Чи можна описати коло біля трапеції. Властивості трапеції. Властивості прямокутної трапеції

"ЗАТВЕРДЖУЮ"

Керівник окремої дисципліни

(математика, інформатика та ІКТ)

Ю. В. Крилова _____________

«___» _____________ 2015 р.

« Трапеція та її властивості»

Методична розробка

викладача математики

Шаталіною Олени Дмитрівни

Розглянуто та

на засіданні ПМО від _______________

Протокол №______

Москва

2015 рік

Зміст

Вступ 2

Визначення 3

Властивості рівнобедреної трапеції 4

Вписані та описані кола 7

Властивості вписаних та описаних трапецій 8

Середні величини у трапеції 12

Властивості довільної трапеції 15

Ознаки трапеції 18

Додаткові побудови у трапеції 20

Площа трапеції 25

10. Висновок

Список використаної літератури

додаток

Докази деяких властивостей трапеції 27

Завдання для самостійних робіт

Завдання на тему «Трапеція» підвищеної складності

Перевірочний тест на тему «Трапеція»

Вступ

Ця робота присвячена геометричній фігурі, яка називається трапеція. "Звичайна фігура", - скажете ви, але це не так. Вона таїть у собі багато таємниць і загадок, якщо придивитися і заглибитись у її вивчення, то ви відкриєте для себе багато нового у світі геометрії, завдання, які раніше не вирішувалися, здадуться вам легкими.

Трапеція - грецьк. слово trapezion - "столик". запозичень. у 18 ст. із лат. яз., де trapezion - грец. Це чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні. Трапеція зустрічається вперше у давньогрецького вченого Посидонія (2 століття е.). У нашому житті багато різних постатей. У 7 класі ми близько познайомилися із трикутником, у 8 класі за шкільною програмою ми почали вивчати трапецію. Ця постать зацікавила нас, а в підручнику недозволено мало про неї написано. Тому ми вирішили взяти цю справу до рук і знайти інформацію про трапецію. її властивості.

Діяльність розглядаються властивості знайомі вихованкам по пройденому матеріалу у підручнику, але більшою мірою невідомі властивості, які необхідні вирішення складних завдань. Чим більша кількість розв'язуваних завдань, тим більше питань виникає при вирішенні їх. Відповіддю ці запитання іноді здається таємницею, дізнаваючись, нові властивості трапеції, незвичайні прийоми вирішення завдань, і навіть техніку додаткових побудов, ми поступово відкриваємо таємниці трапеції. В інтернеті, якщо забити в пошуковій системі, про методи вирішення завдань на тему «трапеція» дуже мало літератури. У процесі роботи над проектом знайдено великий обсяг інформації, яка допоможе вихованкам у глибокому вивченні геометрії.

Трапеція.

Визначення

Трапеція - Чотирикутник, у якого тільки одна пара сторін паралельна (а інша пара сторін не паралельна).

Паралельні сторони трапеції називаютьсяосновами. Інші дві - бічні сторони .
Якщо бічні сторони рівні, трапеція називаєтьсярівнобедреної.

Трапеція, яка має прямі кути при бічній стороні, називаєтьсяпрямокутної.

Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін, називаєтьсясередньою лінією трапеції.

Відстань між основами називається висотою трапеції.

2 . Властивості рівнобедреної трапеції

3. Діагоналі рівнобедреної трапеції рівні.

4

1
0. Проекція бічної сторони рівнобедреної трапеції на більшу основу дорівнює напіврізності основ, а проекція діагоналі дорівнює по сумі основ.

3. Вписане та описане коло

Якщо сума підстав трапеції дорівнює сумі бічних сторін, то неї можна вписати окружність.

Е
Якщо трапеція рівнобедрена, то біля неї можна описати коло.

4 . Властивості вписаних та описаних трапецій

2.Якщо в рівнобедрену трапецію можна вписати коло, то

сума довжин основ дорівнює сумі довжин бічних сторін. Отже, довжина збоку дорівнює довжині середньої лінії трапеції.

4 . Якщо в трапецію вписано коло, то бічні сторони її центру видно під кутом 90°.

Якщо в трапецію вписано коло, яке стосується однієї з бічних сторін, розбиває її на відрізки mта n , тоді радіус вписаного кола дорівнює середньому геометричному цих відрізків.

1

0 . Якщо коло побудована на меншій підставі трапеції як на діаметрі, проходить через середини діагоналей і стосується нижньої основи, то кути трапеції 30°, 30°, 150°, 150°.

5. Середні величини у трапеції

Середнє геометричне

У будь-якій трапеції з основами a і b для a > bсправедлива нерівність :

b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

6. Властивості довільної трапеції

1
. Середини діагоналей трапеції та середини бічних сторін лежать на одній прямій.

Точка перетину продовження бічних сторін довільної трапеції, точка перетину її діагоналей та середин основ лежать на одній прямій.

6. Сума квадратів діагоналей довільної трапеції дорівнює сумі квадратів бічних сторін, складеної з подвоєним добутком підстав.

d 1 2 + d 2 2 = c 2 + d 2 + 2 ab

7
. У прямокутній трапеції різниця квадратів діагоналей дорівнює різниці квадратів основ d 1 2 - d 2 2 = a 2 – b 2

8 . Прямі сторони кута, що перетинають, відсікають від сторін кута пропорційні відрізки.

9. Відрізок, паралельний основам і проходить через точку перетину діагоналей, ділиться останньою навпіл.

7 . Ознаки трапеції

8 . Додаткові побудови у трапеції

1. Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін – середня лінія трапеції.

2
. Відрізок, паралельний одній із бічних сторін трапеції, один кінець якого збігається з серединою іншої бічної сторони, інший належить прямий, що містить основу.

3
. Якщо дані всі сторони трапеції, через вершину меншої основи проводиться пряма, паралельна бічній стороні. Виходить трикутник зі сторонами, рівними бічним сторонам трапеції та різниці підстав. За формулою Герона знаходять площу трикутника, потім висоту трикутника, що дорівнює висоті трапеції.

4

. Висота рівнобедреної трапеції, проведена з вершини меншої основи, розбиває більшу основу на відрізки, один з яких дорівнює напіврізності основ, а інший напівсумі основ трапеції, тобто середньої лінії трапеції.

5. Висоти трапеції, опущені з вершин однієї основи, висікають на прямий, що містить іншу основу, відрізок, що дорівнює першій основі.

