.9):

Omkretsen endrer alle ordinatene ved punktene, hvis koordinater er bestemt fra utjevningssystemet:

Vi tar:

La meg ha noen flekker N(0; -1) det M(0; 1). Otzhe, du kan pobuduvat to dotichni, betydelig їх T 1 i T 2. Bak vіdomoyu kraft dotichna er vinkelrett på radius trukket til punktet av dotik.

La meg gjøre det igjen T 1 i fremtiden ser jeg:

mener, eller T 1: Vono er mer lik enn lik

Tilsetting 7.1. Mange av alle punkter på planet, for enhver sum av opptil to faste punkter F 1 og F 2 є er det gitt en konstant verdi, kalt ellipse.

Betegnelsen på ellipsen gir en slik måte for yoga geometrisk inspirasjon. Den er festet på planet til to punkter F 1 og F 2 og den umerkelige konstantverdien er signifikant gjennom 2a. La oss flytte mellom punktene F1 og F2 til 2c. Det er åpenbart at den ustrakte tråden med en dobbel 2a er festet til punktene F 1 og F 2, for eksempel bak ved hjelp av to hoder. Det gikk opp for meg at det er mulig mindre for ≥ s. Etter å ha trukket tråden med en oliven, krysset vi linjen, som om det var en ellipse (fig. 7.1).

Otzhe, multiplikatoren er ikke tom, yakscho a ≥ s. Når en \u003d elips є vіdrіzok z kіntsami F 1 og F 2, og når c \u003d 0, da. der de faste punktene er festet til den angitte ellipsen, er vin nær radius a. Tatt i betraktning at det er virogener om høsten, må vi gjøre en gjetning, lyd som > z > 0.

Festepunktene F 1 og F 2 i utpekte 7.1-ellipser (div. Fig. 7.1) kalles ellipsetriks, mellom dem, markert gjennom 2c, - Brennpunkt og pilene F 1 M og F 2 M, som nær nok punktet M på ellipsen med dens brennpunkter, - fokale radier.

Å se elіpsa er mer sannsynlig å være fokuspunktet | F 1 F 2 | \u003d 2 med і parameter a, som en posisjon på planet - et par punkter F 1 і F 2 .

Betegnelsen på ellipsen er en linje, som er symmetrisk og skal være rett, som skal gå gjennom brennpunktene F 1 og F 2, og også skal være rett, for å dele armene F 1 F 2 navp_l og er vinkelrett på yoma (fig. 7.2 a). Qi direkte navn ellipse akser. Pek O їх tverrstangen є midten av symmetrien til ellipsen, og її call midten av ellipsen, Og punktene på ellipsens linje med symmetriaksene (punktene A, B, C og D i fig. 7.2, a) - ellipsetopper.

Nevn et nummer stor pіvvіssyu elіps, og b = √(a 2 - c 2) - yoga liten pіvvіssyu. Det er ikke viktig å merke seg at for c>0 er avstanden mellom sentrum av ellipsen og de stille hjørnene stor, siden de er på samme akse med ellipsens brennpunkter (hjørnepunktene A og B i fig. 7.2 a) ), og avstanden mellom ellipsen og ellipsens senter er liten id elipsens senter til to andre hjørner (hjørnepunktene C og D i fig. 7.2, a).

Rivnyannia elips. La oss se på den flate ellipsen med foci i punktene F 1 og F 2 på den store himmelen 2a. Kom igjen 2c - brennvidde, 2c = | F1F2 |

Vi velger et rektangulært koordinatsystem Oxy på planet slik at cob spivpav іz midten av elipsene, og fociene var på abscisse akse(Fig. 7.2, b). Dette koordinatsystemet kalles kanonisk for den analyserte ellipsen, og de andre endringene - kanonisk.

For det valgte koordinatsystemet kan fokus være koordinatene F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Vikoristovuyuchi formel vіdstanі mіzh poeng, skriv ned sinn | F 1 M | + | F 2 M | = 2a i koordinater:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Tsіvnyannya er ikke praktisk, til at det er to firkantede radikaler i den nye. Derfor, la oss gjøre yoga. Overføring til lik (7.2) en annen radikal y til høyre del og stjerne y kvadrat:

(x - c) 2 + y2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y2.

Etter å ha åpnet baugen og bringe lignende dodankіv otrimuєemo

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

de ε = c/a. Vi gjentar kvadreringsoperasjonen for å ta i et annet radikal: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2 eller, endre verdien av den introduserte parameteren ε, (a 2 - c 2) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. Skilki a 2 - c 2 \u003d b 2\u003e 0, deretter

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Justering (7.4) tilfredsstiller koordinatene til alle punktene som ligger på ellipsen. Ale, når man utledet den seirende utjevningen, var det ikke-ekvivalente permutasjoner av den ytre utjevningen (7.2) - to kvadratiske lenker, som tar kvadratiske radikaler. Enhetene er lik kvadratet є ekvivalent med transformasjonene, slik at verdiene i begge deler av den står med samme tegn, de endret ikke alkymien i transformasjonene.

