Натуральні числа. Ряд натуральних чисел Усі натуральні числа

Натуральні числа - одне з найстаріших математичних понять.

У далекому минулому люди не знали чисел і, коли їм потрібно було перерахувати предмети (тварини, рибу тощо), вони робили це не так, як ми зараз.

Кількість предметів порівнювали з частинами тіла, наприклад, з пальцями на руці і казали: "У мене стільки ж горіхів, скільки пальців на руці".

Згодом люди зрозуміли, що п'ять горіхів, п'ять кіз і п'ять зайців мають загальну властивість — їх кількість дорівнює п'яти.

Запам'ятайте!

Натуральні числа- Це числа, починаючи з 1, одержувані при рахунку предметів.

1, 2, 3, 4, 5…

Найменше натуральне число — 1 .

Найбільшого натурального числане існує.

При рахунку нуль не використовується. Тому нуль не вважається натуральним числом.

Записувати числа люди навчилися набагато пізніше, ніж рахувати. Раніше вони стали зображати одиницю однією паличкою, потім двома паличками — число 2 , трьома — число 3 .

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Потім з'явилися й спеціальні знаки для позначення чисел — попередники сучасних цифр. Цифри, якими ми користуємося для запису чисел, народилися в Індії приблизно 1500 років тому. До Європи їх привезли араби, тому їх називають арабськими цифрами.

Усього цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . За допомогою цих цифр можна записати будь-яке натуральне число.

Запам'ятайте!

Натуральний ряд- Це послідовність всіх натуральних чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

У натуральному ряду кожне число більше від попереднього на 1 .

Натуральний ряд нескінченний, найбільшого натурального числа в ньому немає.

Систему рахунку (числення), яку ми користуємося, називають десяткової позиційної.

Десяткою тому, що 10 одиниць кожного розряду утворюють 1 одиницю старшого розряду. Позиційної тому, що значення цифри залежить від її місця у записі числа, тобто від розряду, у якому вона записана.

Важливо!

Наступні за мільярдом класи названі відповідно до латинських найменувань чисел. Кожна наступна одиниця містить тисячу попередніх.

• 1 000 мільярдів = 1 000 000 000 000 = 1 трильйон («три» - латиною «три»)
• 1 000 трильйонів = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадрильйон ("квадра" - латиною "чотири")
• 1 000 квадрильйонів = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квінтильйон («квінта» — латиною «п'ять»)

Однак, фізики знайшли число, яке перевищує кількість всіх атомів (найдрібніших частинок речовини) у всьому Всесвіті.

Це число отримало спеціальну назву. гугол. Гугол — число, яке має 100 нулів.

Історія натуральних чисел почалася ще за первісних часів.З давніх-давен люди вважали предмети. Наприклад, у торгівлі потрібен був рахунок товару або у будівництві рахунок матеріалу. Та навіть у побуті теж доводилося рахувати речі, продукти, худобу. Спочатку числа використовувалися лише підрахунку у житті, практично, але надалі у розвитку математики стали частиною науки.

Натуральні числа- Це числа які ми використовуємо при рахунку предметів.

Наприклад: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ….

Нуль не відноситься до натуральних чисел.

Усі натуральні числа або назвемо множину натуральних чисел позначається символом N.

Таблиця натуральних чисел.

Натуральний ряд.

Натуральні числа, записані поспіль у порядку зростання, утворюють натуральний рядабо ряд натуральних чисел.

Властивості натурального ряду:

• Найменше натуральне число – одиниця.
• У натурального ряду таке число більше попереднього на одиницю. (1, 2, 3, …) Три точки чи трикрапки ставляться у разі, якщо закінчити послідовність чисел неможливо.
• Натуральний ряд немає найбільшого числа, він нескінченний.

Приклад №1:
Напишіть перші 5 натуральних числа.
Рішення:
Натуральні числа починаються з одиниці.
1, 2, 3, 4, 5

Приклад №2:
Нуль є натуральним числом?
Відповідь: ні.