6
. Відрізок, паралельний одній з діагоналей трапеції, проводиться через вершину – точку, що є кінцем іншої діагоналі. В результаті виходить трикутник з двома сторонами, рівними діагоналям трапеції, і третій - рівної сумі підстав

7
. Відрізок, що з'єднує середини діагоналей, дорівнює напіврізниці основ трапеції.

8. Бісектриси кутів, що належать до однієї з бічних сторін трапеції, вони перпендикулярні і перетинаються в точці, що лежить на середній лінії трапеції, тобто при їх перетині утворюється прямокутний трикутник з гіпотенузою, що дорівнює бічній стороні.

9. Бісектриса кута трапеції відсікає рівнобедрений трикутник.

1
0. Діагоналі довільної трапеції при перетині утворюють два подібні трикутники з коефіцієнтом подібності, рівним відношенню основ, і два рівновеликі трикутники, що прилягають до бокових сторін.

1
1. Діагоналі довільної трапеції при перетині утворюють два подібні трикутники з коефіцієнтом подібності, рівним відношенню основ, і два рівновеликі трикутники, що належать до бокових сторін.

1
2 . Продовження бічних сторін трапеції до перетину дозволяє розглядати подібні трикутники.

13. Якщо в рівнобедрену трапецію вписано коло, то проводять висоту трапеції - середнє геометричне твори основ трапеції або подвоєне середнє геометричне твори відрізків збоку, на які вона ділиться точкою торкання.

9. Площа трапеції

1 . Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми підстав на висоту S = ½( a + b) hабо

П

кінь трапеції дорівнює добутку середньої лінії трапеції на висоту S = m h .

2. Площа трапеції дорівнює добутку бічної сторони та перпендикуляра, проведеного з середини іншої бічної сторони до прямої, що містить першу бічну сторону.

Площа рівнобедреної трапеції з радіусом вписаного кола рівним rта кутом при основіα :

10. Висновок

ДЕ, ЯК І ДЛЯ ЧОГО ВИКОРИСТОВУЮТЬСЯ ТРАПЕЦІЯ?

Трапеція у спорті: Трапеція – безумовно прогресивний винахід людства. Вона призначена для того, щоб розвантажити наші руки, зробити ходіння на віндсерфері комфортним та легким відпочинком. Ходіння на короткій дошці взагалі не має сенсу без трапеції, оскільки без неї неможливо правильно розподілити потяг між степсом та ногами та ефективно розігнатися.

Трапеція в моді: Трапеція в одязі була популярна ще в середні віки, романську епоху IX-XI ст. У той період основу жіночого одягу складали туніки в підлогу, до низу туніка сильно розширювалася, що створювало ефект трапеції. Відродження силуету відбулося 1961-го року і стало гімном молодості, незалежності та витонченості. Величезну роль популяризації трапеції зіграла тендітна модель Леслі Хорнбі, відома, як Твигги. Невисока дівчинка з анорексічною статурою та величезними очима стала символом епохи, а її улюбленими вбраннями були короткі сукні трапеції.

Трапеція у природі: трапеція зустрічається й у природі. У людини є трапецієподібний м'яз, у деяких людей обличчя має форму трапеції. Пелюстки квітів, сузір'я, і, звичайно ж, вулкан Кіліманджаро теж мають форму трапеції.

Трапеція в побуті: Трапеція використовується і в побуті, тому її форма практична. Вона зустрічається у таких предметах як: ковш екскаватора, стіл, гвинт, машина.

Трапеція – символ архітектури інків. Домінуюча стилістична форма в архітектурі інків проста, але витончена – це трапеція. Вона має як функціональне значення, а й суворо обмежене художнє оформлення. Трапецієподібні дверні отвори, вікна і стінні ніші знайдені в будівлях всіх типів, і в храмах і в менш значних будівлях грубіших, якщо можна так висловитися, спорудах. Трапеція трапляється і в сучасній архітектурі. Ця форма будівель є незвичайною, тому такі будівлі завжди притягують погляди перехожих.

Трапеція в техніці: Трапеція використовується при конструюванні деталей у космічних технологіях та авіації. Наприклад, деякі сонячні батареї космічних станцій мають форму трапеції так як мають велику площу, значить накопичують більше сонячної енергії.

У 21 першому столітті люди вже практично не замислюються про значення геометричних фігур у їхньому житті. Їх зовсім не хвилює якоїсь форми у них стіл, окуляри або телефон. Вони просто вибирають ту форму, яка практична. Але саме від форми тієї чи іншої речі може залежати використання предмета, його призначення результат роботи. Сьогодні ми познайомили вас з одним із найбільших досягнень людства- з трапецією. Ми прочинили вам двері в дивовижний світ фігур, розповіли вам таємниці трапеції і показали, що геометрія навколо нас.

Список використаної літератури

Болотов А.А., Прохоренко В.І., Сафонов В.Ф., Математика Теорія та Завдання. Книга 1 Навчальний посібник для абітурієнтів М.1998 Видавництво МЕІ.

Биков А.А, Малишев Г.Ю., ГУВШ факультету довузівської підготовки. Математика. Навчально-методичний посібник 4 частина М2004

Гордін Р.К. Планіметрія. Задачник.

Іванов А.А.,. Іванов А.П, Математика: Посібник для підготовки до ЄДІ та вступу до вузів-М: Видавництво МФТІ, 2003-288с. ISBN 5-89155-188-3

Піголкіна Т.С, Міністерство освіти і науки РФ федеральний державний бюджетний навчальний заклад додаткової освіти дітей «ЗФТШ Московського фізико-технічного інституту (державного університету)». Математика. Планіметрія. Завдання №2 для 10-их класів (2012-2013 навчальний рік).

Піголкіна Т.С., Планіметрія (частина1).Матиматична Енциклопедія Абітурієнта. М., видавництво російського відкритого університету 1992 року.

Шаригін І.Ф.Вибрані завдання з геометрії конкурсних іспитів до ВНЗ (1987-1990) Львів Журнал «Квантор» 1991.

Енциклопедія "Аванта плюс", Математика М., Світ енциклопедій Аванта 2009.

додаток

1.Доказ деяких властивостей трапеції.