Vi kan ikke overtenke ekvivalensen av transformasjonen, som om den var feil. Par med punkt F 1 og F 2 | F 1 F 2 | \u003d 2c, flyene definerer en familie av ellipser med foci på disse punktene. Hudpunktet på flyet, krympepunktet til vіrіzka F 1 F 2 ligge ned be-like elіpsuen til den utpekte familien. Til enhver tid overlapper ikke to ellipser, skårene av summen av fokale radier indikerer entydig en spesifikk elipse. Senere beskrives en familie av ellipser uten brodannelse, som dekker hele området, crimson prikk F1F2. La oss se på de upersonlige punktene, hvis koordinater tilfredsstiller justeringen (7.4) med verdiene til parameteren a. Hva kan mye rozpodіlyatisya blant kіlkom elipsami? En del av poengene til multiplikatoren ligger på elіpsuen med den store pіvvіssya a. La det være et poeng på denne mangfoldet, som ligger på ellipsen fra den store pivvissya. Da er koordinatene til punktene underordnet like

tobto. ekvivalens (7.4) og (7.5) kan ha store avgjørelser. Det er imidlertid lett å bli forvirret over at systemet

for ã ≠ a er det ingen løsning. For hvem det er tilstrekkelig å inkludere for eksempel x fra den første like:

scho etter omarbeidet for å få opp like

kan ikke ta en avgjørelse når ã ≠ a, skår. Også (7.4) utjevning av ellipsen med den store pіvvіssyu a > 0 og den lille pіvvіssyu b = √ (a 2 - c 2) > 0. til elipsens kanoniske like.

Ellipse anmeldelse. Den mer geometriske måten å se ellipsen på gir tilstrekkelig bevis på ellipsens vakre utseende. Men arten av ellips kan bekreftes ved hjelp av yogos kanoniske ekvivalens (7.4). For eksempel kan du, med tanke på y ≥ 0, se gjennom x: y \u003d b√ (1 - x 2 / a 2), i, etter å ha fulgt denne funksjonen, indusere її graf. Det er en annen måte å indusere en elipsa på. En søyle med radius a med senter på kobben til det kanoniske koordinatsystemet til ellipsen (7.4) er beskrevet med likhetene x 2 + y 2 = a 2 . Hvordan її klemme med a / b koeffisient > 1 vzdovzh ordinatakser, vei deretter en kurve, som beskrevet ved lik x 2 + (ya/b) 2 = a 2 og elips.

Respekt 7.1. Hvordan klemmer du samme mengde med a/b-koeffisienten

Ellipse eksentrisitet. Forlengelsen av brennvidden til ellipsen til storaksen kalles ellipse eksentrisitet og angi med ε. For ellipsen gitt

kanoniske likheter (7,4), ε = 2c/2a = с/a. Hvordan (7.4) parametrene a og b er relatert til inkonsistensen til a

Med c = 0, hvis elіps forvandles til en sirkel, er i ε = 0. I andre tilfeller 0

Ligning (7.3) tilsvarer lik (7.4), skår tilsvarer lik (7.4) og (7.2) . Elipsa er lik det (7.3). I tillegg, spіvvіdnoshennia (7.3) cіkave tim, scho gir en enkel, ikke hevn radikaler, formel for dozhini | F 2 M | en av fokalradiene til punktet M(x; y) til ellipsen: | F 2 M | = a + εx.

En lignende formel for en annen brennradius er at den kan tas bort fra symmetrien til repetisjonene av innleggene, der den første radikalen overføres til høyre side av ligningen (7.2) og ikke den andre. Også for ethvert punkt M(x; y) på elіpsі (div. Fig. 7.2)

|F 1 M | = a - εx, | F 2 M | = a + εx, (7,6)

og hud fra tsikh rivnyan є ellipse lik.

Eksempel 7.1. Vi kjenner den kanoniske justeringen av ellipsen med den store pіvvіssyu 5 og eksentrisiteten på 0,8 og vil være yogo.

Når vi kjenner de store pіvvіs elіps a = 5 og eksentrisiteten ε = 0,8, kjenner vi de små pіvvіs b. Oskіlki b \u003d √ (a 2 - s 2), og s \u003d εa \u003d 4, deretter b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Det betyr at kanonisk lik kan se x 2 / 5 2 + y 2 / 3 2 \u003d 1. For å lage en ellipse, tegn manuelt et rektangel med senteret på kolben til det kanoniske koordinatsystemet, hvis sider er parallelle med symmetriaksene til ellipsen og er på linje med den samme akser (fig. 7.4). Tsei rectocart fikser med

ellips-akser ved sine toppunkter A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), dessuten har ellipsen selv oppføringer ved ny. På fig. 7.4 indikerte også foci F 1.2 (±4; 0) ellipser.