Приклад №3:
Яке перше число у натуральному ряду?
Відповідь: натуральний ряд починається з одиниці.

Приклад №4:
Яке останнє число у натуральному ряді? Назвіть найбільше натуральне число?
Відповідь: Натуральний ряд починається з одиниці. Кожне наступне число більше за попереднє на одиницю, тому останнього числа не існує. Найбільшого числа немає.

Приклад №5:
Чи має одиниця в натуральному ряду попереднє число?
Відповідь: ні, тому що одиниця є першим числом у натуральному ряду.

Приклад №6:
Назвіть таке число в натуральному ряду за числами: а)5, б)67, в)9998.
Відповідь: а)6, б)68, в)9999.

Приклад №7:
Скільки чисел знаходиться у натуральному ряду між числами: а)1 та 5, б)14 та 19.
Рішення:
а) 1, 2, 3, 4, 5 – три числа перебувають між числами 1 та 5.
б) 14, 15, 16, 17, 18, 19 – чотири числа перебувають між числами 14 та 19.

Приклад №8:
Назвіть попереднє число за числом 11.
Відповідь: 10.

Приклад №9:
Які числа застосовуються за рахунку предметів?
Відповідь: натуральні числа.

Навігація по сторінці:

Визначення. Натуральні числа- Це числа, які використовуються для рахунку: 1, 2, 3, …, n, …

Безліч натуральних чисел прийнято позначати символом N(Від лат. naturalis- природний).

Натуральні числа в десятковій системі числення записуються за допомогою десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Безліч натуральних чисел - є впорядкованою безліччю, тобто. для будь-яких натуральних чисел m і n справедливе одне із співвідношень:

• або m = n (m і n ),
• або m > n (m більше n),
• або m< n (m меньше n ).

• Найменше натуральночисло - одиниця (1 )
• Найбільшого натурального числа немає.
• Нуль (0) не є натуральним числом.

З сусідніх натуральних чисел, число, яке стоїть ліворуч від числа n називається попереднім числу n, а число, яке стоїть правіше називається наступним за n.

Операції над натуральними числами

До замкнутих операцій над натуральними числами (операцій в результаті яких виходить натуральних чисел) відносяться такі арифметичні операції:

• Додавання
• множення
• Зведення в ступінь a b , де a - основа ступеня і b - показник ступеня. Якщо основа і показник - натуральні числа, то результат буде натуральним числом.

Додатково розглядають ще дві операції. З формальної погляду вони є операціями над натуральними числами, оскільки їх результат який завжди буде натуральним числом.

• Віднімання(При цьому Зменшуване має бути більше віднімається)
• Поділ

Класи та розряди

Розряд – положення (позиція) цифри у записі числа.

Нижчий розряд - найправіший. Старший розряд – найлівіший.

Приклад:

5 - одиниць, 0 - десятків, 7 - сотень,
2 - тисячі, 4 - десятків тисяч, 8 - сотень тисяч,
3 – мільйони, 5 – десятків мільйонів, 1 – сотня мільйонів

Для зручності читання, натуральні числа розбивають, на групи по три цифри в кожній починаючи праворуч.

Клас- Група з трьох цифр, на який розбито число, починаючи праворуч. Останній клас може складатися із трьох, двох або однієї цифри.

• Перший клас – клас одиниць;
• Другий клас – клас тисяч;
• Третій клас – клас мільйонів;
• Четвертий клас – клас мільярдів;
• П'ятий клас – клас трильйонів;
• Шостий клас – клас квадрильйонів (квадрильйонів);
• Сьомий клас – клас квінтильйонів (квінтильйонів);
• Восьмий клас – клас секстильйонів;
• Дев'ятий клас – клас септильйонів;

Приклад:

34 - мільярди 456 мільйонів 196 тисяч 45

Порівняння натуральних чисел

1. Порівняння натуральних чисел із різною кількістю цифр

   Серед натуральних чисел більше, у якого більше цифр

2. Порівняння натуральних чисел з рівною кількістю цифр

   Порівняти числа порозрядно, починаючи зі старшого розряду. Більше того, у якого більше одиниць у найвищому однойменному розряді

Приклад:

3466 346 - так як число 3466 складається з 4 цифр, а число 346 з 3 цифр.