1. Пряма, що проходить через точку перетину діагоналей трапеції паралельно до її підстав, перетинає бічні сторони трапеції в точкахK і L . Довести, що якщо основи трапеції рівні а і b , то довжина відрізка KL дорівнює середньому геометричному основ трапеції. Доведення

НехайПро - точка перетину діагоналей,AD = а, НД = b . Пряма KL паралельна до основиAD , отже,K Про║ AD , трикутникиУ K Про іBAD подібні, тому

(1)

(2)

Підставимо (2) в (1) , отримаємо KO =

Аналогічно LO= Тоді K L = KO + LO =

У про всяку трапецію середини основ, точка перетину діагоналей і точка перетину продовження бічних сторін лежать на одній прямій.

Доказ: Нехай продовження бічних сторін перетинаються у точціДо. Через точкуДо і точкуПро перетину діагоналейпроведемо пряму КО.

K

Вкажемо, що ця пряма поділяє підстави навпіл.

Про бачимоВМ = х, МС = у, AN = і, ND = v . Маємо:

∆ ВКМ ~ ∆AKN →

M

x

B

C

Y

Розглянемо кілька напрямів розв'язання завдань, у яких трапеція вписана в коло.

Коли трапецію можна вписати в коло? Чотирьохкутник можна вписати в коло тоді і лише тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює 180º. Звідси слідує що вписати в коло можна лише рівнобічну трапецію.

Радіус кола, описаного біля трапеції, можна знайти як радіус кола, описаного біля одного з двох трикутників, на які трапецію ділить її діагональ.

Де знаходиться центр кола, описаного біля трапеції? Це залежить від кута між діагоналлю трапеції та її бічною стороною.

Якщо діагональ трапеції перпендикулярна її бічній стороні, то центр кола, описаного біля трапеції, лежить на середині її більшої основи. Радіус описаної при трапеції кола в цьому випадку дорівнює половині її більшої основи:

Якщо діагональ трапеції утворює збоку гострий кут, центр кола, описаної біля трапеції лежить усередині трапеції.

Якщо діагональ трапеції утворює збоку тупий кут, центр описаної біля трапеції кола лежить поза трапецією, за великою основою.

Радіус описаної біля трапеції кола можна визначити по слідству з теореми синусів. З трикутника ACD

З трикутника ABC

Інший варіант знайти радіус описаного кола

Синуси кута D та кута CAD можна знайти, наприклад, із прямокутних трикутників CFD та ACF:

При вирішенні завдань на трапецію, вписану в коло, можна також використовувати те, що вписаний кут дорівнює половині відповідного центрального кута. Наприклад,

До речі, використовувати кути COD та CAD можна і для знаходження площі трапеції. За формулою знаходження площі чотирикутника через його діагоналі

\[(\Large(\text(Довільна трапеція)))\]

Визначення

Трапеція - це опуклий чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не паралельні.

Паралельні сторони трапеції називаються її основами, а дві інші – бічними сторонами.

Висота трапеції – це перпендикуляр, опущений з будь-якої точки однієї основи до іншої основи.

Теореми: властивості трапеції

1) Сума кутів при боці дорівнює \(180^\circ\) .

2) Діагоналі ділять трапецію на чотири трикутники, два з яких подібні, а два інші – рівновеликі.

Доведення

1) Т.к. \(AD\parallel BC\) , то кути \(\angle BAD\) і \(\angle ABC\) – односторонні при цих прямих і січній \(AB\) , отже, \(\angle BAD +\angle ABC=180^\circ\).

2) Т.к. \(AD\parallel BC\) і \(BD\) - січна, то \(\angle DBC=\angle BDA\) як навхрест лежать.
Також (angle BOC = angle AOD) як вертикальні.
Отже, по двох кутах \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).

Доведемо, що \(S_(\triangle AOB)=S_(\triangle COD)\). Нехай (h) - висота трапеції. Тоді \(S_(\triangle ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\triangle ACD)\). Тоді: \

Визначення

Середня лінія трапеції – відрізок, що з'єднує середини бічних сторін.

Теорема

Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.

Доведення*

1) Доведемо паралельність.

Проведемо через точку \(M\) пряму \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\)). Тоді за теоремою Фалеса (т.к. \(MN"\parallel AD\parallel BC, AM=MB\)) точка \(N"\) - середина відрізка \(CD\) . Значить, точки \(N\) і \(N"\) збігатимуться.

2) Доведемо формулу.

Проведемо \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Нехай \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Тоді за теоремою Фалеса \(M"\) та \(N"\) - середини відрізків \(BB"\) та \(CC"\) відповідно. Значить, \(MM"\) - середня лінія \(\triangle ABB"\), \(NN"\) - середня лінія \(\triangle DCC"\). Тому: \

Т.к. \(MN\parallel AD\parallel BC\)і \(BB", CC"\perp AD\) , то \(B"M"N"C"\) та \(BM"N"C\) - прямокутники. За теоремою Фалеса з \(MN\parallel AD\) і \(AM=MB\) випливає, що \(B"M"=M"B\) . і \(BM"N"C\) – рівні прямокутники, отже, \(M"N"=B"C"=BC\) .

Таким чином:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: властивість довільної трапеції

Середини основ, точка перетину діагоналей трапеції та точка перетину продовжень бічних сторін лежать на одній прямій.

Доведення*
З доказом рекомендується ознайомитись після вивчення теми “Подібність трикутників”.

1) Доведемо, що точки \(P\), \(N\) і \(M\) лежать на одній прямій.

Проведемо пряму \(PN\) (\(P\) - точка перетину продовжень бічних сторін, \(N\) - середина \(BC\)). Нехай вона перетне бік \(AD\) у точці \(M\) . Доведемо, що (M) - середина (AD).

Розглянемо \(\triangle BPN\) та \(\triangle APM\) . Вони подібні за двома кутами (\(\angle APM\) - загальний, \(\angle PAM=\angle PBN\) як відповідні при \(AD\parallel BC\) і \(AB\) січній). Значить: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Розглянемо \(\triangle CPN\) та \(\triangle DPM\) . Вони подібні за двома кутами (\(\angle DPM\) - загальний, \(\angle PDM=\angle PCN\) як відповідні при \(AD\parallel BC\) і \(CD\) січній). Значить: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Звідси \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Але \(BN=NC\), отже, \(AM=DM\).

2) Доведемо, що точки (N, O, M) лежать на одній прямій.

Нехай \(N\) - середина \(BC\), \(O\) - точка перетину діагоналей. Проведемо пряму \(NO\), вона перетне бік \(AD\) у точці \(M\). Доведемо, що (M) - середина (AD).