Geometrisk kraft til ellipsen. La oss omskrive tidligere lik (7.6) med tanke på |F 1 M| = (а/ε - x)ε. Betydelig at verdien av a / ε - x for a > h er positiv, men fokus F 1 ligger ikke i en ellipse. Tsya-verdien є til den vertikale rette linjen d: x \u003d a / ε i punktet M (x; y), som skal ligge til venstre i retning av den rette linjen. Rivnyannya elіpsa kan skrives ved synet

|F1M|/(a/e - x) = e

Det betyr at denne elіpsen er foldet fra stille punkter M(x; y) i planet, for hvilke utvidelsen av fokalradiusen F 1 M til en rett linje d er en konstant verdi, lik ε (fig. 7.5).

Den rette linjen d є "dvіynik" er en vertikal linje d, symmetrisk til d som midten av ellipsen, slik at x = -a / ε er gitt lik. Lovbrudd rett d og d navn ellipse regissører. Ellipsens retninger er vinkelrett på ellipsens symmetriakse, på de foldede brennpunktene, og står i midten av ellipsen på avstanden a/ε = a 2 /c (div. Fig. 7.5).

Vіdstan p vіd retningslinje til det nærmeste fokuset hennes kalles brennparameter for elips. Denne parameteren er dyrere

p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c

Elіps har enda en viktig geometrisk kraft: fokalradiene F 1 M og F 2 M summeres fra prikk til elіpsu ved punktet M lik cuti (fig. 7.6).

Tsya vlastіvіst maє naochny fіzichny zmіst. Hvis fokuset til F 1 har en skjerping av lyset, vil promin, som er å gå ut av det andre fokuset, etter å ha truffet ellipsen langs en annen brennradius, så etter å ha slått seieren, vil vi endre det samme snittet til kurven, deretter til treffet cha. På denne måten blir alle endringene som kommer ut av fokus F 1 konsentrert i et annet fokus F 2 og på samme måte. Fra denne tolkningen er myndighetene tildelt navn optisk kraft av ellipsen.

Kanonisk lik ellips kan se ut

de a - stor pіvvіs; b - små pіvvіs. Punktene F1(c,0) og F2(-c,0) − c kalles

a, b – pivos elips.

Znahodzhennya foci, eksentrisitet, rektor elіpsa, yakshcho yogo kanonisk lik.

Utnevnelse av hyperbole. Fokus på hyperbole.

Avtale. Hyperbole kalles et upersonlig punkt på planet, hvor forskjellsmodulen er lik to gitte punkter, kalt foci, og verdien er konstant, mindre enn forskjellen mellom foci.

For avtaler | r1 - r2 | = 2a. F1, F2 - foci av hyperbelen. F1F2 = 2c.

Kanonisk utjevning av hyperbole. Drikker av hyperbole. Pobudovs hyperbole, som i huset til її kanonisk likhet.

Kanonisk justering:

Flott pіvvіs hyperbel å bli halvparten av minimumsavstanden mellom to hyperboler, på de positive og negative sidene av aksen (venstrehendt og høyrehendt langs cob av koordinater). For en roztashovanoy på den positive siden, pіvvіs darіvnyuvatime:

Som en måte å se gjennom slutten av linjen og eksentrisiteten, så vil jeg se det i fremtiden:

Betydningen av foci, eksentrisitet, retning av hyperbole, da det ser ut til å være kanonisk likt.

Eksentrisitet av hyperbole

Avtale. Det kalles eksentrisiteten til hyperbole, de

halvparten av dem er mellom fokus, og - diysna pivvіs.

Ser tilbake på disse c2 - a2 = b2:

Hvis a = b, e = så kalles hyperbolen lik (liksidig).

Kataloger over hyperbole

Avtale. To rette linjer, vinkelrett på den fissiske aksen til hyperbolen og symmetrisk symmetrisk til midten på fremre a/e av øyet, kalles hyperbolens direktører. Їx lik: .

Teorem. Hvis r skal bevege seg fra det utbredte punktet M i hyperbolen til et hvilket som helst fokus, er d å flytte fra det samme punktet til det direkte fokuset til retningslinjen, så er r / d - verdien blitt lik eksentrisiteten.

Betegnelse på en parabel. Fokus og parabelretning.

Parabel. En parabel er et geometrisk adskilt punkt, hvis hud er den samme i avstand fra et gitt fast punkt og fra en gitt fast rett linje. Krapka, om hvordan man skal gå med den utnevnte, kalles parabelens fokus, og rett - rektor.

Kanonisk utjevning av parablen. parabolsk parameter. Pobudova-parabler.

Den kanoniske justeringen av en parabel i et rektangulært koordinatsystem: (eller husk aksene med månene).

Pobudovs parabler for den gitte verdien av parameteren p vinner i startsekvensen:

Utfør all symmetrien til parablen og legg den til den nye viklingen KF=p;

Gjennom punktet K, vinkelrett på symmetriaksen, tegner du retningslinjen DD1;

Vіdrіzok KF dele navpіl otrimuyut toppen av parabelen 0;

Ved toppunktet er et antall ekstra punkter 1, 2, 3, 5, 6 synlige, mellom dem, som øker gradvis;

Gjennom qi-punkter trekker du ytterligere rette linjer vinkelrett på parabelens akse;

På flere rette linjer, slip hakkene med en radius lik linjen i den rette linjen til regissøren;

Ta bort punktene med en jevn kurve.