Маятник максвела сила натягу ниток. Закон збереження механічної енергії для маятника максвела

1. Ціль роботи:визначення моменту інерції маятника Максвелла. Визначення сили натягу ниток під час руху і в момент "ривка" (нижня точка траєкторії).

2. Теоретичні засади роботи.

Маятник Максвелла є однорідним диском, насадженим на циліндричний вал (рис. 1); центри мас диска та валу лежать на осі обертання. На вал радіусом r намотані нитки, кінці яких закріплені на кронштейні. При розмотуванні ниток маятник Максвелла здійснює плоский рух. Плоським називають такий рух, при якому всі точки тіла переміщуються у паралельних площинах. Плоский рух маятника можна як суму двох рухів - поступального руху центру мас уздовж осі OY, зі швидкістю Vта обертального руху з кутовою швидкістю wщодо осі O’ Z, що проходить через центр мас маятника.

При русі маятника Максвелла відбувається процес переходу потенційної енергії в кінетичну і назад. Зрозуміло, механічна енергія поступово зменшується внаслідок дії сил тертя. Відповідно до теореми про рух центру мас, центр мас рухається як матеріальна точка, маса якої дорівнює масі системи, а сила, що діє на неї, - геометричній сумі всіх зовнішніх сил, що діють на систему:

å M iZ = ma c

Тут індекс Зозначає центр мас системи.

Основне рівняння динаміки обертального руху для маятника максвела щодо миттєвої осі O" Z, що проходить через центр мас має вигляд

å M iZ = J Z E Z

Тут J Z- момент інерції маятника щодо осі O" Z.

ЕZ- проекція кутового прискорення на вісь O"Z; ліва частина рівняння - алгебраїчна сума моментів зовнішніх сил щодо осі O"Z.

Якщо нитка не прослизає, то швидкість центру мас маятника та кутова швидкість wпов'язані кінематичним співвідношенням

V c = w r

а) Визначення моменту інерції маятника Максвелла.

Використовуючи закон збереження механічної енергії, можна експериментально визначити момент інерції маятника. Для цього вимірюється час tопускання маятника масою mз висоти h.

Приймемо потенційну енергію маятника Максвелла Wп.зв. = 0 в положенні, коли маятник знаходиться в нижній точці. Кінетична енергія у цьому становищі

W до . н . = mV 2 /2 + J w 2 /2 (1)

Тут V- Швидкість центру мас маятника; w- кутова швидкість;

J- момент інерції маятника щодо осі, що проходить через центр мас: m = mв + mд + mл- Маса маятника; mв, mд,mл- маси валу, диска та кільця, що входять до складу маятника. У верхньому положенні маятника його потенційна енергія

W п . в . = mgh ,

а кінетична енергія дорівнює нулю. Із закону збереження механічної енергії для маятника Максвелла (дисипативними силами, тобто силами тертя, опору повітря тощо нехтуємо) слід.

mgh = mV 2 /2 + J w 2 /2 (2)

Оскільки центр мас маятника рухається прямолінійно та рівноприскорено, то

h = a t 2 /2; V = a t (3)

З (3) отримаємо V = 2 h / g (4)

Підставляючи співвідношення (4) в (2) і використовуючи співвідношення між швидкістю центру мас і кутовою швидкістю обертання маятника щодо осі симетрії, отримаємо формулу для розрахунку експериментального моменту інерції маятника Максвелла

J е = mr 2 (g t 2 /2h – 1) (5)

Тут r – радіус валу

Отриманий результат порівнюємо зі значенням моменту інерції, що визначається з теоретичних міркувань. Теоретичний момент інерції маятника Максвелла можна розрахувати за Формулою

J T = J B + J Д + J K (6)

Тут J B, J Д, J K- моменти інерції складових частин маятника: валу, диска та кільця відповідно. Використовуючи загальну формулу для визначення моменту інерції

J = ∫ r 2 dm (7)

знайдемо моменти інерції елементів маятника Максвелла.