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\)по двох кутах (\(\angle OBN=\angle ODM\) як навхрест що лежать при \(BC\parallel AD\) і \(BD\) січній; \(\angle BON=\angle DOM\) як вертикальні). Значить: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Аналогічно \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). Значить: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Звідси \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Але \(BN=CN\), отже, \(AM=MD\).

\[(\Large(\text(Рівностегнова трапеція)))\]

Визначення

Трапеція називається прямокутною, якщо один із її кутів – прямий.

Трапеція називається рівнобедреною, якщо її бічні сторони рівні.

Теореми: властивості рівнобедреної трапеції

1) У рівнобедреної трапеції кути при основі рівні.

2) Діагоналі рівнобедреної трапеції рівні.

3) Два трикутники, утворені діагоналями та основою, є рівнобедреними.

Доведення

1) Розглянемо рівнобедрену трапецію (ABCD).

З вершин (B) і (C) опустимо на сторону (AD) перпендикуляри (BM) і (CN) відповідно. Оскільки \(BMperp AD\) і \(CNperp AD\) , то \(BMparallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , тоді \(MBCN\) - паралелограм, отже, \(BM = CN\) .

Розглянемо прямокутні трикутники \(ABM\) та \(CDN\). Оскільки вони рівні гіпотенузи і катет \(BM\) дорівнює катету \(CN\) , ці трикутники рівні, отже, \(\angle DAB = \angle CDA\) .

2)

Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\)- загальна, то за першою ознакою. Отже, (AC = BD).

3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\), \(\angle BDA=\angle CAD\) . Отже, трикутник (triangle AOD) - рівнобедрений. Аналогічно доводиться, що і (triangle BOC) - рівнобедрений.

Теореми: ознаки рівнобедреної трапеції

1) Якщо в трапеції кути при підставі рівні, вона рівнобедренная.

2) Якщо у трапеції діагоналі рівні, вона рівнобедренная.

Доведення

Розглянемо трапецію \(ABCD\), таку що \(\angle A = \angle D\).

Добудуємо трапецію до трикутника (AED) як показано на малюнку. Оскільки \(\angle 1 = \angle 2\), то трикутник \(AED\) рівнобедрений і \(AE = ED\). Кути \(1\) і \(3\) рівні як відповідні при паралельних прямих \(AD\) і \(BC\) та січній \(AB\) . Аналогічно рівні кути \(2\) і \(4\) , але \(\angle 1 = \angle 2\) тоді \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\)отже, трикутник \(BEC\) теж рівнобедрений і \(BE = EC\) .

В підсумку \(AB = AE - BE = DE - CE = CD \), тобто \(AB = CD\) , Що і потрібно довести.

2) Нехай (AC = BD). Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\), то позначимо їхній коефіцієнт подібності за \(k\) . Тоді якщо (BO = x), то (OD = kx). Аналогічно (CO = y Rightarrow AO = ky) .

Т.к. \(AC=BD\) , \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Значить \(\triangle AOD\) - рівнобедрений і \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Таким чином, за першою ознакою \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\)- загальна). Значить, (AB = CD), чтд.

У цій статті ми намагатимемося наскільки можна повно відобразити властивості трапеції. Зокрема, йтиметься про загальні ознаки та властивості трапеції, а також про властивості вписаної трапеції та про коло, вписане в трапецію. Зачепимо ми і властивості рівнобедреної та прямокутної трапеції.

Приклад розв'язання задачі з використанням розглянутих властивостей допоможе вам розкласти по місцях у голові та краще запам'ятати матеріал.

Трапеція і все-все-все

Для початку коротко згадаємо, що таке трапеція і які поняття з нею пов'язані.

Отже, трапеція – фігура-чотирикутник, дві із сторін якої паралельні одна одній (це підстави). І дві не паралельні – це бічні сторони.

У трапеції може бути опущена висота – перпендикуляр до основ. Проведено середню лінію та діагоналі. А також з будь-якого кута трапеції можна провести бісектрису.

Про різні властивості, пов'язані з усіма цими елементами та їх комбінаціями, ми зараз і поговоримо.

Властивості діагоналей трапеції

Щоб було зрозуміліше, поки читаєте, накидайте собі на аркуші трапецію АКМЕ і проведіть у ній діагоналі.

1. Якщо ви знайдете середини кожної з діагоналей (позначимо ці точки Х і Т) і з'єднайте їх, вийде відрізок. Одна з властивостей діагоналей трапеції полягає в тому, що ХТ лежить на середній лінії. А його довжину можна отримавши, розділивши різницю підстав на дві: ХТ = (a – b)/2.
2. Перед нами та сама трапеція АКМЕ. Діагоналі перетинаються в точці О. Розгляньмо трикутники АОЕ і МОК, утворені відрізками діагоналей разом з основами трапеції. Ці трикутники – подібні. Коефіцієнт подібності k трикутників виражається через відношення основ трапеції: k = АЕ/КМ.
   Відношення площ трикутників АОЕ та МОК описується коефіцієнтом k 2 .
3. Все та ж трапеція, ті ж діагоналі, що перетинаються в точці О. Тільки цього разу ми розглядатимемо трикутники, які відрізки діагоналей утворили спільно з бічними сторонами трапеції. Площі трикутників АКО та ЕМО є рівновеликими – їхні площі однакові.
4. Ще одна властивість трапеції включає побудову діагоналей. Так, якщо продовжити бічні сторони АК і МЕ в напрямку меншої основи, то рано чи пізно вони перетнуться до певної точки. Далі, через середини основ трапеції проведемо пряму. Вона перетинає основи у точках Х і Т.
   Якщо ми тепер продовжимо пряму ХТ, вона разом з'єднає точку перетину діагоналей трапеції О, точку, у якій перетинаються продовження бічних сторін і середини підстав Х і Т.
5. Через точку перетину діагоналей проведемо відрізок, який з'єднає основи трапеції (Т лежить на меншій підставі КМ, Х – на більшому АЕ). Точка перетину діагоналей ділить цей відрізок у наступному співвідношенні: ТО/ОХ = КМ/АЕ.
6. А тепер через точку перетину діагоналей проведемо паралельний основам трапеції (a та b) відрізок. Точка перетину розділить його на дві рівні частини. Знайти довжину відрізка можна за формулою 2ab/(a + b).

Властивості середньої лінії трапеції

Середню лінію проведіть у трапеції паралельно до її підстав.