34666 < 245784 - так як число 34666 складається з 5 цифр, а число 245784 із 6 цифр.

Приклад:

346 667 670 52 6 986

346 667 670 56 9 429

Друге з натуральних чисел із рівною кількістю цифр більше, тому що 6 > 2.

Визначення

Натуральними числаминазиваються числа, що використовуються за рахунку або для вказівки порядкового номера предмета серед однорідних предметів.

Наприклад.Натуральними будуть такі числа: $2,37,145,1059,24411$

Натуральні числа, записані порядку зростання, утворюють числовий ряд. Він починається з найменшого числа 1. Безліч всіх натуральних чисел позначають $N=\(1,2,3, \dots n, \ldots\)$. Воно нескінченне, оскільки немає найбільшого натурального числа. Якщо до будь-якого натурального числа додати одиницю, то отримуємо натуральне число, наступне за цим числом.

приклад

Завдання.Які з таких чисел є натуральними?

$$-89; 7; \frac(4)(3); 34; 2; 11; 3,2; \ sqrt (129); \sqrt(5)$$

Відповідь. $7 ; 34 ; 2 ; 11$

На безлічі натуральних чисел вводиться дві основні арифметичні операції - складання та множення. Для позначення цих операцій використовуються відповідно символи " + " і " " (або " × " ).

Додавання натуральних чисел

Кожній парі натуральних чисел $n$ і $m$ ставиться у відповідність натуральне число $s$, що називається сумою. Сума $s$ складається з стільки одиниць, скільки їх міститься в числах $n$ і $m$. Про кількість $s$ кажуть, що вона отримана в результаті складання чисел $n$ і $m$, і пишуть

Числа $n$ і $m$ називаються при цьому доданками. Операція складання натуральних чисел має такі властивості:

1. Комутативність: $n+m=m+n$
2. Асоціативність: $(n+m)+k=n+(m+k)$

Докладніше про складання чисел читайте за посиланням.

приклад

Завдання.Знайти суму чисел:

$13+9 \quad$ і $ \quad 27+(3+72)$

Рішення. $13+9=22$

Для обчислення другої суми, для спрощення обчислень, застосуємо до неї спочатку властивість асоціативності складання:

$$27+(3+72)=(27+3)+72=30+72=102$$

Відповідь.$13+9=22 \quad;\quad 27+(3+72)=102$

Примноження натуральних чисел

Кожній упорядкованій парі натуральних чисел $n$ і $m$ ставиться у відповідність натуральне число $r$, що називається їх твором. Твір $r$ містить стільки одиниць, скільки їх міститься в числі $n$, взятих стільки разів, скільки одиниць міститься в числі $m$. Про число $r$ кажуть, що воно отримано в результаті множення чисел $n$ і $m$, і пишуть

$n \cdot m=r \quad $ або $ \quad n \times m=r$

Числа $n$ і $m$ називаються множниками чи співмножниками.

Операція множення натуральних чисел має такі властивості:

1. Комутативність: $n \cdot m=m \cdot n$
2. Асоціативність: $(n \ cdot m) \ cdot k = n \ cdot (m \ cdot k) $

Докладніше про множення чисел читайте за посиланням.