J Д = m Д R 1 2/2 (9)

Момент інерції валу J B = m в r 2 /2 (8)

Момент інерції диска

Тут R 1- радіус диска, він внутрішній діаметр кільця (рис. 1). Момент інерції кільця

J K = m K * (R 1 2 + R 2 2) / 2 (10)

Тут R 2- Зовнішній діаметр кільця

б) Визначення сили натягу ниток під час руху маятника Максвелла Т Д і на момент "ривка" – Т Р.

Рух маятника Максвелла описується системою рівнянь

-ma = 2T - mg (11); J E = 2Tr (12); h = a t 2 /2 (13)

З (11) і (12) випливає, що при русі маятника Максвелла сила натягу нитки дорівнює

T Д = mg/2(mr 2 /J + 1) (14)

де момент інерції маятника J визначається співвідношенням (5).

Лабораторна робота №1*

Маятник Максвелла

Мета роботи: Визначити момент інерції маятника Максвелл динамічним здатним і порівняти його з теоретичним значенням

Прилади та матеріали:маятник Максвелла, електронний секундомір, змінні кільця.

Лабораторний прилад

Маятник Максвелла є невеликим диском (маховичком) насадженим туго на вісь. Під дією сили тяжіння він опускається на двох нитках, заздалегідь намотаних на вісь маховичка (рис. 1). Нитка під час руху диска вниз розмотується до повної довжини, маховичок, що розкрутився, продовжує обертальний рух у тому ж напрямку і намотує нитки на вісь, внаслідок чого він піднімається вгору, уповільнюючи при цьому своє обертання. Дійшовши до верхньої точки, диск знову опускатиметься вниз і т.д. Маховичок коливатиметься вниз і вгору, тому такий пристрій і називається маятником.

Лабораторна установка

У лабораторній установці маятник Максвелла укріплений на кронштейнах, що дозволяють регулювати довжину підвіски та її паралельність. До верхнього та нижнього кронштейнів прикріплені фотоелектричні датчики, пов'язані функціонально з електронним секундоміром, що вимірює час руху маятника. На маховичськ накладаються змінні кільця, що змінювали момент інерції маятника. На верхньому кронштейні знаходиться

електромагніт, що фіксує початкове положення маховичка з кільцем при віджаті клавіші "ПУСК".

Теоретичний опис роботи та виведення робочої формули

Маятник у процесі коливань здійснює поступальний та обертальний рухи, які описуються відповідними рівняннями. Для складання рівнянь руху розглянемо сили та моменти сил, що діють на маховичок (рис. I). Нехай
- сила тяжіння, - Сила натягу однієї нитки.
- Радіус осі маятника.
10 мм - діаметр осі маятника,
- Маса маятника. - Момент інерції маховичка. Тоді рівняння поступального руху, згідно з другим законом Ньютона, запишеться так:

. (1)

У рівнянні (1) стоїть подвоєне значення сили , тому що на вісь маховичка намотані дві нитки, у кожній з яких виникає сила натягу .

Під дією сил натягу диск здійснює обертальний рух. Момент цих сил дорівнює:

. (2)

Плечем сили є радіус осі маятника, діаметром нитки нехтуємо.

Тоді рівняння обертального руху маховичка можна записати так:

, (3)

де - Кутове прискорення обертання диска.

Кутове прискорення та прискорення центру мас пов'язані співвідношенням:

. (4)

Прискорення , центру мас можна знайти, знаючи довжину шляху та час руху маховичка від верхньої до нижньої точки (з урахуванням нульової початкової швидкості):

. (5)

. (6)

Підставивши (6) до (4), отримаємо:

. (7)

З урахуванням (6) та (7) рівняння (1) та (3) набудуть вигляду:

. (8)

. (9)

Вирішуючи спільно рівняння (8) і (9), отримаємо робочу формулу для визначення моменту інерції маятника Максвелла експериментальним шляхом:

. (10)

У формулі (10) маса
є загальною масою маятника, що включає масу осі маятника, диска і кільця. -?-?