1. Довжину середньої лінії трапеції можна обчислити, якщо скласти довжини основ і розділити їх навпіл: m = (a + b)/2.
2. Якщо провести через обидві підстави трапецію будь-який відрізок (висота, наприклад), середня лінія розділить його на дві рівні частини.

Властивість бісектриси трапеції

Виберіть будь-який кут трапеції та проведіть бісектрису. Візьмемо, наприклад, кут КАЄ нашої трапеції АКМЕ. Виконавши побудову самостійно, ви легко переконаєтеся - бісектриса відсікається від основи (або його продовження на прямій за межами самої фігури) відрізок такої ж довжини, що й бічна сторона.

Властивості кутів трапеції

1. Яку б із двох пар прилеглих до бічної сторони кутів ви не вибрали, сума кутів у парі завжди становить 180 0: α + β = 180 0 і γ + δ = 180 0 .
2. З'єднаємо середини основ трапеції відрізком ТХ. Тепер подивимося на кути при основах трапеції. Якщо сума кутів при будь-якому з них становить 90 0 довжину відрізка ТХ легко обчислити виходячи з різниці довжин підстав, розділеної навпіл: ТХ = (АЕ - КМ) / 2.
3. Якщо через сторони кута трапеції провести паралельні прямі, розділять сторони кута на пропорційні відрізки.

Властивості рівнобедреної (рівнобічної) трапеції

1. У рівнобедреній трапеції рівні кути при будь-якій підставі.
2. Тепер знову збудуйте трапецію, щоб простіше було уявити, про що йдеться. Подивіться уважно на основу АЕ – вершина протилежної основи М проектується на якусь точку на прямій, яка містить АЕ. Відстань від вершини А до точки проекції вершини М та середня лінія рівнобедреної трапеції – рівні.
3. Кілька слів про властивість діагоналей рівнобедреної трапеції – їх довжини рівні. А також однакові кути нахилу цих діагоналей до основи трапеції.
4. Тільки біля рівнобедреної трапеції можна описати коло, оскільки сума протилежних кутів чотирикутника 1800 – обов'язкова умова для цього.
5. З попереднього пункту випливає властивість рівнобедреної трапеції – якщо біля трапеції можна описати коло, вона є рівнобедреною.
6. З особливостей рівнобедреної трапеції випливає властивість висоти трапеції: якщо її діагоналі перетинаються під прямим кутом, то довжина висоти дорівнює половині суми основ: h = (a + b)/2.
7. Знову проведіть відрізок ТХ через середини основ трапеції – у рівнобедреній трапеції він є перпендикуляром до основ. І водночас ТХ – вісь симетрії рівнобедреної трапеції.
8. Цього разу опустіть на більшу основу (позначимо його a) висоту з протилежної вершини трапеції. Вийде два відрізки. Довжину одного можна знайти, якщо довжини підстав скласти та розділити навпіл: (a + b)/2. Другий отримаємо, коли з більшої основи віднімемо менше і отриману різницю розділимо на два: (a – b)/2.

Властивості трапеції, вписаної в коло

Раз вже мова зайшла про вписану в коло трапецію, зупинимося на цьому питанні докладніше. Зокрема на тому, де знаходиться центр кола по відношенню до трапеції. Тут теж рекомендується не полінуватися взяти олівець до рук і накреслити те, про що йтиметься нижче. Так і зрозумієте швидше і запам'ятайте краще.

1. Розташування центру кола визначається кутом нахилу діагоналі трапеції до його боці. Наприклад, діагональ може виходити з вершини трапеції під прямим кутом до бокової сторони. У такому разі більша основа перетинає центр описаного кола точно посередині (R = ½АЕ).
2. Діагональ і бічний бік можуть зустрічатися і під гострим кутом – тоді центр кола виявляється всередині трапеції.
3. Центр описаного кола може виявитися поза межами трапеції, за її основою, якщо між діагоналлю трапеції і бічною стороною – тупий кут.
4. Кут, утворений діагоналлю і великою основою трапеції АКМЕ (вписаний кут) становить половину центрального кута, який йому відповідає: ТРАВНЕ = ½МОЄ.
5. Коротко про два способи визначити радіус описаного кола. Спосіб перший: уважно подивіться на своє креслення – що ви бачите? Ви легко помітите, що діагональ розбиває трапецію на два трикутники. Радіус можна знайти через відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута, помноженого на два. Наприклад, R = АЕ/2*sinАМЕ. Аналогічно формулу можна розписати для будь-якої зі сторін обох трикутників.
6. Спосіб другий: знаходимо радіус описаного кола через площу трикутника, утвореного діагоналлю, бічною стороною та основою трапеції: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ.

Властивості трапеції, описаної біля кола

Вписати коло в трапецію можна, якщо дотримується одна умова. Детальніше про нього нижче. І разом ця комбінація фігур має низку цікавих властивостей.

1. Якщо в трапецію вписано коло, довжину її середньої лінії можна легко знайти, склавши довжини бічних сторін і розділивши отриману суму навпіл: m = (c + d)/2.
2. У трапеції АКМЕ, описаної біля кола, сума довжин основ дорівнює сумі довжин бічних сторін: АК + МЕ = КМ + АЕ.
3. З цієї властивості основ трапеції випливає зворотне твердження: коло можна вписати в ту трапецію, сума основ якої дорівнює сумі бічних сторін.
4. Точка торкання кола з радіусом r, вписаної в трапецію, розбиває бічну сторону на два відрізки, назвемо їх a та b. Радіус кола можна обчислити за такою формулою: r = √ab.
5. І ще одна властивість. Щоб не заплутатися, цей приклад також накресліть самі. У нас є стара-добра трапеція АКМЕ, описана біля кола. У ній проведені діагоналі, що перетинаються у точці О. Утворені відрізками діагоналей та бічними сторонами трикутники АОК та ЕОМ – прямокутні.
   Висоти цих трикутників, опущені на гіпотенузи (тобто бічні сторони трапеції), збігаються з радіусами вписаного кола. А висота трапеції – збігається з діаметром вписаного кола.

Властивості прямокутної трапеції

Прямокутною називають трапецію, один із кутів якої є прямим. І її властивості випливають із цієї обставини.

1. У прямокутної трапеції одна з бічних сторін перпендикулярна до основ.
2. Висота та бічна сторона трапеції, що прилягає до прямого кута, рівні. Це дозволяє обчислювати площу прямокутної трапеції (загальна формула S = (a + b) * h/2) не тільки через висоту, а й через бічну сторону, що прилягає до прямого кута.
3. Для прямокутної трапеції актуальні описані вище загальні властивості діагоналей трапеції.