приклад

Завдання.Знайти добуток чисел:

12$\cdot 3 \quad $ і $ \quad 7 \cdot 25 \cdot 4$

Рішення.За визначенням операції множення:

$$12 \cdot 3=12+12+12=36$$

До другого твору застосуємо якість асоціативності множення:

$$7 \cdot 25 \cdot 4=7 \cdot(25 \cdot 4)=7 \cdot 100=700$$

Відповідь.$12 \cdot 3=36 \quad;\quad 7 \cdot 25 \cdot 4=700$

Операція додавання та множення натуральних чисел пов'язані законом дистрибутивності множення щодо додавання:

$$(n+m) \cdot k=n \cdot k+m \cdot k$$

Сума і добуток будь-яких двох натуральних чисел завжди є числом натуральним, тому безліч усіх натуральних чисел замкнута щодо операцій складання та множення.

Також на безлічі натуральних чисел можна запровадити операції віднімання і розподілу , як операції зворотні до операцій складання і множення відповідно. Але ці операції не будуть однозначно визначені для будь-якої пари натуральних чисел.

Властивість асоціативності множення натуральних чисел дозволяє ввести поняття натурального ступеня натурального числа: $n$-им ступенем натурального числа $m$ називається натуральне число $k$, отримане в результаті множення числа $m$ самого на себе $n$ разів:

Для позначення $n$-го ступеня числа $m$ зазвичай використовується запис: $m^(n)$, у якому число $m$ називається підставою ступеня, а число $n$ - показником ступеня.

приклад

Завдання.Знайти значення виразу $2^(5)$

Рішення.За визначенням натурального ступеня натурального числа цей вираз можна записати так

$$2^(5)=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=32$$

У математиці існує кілька різних множин чисел: дійсні, комплексні, цілі, раціональні, ірраціональні, … повсякденному життіми найчастіше використовуємо натуральні числа, тому що ми стикаємося з ними за рахунку та пошуку, позначення кількості предметів.

Вконтакте

Які числа називаються натуральними

З десяти цифр можна записати абсолютно будь-яку суму класів і розрядів. Натуральними значеннями вважаються ті, які використовуються:

• За рахунку будь-яких предметів (перший, другий, третій, … п'ятий, … десятий).
• При позначенні кількості предметів (один, два, три…)

N значення завжди цілі та позитивні. Найбільшого N немає, оскільки безліч цілих значень не обмежена.

Увага!Натуральні числа виходять за рахунку предметів або за позначення їх кількості.

Абсолютно будь-яке число може бути розкладене та представлене у вигляді розрядних доданків, наприклад: 8.346.809=8 мільйонів+346 тисяч+809 одиниць.

Безліч N

Безліч N знаходиться у множині дійсних, цілих та позитивних. На схемі множин вони перебували одне в одному, оскільки безліч натуральних є частиною.

Безліч натуральних чисел позначається буквою N. Ця множина має початок, але не має кінця.

Ще існує розширена множина N, де включається нуль.

Найменше натуральне число

У більшості математичних шкіл найменшим значенням N вважається одиниця, Оскільки відсутність предметів вважається порожнечею.

Але в іноземних математичних школах, наприклад, у французькій, вважається натуральним. Наявність у ряді нуля полегшує підтвердження деяких теорем.

Ряд значень N, що включає нуль, називається розширеним і позначається символом N0 (нульовий індекс).

Ряд натуральних чисел

N ряд – це послідовність усіх N сукупностей цифр. Ця послідовність немає кінця.

Особливість натурального ряду полягає в тому, що наступне число відрізнятиметься на одиницю від попереднього, тобто зростатиме. Але значення не можуть бути негативними.

Увага!Для зручності рахунку існують класи та розряди:

• Одиниці (1, 2, 3),
• Десятки (10, 20, 30),
• Сотні (100, 200, 300),
• Тисячі (1000, 2000, 3000),
• Десятки тисяч (30.000),
• Сотні тисяч (800.000),
• Мільйони (4000000) і т.д.

Усі N

Усі N перебувають у багатьох дійсних, цілих, неотрицательных значень. Вони є їх складовою.