-?
-?
-?

Порядок виконання роботи

1. Увімкнути встановлення в мережу.

2. На маховичок накласти довільно вибраний кільце, притискаючи його до упору.

3. На вісь маятника намотати нитку підвіски, звертаючи увагу на те. щоб вона намотувалась рівномірно, виток до витка.

4. Зафіксувати маятник у верхньому кронштейні, натиснувши кнопку "ПУСК" секундоміра.

5. Натисніть клавішу скидання секундоміра.

6. Натиснути клавішу "ПУСК", при цьому електронний секундомір розпочне відлік часу руху маятника до нижнього кронштейна. Вимірювання повторити 5 разів та занести у відповідну колонку таблиці.

7. За шкалою на вертикальній колонці визначити довжину маятнику.

8. Вимірювання часу (пункт 6) повторити для різних насадних кілець та занести до таблиці.

9. Визначити загальну масу маятника. Значення мас окремих елементів на них.

10. За формулою (10) обчислити момент інерції - маятника для всіх

серій вимірів.

11.Обчислити відносну та абсолютну похибки визначення моменту

інерції за отриманими самостійно формулами. Формула диференціала має вигляд

12. Обчислити теоретичні значення моментів інерції маятника за формулами (11) і порівняти з обчисленими за формулами (10):

, (11)

де
- Момент інерції осі маятника.

- Маса осі маятника, = 10 мм – діаметр осі

- Момент інерції диска.

- Маса диска,
86 мм - зовнішній діаметр диска

- Момент інерції насадного кільця.

- маса кільця,
105 мм – зовнішній діаметр кільця.

13. Остаточні результати визначення моментів інерції маятника подати у такому вигляді:

,
.

14. За отриманими результатами зробити висновки.

Таблиця результатів

№,

, з

, кг

, м

Порівн. знач.

, з

, кг

, м

Контрольні питання

1. Дайте визначення моменту інерції матеріальної точки та твердого тіла.

2. Як записується основне рівняння динаміки обертального руху?

3. Який фізичний пристрій називається маятником Максвелла? Назвіть основні його елементи та поясніть принцип його роботи.

4. Виведіть робочу формулу для визначення моменту інерції маятника Максвелла.

5. Поясніть формулу (11) для теоретичних значень моментів інерції маятника.

6. Виведіть формулу для відносної та абсолютної похибок визначення моментів інерції.

Мета роботи.

На прикладі маятника Максвелла познайомитися з обчисленням та експериментальним виміром моменту інерції циліндричного твердого тіла щодо осі симетрії.

Устаткування.

Маятник Максвелла.

Теми вивчення.

В лабораторної роботина прикладі маятника Максвелла розглянуті закони поступального і обертального руху, отримана робоча формула для розрахунку моменту інерції маятника Максвелла, наведено опис експериментальної установки порядку вимірювання на ній моменту інерції маятника.

Лабораторна робота призначена для студентів, які виконують загальний фізичний практикум у лабораторії механіки.

Коротка теорія.

М
Аятник Максвелла є масивним диском, вісь якого підвішена на двох накручених на неї нитках (рис. 1).

Якщо маятник відпустити, то він здійснюватиме зворотно-поступальний рух у вертикальній площині при одночасному обертанні диска навколо осі.

Сили, що діють маятник, вказані на рис. 2.

Для опису руху маятника Максвелла зручно вибрати систему відліку, пов'язану з центром мас маятника і має одну вісь, спрямовану вниз.