Докази деяких властивостей трапеції

Рівність кутів на підставі рівнобедреної трапеції:

• Ви вже напевно і самі здогадалися, що тут нам знову знадобиться трапеція АКМЕ – накресліть рівнобедрену трапецію. Проведіть із вершини М пряму МТ, паралельну бічній стороні АК (МТ || АК).

Отриманий чотирикутник АКМТ - паралелограм (АК | | МТ, КМ | | АТ). Оскільки МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – рівнобедрений та МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, отже МТЕ = КАЄ, МЕТ = МТЕ = КАЄ.

Звідки АКМ = 180 0 - МЕТ = 180 0 - КАЄ = КМЕ.

Що й потрібно було довести.

Тепер на підставі властивості рівнобедреної трапеції (рівності діагоналей) доведемо, що трапеція АКМЕ є рівнобедреною:

• Спочатку проведемо пряму МХ – МХ || КЕ. Отримаємо паралелограм КМХЕ (підстава – МХ || КЕ та КМ || ЕХ).

∆АМХ - рівнобедрений, оскільки АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, тому МАЄ = МХЕ.

У нас вийшло, що трикутники АКЕ та ЕМА рівні між собою, тому що АМ = КЕ та АЕ – загальна сторона двох трикутників. А також ТРАВНІ = МХЕ. Можемо дійти невтішного висновку, що АК = МЕ, а звідси випливає і що трапеція АКМЕ – равнобедренная.

Завдання для повторення

Підстави трапеції АКМЕ дорівнюють 9 см і 21 см, бічна сторона КА, що дорівнює 8 см, утворює кут 150 0 з меншою основою. Потрібно знайти площу трапеції.

Рішення: З вершини До опустимо висоту до більшої основи трапеції. І почнемо розглядати кути трапеції.

Кути АЕМ та КАН є односторонніми. А це означає, що в сумі вони дають 180 0 . Тому КАН = 300 (на підставі властивості кутів трапеції).

Розглянемо тепер прямокутний ∆АНК (вважаю, цей момент очевидний читачам без додаткових доказів). З нього знайдемо висоту трапеції КН – у трикутнику вона є катетом, що лежить навпроти кута 30 0 . Тому КН = ?АВ = 4 см.

Площу трапеції знаходимо за формулою: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Післямова

Якщо ви уважно і вдумливо вивчили цю статтю, не полінувалися з олівцем у руках накреслити трапеції для всіх наведених властивостей і розібрати їх на практиці, матеріал повинен був непогано засвоїтися.

Звичайно, інформації тут багато, різноманітної і навіть навіть заплутаної: не так вже й складно переплутати властивості описаної трапеції з властивостями вписаної. Але ви самі переконалися, що різниця величезна.

Тепер у вас є докладний конспект усіх загальних властивостей трапеції. А також специфічних властивостей та ознак трапецій рівнобедреної та прямокутної. Їм дуже зручно користуватися, щоб готуватися до контрольних та іспитів. Спробуйте самі та поділіться посиланням з друзями!

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Трапеція - це окремий випадок чотирикутника, у якого одна пара сторін є паралельною. Термін «трапеція» походить від грецького слова τράπεζα, що означає "стіл", "столик". У цій статті ми розглянемо види трапеції та її властивості. Крім того, розберемося, як розраховувати окремі елементи цієї, наприклад, діагональ рівнобічної трапеції, середню лінію, площу та ін. Матеріал викладений у стилі елементарної популярної геометрії, тобто в легкодоступній формі.

Загальні відомості

Спочатку давайте розберемося, що таке чотирикутник. Ця фігура є окремим випадком багатокутника, що містить чотири сторони і чотири вершини. Дві вершини чотирикутника, які є сусідніми, називаються протилежними. Те саме можна сказати і про дві несуміжні сторони. Основні види чотирикутників - це паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат, трапеція та дельтоїд.

Отже, повернемося до трапецій. Як ми вже говорили, у цієї постаті дві сторони є паралельними. Їх називають основами. Дві інші (непаралельні) – бічні сторони. У матеріалах іспитів та різних контрольних робіт дуже часто можна зустріти завдання, пов'язані з трапеціями, вирішення яких найчастіше вимагає від учня знань, не передбачених програмою. Шкільний курс геометрії знайомить учнів із властивостями кутів та діагоналей, а також середньої лінії рівнобедреної трапеції. Але, крім цього, згадана геометрична фігура має й інші особливості. Але про них трохи згодом...

Види трапеції

Існує багато видів цієї постаті. Однак найчастіше прийнято розглядати два з них – рівнобедрену та прямокутну.

1. Прямокутна трапеція - це фігура, у якої одна з бічних сторін перпендикулярна до основ. У неї два кути завжди дорівнюють дев'яноста градусам.

2. Рівностегновий трапеція - це геометрична фігура, у якої бічні сторони рівні між собою. Отже, і кути біля основ також попарно рівні.

Основні принципи методики вивчення властивостей трапеції

До основного принципу можна зарахувати використання так званого задачного підходу. По суті немає необхідності для введення в теоретичний курс геометрії нових властивостей цієї фігури. Їх можна відкривати і формулювати в процесі вирішення різних завдань (краще системних). При цьому дуже важливо, щоб викладач знав, які завдання потрібно поставити перед школярами у той чи інший момент навчального процесу. Більше того, кожна властивість трапеції може бути представлена ​​у вигляді ключового завдання у системі задач.

Другим принципом є так звана спіральна організація вивчення «чудових» властивостей трапеції. Це передбачає повернення процесі навчання до окремих ознак даної геометричної постаті. Таким чином, учням легше їх запам'ятовувати. Наприклад, властивість чотирьох точок. Його можна доводити як із вивченні подоби, і згодом з допомогою векторів. А рівновеликість трикутників, прилеглих до боків фігури, можна доводити, застосовуючи як властивості трикутників з рівними висотами, проведеними до сторон, які лежать однією прямої, а й з допомогою формули S= 1/2(ab*sinα). Крім того, можна відпрацювати на вписаній трапеції або прямокутний трикутник на описаній трапеції і т.д.

Застосування «позапрограмних» особливостей геометричної фігури у змісті шкільного курсу – це задачна технологія їхнього викладання. Постійне звернення до властивостей, що вивчаються при проходженні інших тем, дозволяє учням глибше пізнавати трапецію і забезпечує успішність вирішення поставлених завдань. Отже, приступимо до вивчення цієї чудової постаті.