Ці значення йдуть у нескінченність, можуть належати класам мільйонів, мільярдів, квінтильйонів тощо.

Наприклад:

• П'ять яблук, три кошеня,
• Десять рублів, тридцять олівців,
• Сто кілограмів, триста книг,
• Мільйон зірок, три мільйони людей і т.д.

Послідовність N

У різних математичних школах можна зустріти два інтервали, яким належить послідовність N:

від нуля до плюс нескінченності, включаючи кінці, і від одиниці до плюс нескінченності, включаючи кінці, тобто все позитивні цілі відповіді.

N сукупності цифр може бути як парними, і парними. Розглянемо поняття непарності.

Непарні (будь-які непарні закінчуються на цифри 1, 3, 5, 7, 9.) при двох мають залишок. Наприклад, 7:2 = 3,5, 11:2 = 5,5, 23:2 = 11,5.

Що означає парні N

Будь-які парні суми класів закінчуються на цифри: 0, 2, 4, 6, 8. При поділі парних N на 2 залишку не буде, тобто в результаті виходить ціла відповідь. Наприклад, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

Важливо!Числовий ряд з N не може складатися тільки з парних чи непарних значень, оскільки вони повинні чергуватись: за парним завжди йде непарне, за ним знову парне і т.д.

Властивості N

Як і всі інші множини, N мають свої власні, особливі властивості. Розглянемо властивості N низки (не розширеного).

• Значення, яке є найменшим і яке не слідує ні за яким іншим – це одиниця.
• N є послідовністю, тобто одне натуральне значення слід за іншим(крім одиниці – воно перше).
• Коли ми робимо обчислювальні операції над N сумами розрядів і класів (складаємо, множимо), то у відповіді завжди виходить натуральнезначення.
• При обчисленнях можна використовувати перестановку та поєднання.
• Кожне наступне значення не може бути меншим за попереднє. Також у N ряді діятиме такий закон: якщо число А менше, то в числовому ряді завжди знайдеться С, для якого справедлива рівність: А+С=В.
• Якщо взяти два натуральні вирази, наприклад А і В, то для них буде справедливо один з виразів: А = В, А більше, А менше В.
• Якщо менше В, а менше З, то звідси випливає, що А менше.
• Якщо А менше, то слід, що: якщо додати до них один і той же вираз (С), то А + С менше В + С. Також справедливо, якщо ці значення помножити на З, то АС менше АВ.
• Якщо більше А, але менше З, то справедливо: В-А менше С-А.

Увага!Усі перераховані вище нерівності дійсні й у зворотному напрямку.

Як називаються компоненти множення

У багатьох простих і навіть складних завданнях знаходження відповіді залежить від уміння школярів.

Для того, щоб швидко і правильно множити та вміти вирішувати обернені завдання, необхідно знати компоненти множення.

15. 10 = 150. У даному виразі 15 та 10 є множниками, а 150 – твором.

Множення має властивості, які необхідні при розв'язанні задач, рівнянь та нерівностей:

• Від перестановки множників кінцевий твір не зміниться.
• Щоб знайти невідомий множник, треба твір розділити на відомий множник (справедливо всім множників).

Наприклад: 15 . Х = 150. Розділимо твір на відомий множник. 150: 15 = 10. Зробимо перевірку. 15 . 10 = 150. За таким принципом вирішуються навіть складні лінійні рівняння(якщо спростити їх).

Важливо!Твір може складатися не лише з двох множників. Наприклад: 840 = 2 . 5. 7. 3. 4

Що таке натуральні числа у математиці?

Розряди та класи натуральних чисел

Висновок

Підведемо підсумки. N використовуються при рахунку чи позначенні кількості предметів. Ряд натуральних сукупностей цифр нескінченний, але він включає лише цілі і позитивні суми розрядів і класів. Примноження теж необхідне для того, щоб рахувати предмети, а також для вирішення завдань, рівнянь та різних нерівностей.