Елементи та властивості рівнобедреної трапеції

Як ми вже зазначали, у цієї геометричної фігури бічні сторони рівні. Ще вона відома як правильна трапеція. А чим же вона така примітна і чому отримала таку назву? До особливостей цієї постаті належить те, у неї рівні як бічні боку й кути біля основ, а й діагоналі. Крім того, сума кутів рівнобедреної трапеції дорівнює 360 градусів. Але це ще не все! З усіх відомих трапецій тільки навколо рівнобедреного можна описати коло. Це пов'язано з тим, що сума протилежних кутів цієї фігури дорівнює 180 градусам, а тільки за такої умови можна описати коло навколо чотирикутника. Наступною властивістю аналізованої геометричної фігури є те, що відстань від вершини основи до проекції протилежної вершини на пряму, яка містить цю основу, дорівнюватиме середньої лінії.

А тепер давайте розберемося, як знайти кути рівнобедреної трапеції. Розглянемо варіант розв'язання цього завдання за умови, що відомі розміри сторін фігури.

Рішення

Зазвичай чотирикутник прийнято позначати літерами А, Б, С, Д, де БС та АТ - це підстави. У рівнобедреній трапеції бічні сторони рівні. Вважатимемо, що й розмір дорівнює Х, а розміри підстав рівні Y і Z (меншого і більшого відповідно). Для проведення обчислення необхідно з кута провести висоту Н. В результаті вийшов прямокутний трикутник АБН, де АБ - гіпотенуза, а БН і АН - катети. Обчислюємо розмір катета АН: від більшої основи забираємо менше, і результат ділимо на 2. Запишемо у вигляді формули: (Z-Y)/2 = F. Тепер для обчислення гострого кута трикутника скористаємося функцією cos. Отримуємо наступний запис: cos(β) = Х/F. Тепер обчислюємо кут: β=arcos (Х/F). Далі, знаючи один кут, ми можемо визначити і другий, для цього чинимо елементарну арифметичну дію: 180 - β. Усі кути визначені.

Існує і друге вирішення цієї задачі. Спочатку опускаємо з кута У висоту Н. Обчислюємо значення катета БН. Нам відомо, що квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів. Отримуємо: БН = √(Х2-F2). Далі використовуємо тригонометричну функцію tg. В результаті маємо: β = arctg (БН/F). Гострий кут знайдено. Далі визначаємо аналогічно першому способу.

Властивість діагоналей рівнобедреної трапеції

Спочатку запишемо чотири правила. Якщо діагоналі в рівнобедреній трапеції перпендикулярні, то:

Висота фігури дорівнюватиме сумі підстав, поділеної на дві;

Її висота та середня лінія рівні;

Центр кола є точкою, в якій перетинаються;

Якщо бічна сторона ділиться точкою торкання відрізки М і М, тоді дорівнює квадратному кореню добутку цих відрізків;

Чотирьохкутник, який утворився точками торкання, вершиною трапеції та центром вписаного кола - це квадрат, у якого сторона дорівнює радіусу;

Площа постаті дорівнює добутку підстав та добутку напівсуми підстав на її висоту.

Подібні трапеції

Ця тема дуже зручна для вивчення властивостей цієї прикладу. Наприклад, діагоналі розбивають трапецію на чотири трикутники, причому прилеглі до основ є подібними, а до бічних сторін - рівновеликими. Це твердження можна назвати властивістю трикутників, куди розбита трапеція її діагоналями. Перша частина цього твердження доводиться через ознаку подібності з двох кутів. Для доказу другої частини краще скористатися способом, наведеним нижче.

Доказ теореми

Приймаємо, що фігура АБСД (АТ та БС – основи трапеції) розбивається діагоналями ВД та АС. Точка їх перетину - О. Отримуємо чотири трикутники: АОС - у нижньої основи, БОС - у верхньої основи, АБО та СОД у бокових сторін. Трикутники СОД та БОС мають загальну висоту в тому випадку, якщо відрізки БО та ОД є їх підставами. Отримуємо, що різниця їх площ (П) дорівнює різниці цих відрізків: ПБОС/ПСОД = БО/ОД = К. Отже, ПСОД = ПБОС/К. Аналогічно, трикутники БОС та АОБ мають загальну висоту. Приймаємо за їх підстави відрізки СО та ОА. Отримуємо ПБОС/ПАОБ = СО/ОА = К та ПАОБ = ПБОС/К. На цьому випливає, що ПСОД = ПАОБ.

Для закріплення матеріалу учням рекомендується знайти зв'язок між площами отриманих трикутників, куди розбита трапеція її діагоналями, вирішивши таке завдання. Відомо, що у трикутників БОС та АОД площі рівні, необхідно знайти площу трапеції. Оскільки ПСОД = ПАОБ, отже, ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*ПСОД. З подоби трикутників БОС та АОД випливає, що БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Отже, ПБОС/ПСОД = БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Отримуємо ПСОД = √(ПБОС*ПАОД). Тоді ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*√(ПБОС*ПАОД) = (√ПБОС+√ПАОД)2.

Властивості подоби

Продовжуючи розвивати цю тему, можна доводити інші цікаві особливості трапецій. Так, за допомогою подібності можна довести властивість відрізка, який проходить через точку, утворену перетином діагоналей цієї геометричної фігури, паралельно до основ. Для цього розв'яжемо наступне завдання: необхідно знайти довжину відрізка РК, який проходить через точку О. З подоби трикутників АОД і БОС випливає, що АО/ОС=АД/БС. З подоби трикутників АОР і АСБ випливає, що АО/АС=РО/БС=АД/(БС+АД). Звідси отримуємо, що РВ = БС * АТ / (БС + АТ). Аналогічно з подоби трикутників ДОК і ДБС випливає, що ОК = БС * АД / (БС + АД). Звідси отримуємо, що РВ=ОК і РК=2*БС*АД/(БС+АД). Відрізок, що проходить через точку перетину діагоналей, паралельний основам і сполучає дві бічні сторони, ділиться точкою перетину навпіл. Його довжина - це середня гармонійна підстава фігури.

Розглянемо таку якість трапеції, яку називають властивістю чотирьох точок. Точки перетину діагоналей (О), перетину продовження бічних сторін (Е), а також середини основ (Т та Ж) завжди лежать на одній лінії. Це легко доводиться методом подібності. Отримані трикутники БЕС та АЕД подібні, і в кожному з них медіани ЕТ та ЇЖ ділять кут при вершині Е на рівні частини. Отже, точки Е, Т та Ж лежать на одній прямій. Так само на одній прямій розташовуються точки Т, О, і Ж. Все це випливає з подоби трикутників БОС та АОД. Звідси робимо висновок, що всі чотири точки – Е, Т, Про та Ж – лежатимуть на одній прямій.

Використовуючи такі трапеції, можна запропонувати учням знайти довжину відрізка (ЛФ), який розбиває фігуру на дві подібні. Даний відрізок повинен бути паралельний до основ. Оскільки отримані трапеції АЛФД і ЛБСФ подібні, БС/ЛФ=ЛФ/АД. Звідси випливає, що ЛФ=√(БС*АД). Отримуємо, що відрізок, що розбиває трапецію на дві подібні, має довжину, що дорівнює середньому геометричному довжини основ фігури.

Розглянемо таку властивість подібності. В його основі лежить відрізок, який поділяє трапецію на дві рівновеликі постаті. Вважаємо, що трапеція АБСД розділена відрізком ЄП на дві подібні. З вершини Б опущена висота, яка розбивається відрізком ЄП на дві частини – В1 та В2. Отримуємо: ПАБСД/2 = (БС+ЕН)*В1/2 = (АД+ЕН)*В2/2 та ПАБСД = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Далі складаємо систему, перше рівняння якої (БС+ЕН)*В1 = (АД+ЕН)*В2 та друге (БС+ЕН)*В1 = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Звідси випливає, що В2/ В1 = (БС+ЕН)/(АД+ЕН) і БС+ЕН = ((БС+АД)/2)*(1+В2/ В1). Отримуємо, що довжина відрізка, що ділить трапецію на дві рівновеликі, дорівнює середньому квадратичному довжини основ: √((БС2+АД2)/2).

Висновки подібності

Таким чином, ми довели, що:

1. Відрізок, що з'єднує у трапеції середини бічних сторін, паралельний АТ і БС і дорівнює середньому арифметичному БС та АТ (довжина основи трапеції).

2. Риса, яка проходить через точку Про перетину діагоналей паралельно АТ і БС, дорівнюватиме середньому гармонійному чисел АТ і БС (2*БС*АД/(БС+АД)).

3. Відрізок, що розбиває трапецію на подібні, має довжину середньої геометричної основ БС та АТ.

4. Елемент, що ділить фігуру на дві рівновеликі, має довжину середнього квадратичного чисел АТ та БС.

Для закріплення матеріалу та усвідомлення зв'язку між розглянутими відрізками учню необхідно збудувати їх для конкретної трапеції. Він легко зможе відобразити середню лінію і відрізок, який проходить через точку О - перетин діагоналів фігури - паралельно підставам. А ось де будуть перебувати третій та четвертий? Ця відповідь приведе учня до відкриття шуканого зв'язку між середніми величинами.

Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції

Розглянемо таку властивість цієї фігури. Приймаємо, що відрізок МН паралельний основам і поділяє діагоналі навпіл. Точки перетину назвемо Ш і Щ. Даний відрізок дорівнюватиме напіврізності підстав. Розберемо це детальніше. МШ – середня лінія трикутника АБС, вона дорівнює БС/2. МЩ – середня лінія трикутника АБД, вона дорівнює АТ/2. Тоді отримуємо, що ШЩ = МЩ-МШ, отже, ШЩ = АТ/2-БС/2 = (АТ+ВС)/2.

Центр ваги

Давайте розглянемо, як визначається цей елемент для даної геометричної фігури. Для цього необхідно продовжити підстави у протилежні сторони. Що це означає? Потрібно до верхньої основи додати нижнє - у будь-яку зі сторін, наприклад, праворуч. А нижнє подовжуємо на довжину верхнього вліво. Далі з'єднуємо їхню діагоналлю. Точка перетину цього відрізка із середньою лінією фігури і є центром тяжкості трапеції.

Вписані та описані трапеції

Давайте перерахуємо особливості таких фігур:

1. Трапеція може бути вписана в коло тільки у тому випадку, якщо вона рівнобедрена.

2. Біля кола можна описати трапецію, за умови, що сума довжин їх підстав дорівнює сумі довжин бічних сторін.

Наслідки вписаного кола:

1. Висота описаної трапеції завжди дорівнює двом радіусам.

2. Бічна сторона описаної трапеції спостерігається із центру кола під прямим кутом.

Перше слідство очевидно, а для доказу другого потрібно встановити, що кут СОД є прямим, що, по суті, також не складе великих зусиль. Зате знання даної властивості дозволить при розв'язанні задач застосовувати прямокутний трикутник.

Тепер конкретизуємо ці наслідки для рівнобедреної трапеції, яка вписана у коло. Отримуємо, що висота є середнім геометричним підставам фігури: Н=2R=√(БС*АД). Відпрацьовуючи основний прийом розв'язання завдань для трапецій (принцип проведення двох висот), учень має вирішити таке завдання. Приймаємо, що БТ – висота рівнобедреної фігури АБСД. Необхідно знайти відрізки АТ та ТД. Застосовуючи формулу, описану вище, це зробити не складно.

Тепер давайте розберемося, як визначити радіус кола, використовуючи площу описаної трапеції. Опускаємо з вершини Б висоту на основу АТ. Оскільки коло вписано в трапецію, то БС+АД = 2АБ або АБ = (БС+АД)/2. З трикутника АБН знаходимо sinα = БН/АБ = 2*БН/(БС+АТ). ПАБСД = (БС + АТ) * БН / 2, БН = 2R. Отримуємо ПАБСД = (БС+АД)*R, звідси випливає, що R = ПАБСД/(БС+АД).

Усі формули середньої лінії трапеції

Тепер настав час перейти до останнього елемента даної геометричної фігури. Розберемося, чому дорівнює середня лінія трапеції (М):

1. Через підстави: М = (А + Б)/2.

2. Через висоту, основу та кути:

М = А-Н * (ctgα + ctgβ) / 2;

М = Б+Н*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Через висоту, діагоналі та кут між ними. Наприклад, Д1 і Д2 - діагоналі трапеції; α , β - кути між ними:

М = Д1 * Д2 * sinα / 2Н = Д1 * Д2 * sinβ / 2Н.

4. Через площу та висоту: М = П/Н.