Центром мас системи називають уявну точку, радіус-вектор якої визначається виразом

де т -маса системи, - маси матеріальних точок, що становлять цю систему, - їх векторні радіуси. Величина швидкість руху цієї уявної точки. Імпульс системи з урахуванням (I) записується як

тобто є твір маси системи на швидкість її центру мас, що аналогічно імпульсу матеріальної точки. Таким чином, за рухом центру мас можна стежити як за рухом матеріальної точки. Виходячи з цього, рух центру мас маятника Максвелла можна описати рівнянням:

де m - Маса маятника, - лінійне прискорення центру мас - результуюча сила натягу обох ниток.

Обертальний рух маятника описується основним рівнянням динаміки обертального руху, що має вигляд:

де ℐ - момент інерції, - результуючий час сил, що діють на маятник щодо певної точки, що лежить і осі обертання, - кутове прискорення. Під вектором кута розуміють вектор, по модулі рівний куту повороту і спрямований уздовж осі обертання так, щоб з початку поворот спостерігався що відбувається за годинниковою стрілкою.

Моментом інерції тіла щодо деякої осі обертання називають величину

, (4) (4)

де - маси матеріальних точок, що становлять це тіло, - відстань від цих точок до осі обертання. Отже, момент інерції характеризує розподіл маси тіла щодо осі обертання. З (4) видно, що час інерції - величина адитивна, тобто момент інерції тіла дорівнює сумі моментів інерції його елементів. Якщоречовина в ній розподілена безперервно, то обчислення моменту інерції зводиться до обчислення інтегралу

; (5) (5)

де r - відстань від елементарної маси dm.

до осі обертання. Інтегрування повинне проводитися по всій масі тіла. Маятник Максвелла можна у вигляді сукупності порожніх циліндрів і суцільного циліндра - осі маятника. Розрахуємо, що моменти інерції таких тіл. Будь-яке з цих тіл можна розбити на тонкі циліндричні шари, частинки яких знаходяться на однаковій відстані від осі. Розіб'ємо циліндр радіусу R на концентричні шари завтовшки dr . Нехай радіус якогось шару r, тоді маса частинок, укладених у цьому шарі, дорівнює

де dV - об'єм шару, h- Висота циліндра, - Щільність речовини циліндра. Усі частинки шару знаходяться на відстані r від осі, отже, момент інерції цього шару

Момент інерції всього циліндра знайдеться інтегруванням по всіх шарах:

Оскільки маса циліндра , то момент інерції суцільного циліндра дорівнюватиме

Момент інерції порожнистого циліндра, що має внутрішній радіус , а зовнішній можна обчислити також за формулою (6), змінивши в інтегралі межі інтегрування

Помічаючи, що маса порожнього циліндра

, запишемо момент інерції порожнього циліндра наступним чином:

(8) - ( 8)

Проте, аналітичне обчислення інтегралів (5) можливе лише у найпростіших випадках тіл правильної геометричної форми. Для тіл неправильної форми такі інтеграли знаходять чисельно або використовують непрямі методи визначення моменту інерції.

Для знаходження моменту інерції маятника Максвелла щодо його осі обертання можна скористатися рівняннями руху

Для вирішення диференціальних рівнянь (2) та (3) перейдемо від векторної форми до скалярної. Спроектуємо рівняння (2) на вісь збігається з напрямком руху центру мас маятника. Тоді воно набуде вигляду:

Розглянемо проекції векторів і на вісь координат, що збігається з віссю обертання і спрямовану .

Складова моменту сили щодо точки вздовж осі, що проходить через цю точку, називається моментом сили щодо

Вектор можна записати в такий спосіб;

де - одиничний вектор, спрямований вздовж , а 5. Тоді кутове прискорення

оскільки напрям вектора ^ при опусканні маятника з часом змінюється.

Таким чином, рівняння (З) спроектується на вісь обертання наступним чином:

(10) (10)

де - радіус осі диска, на яку намотана нитка - кутове прискорення диска. Оскільки центр мас опускається настільки, наскільки розкручується нитка, його переміщення xпов'язано з кутом, повороту співвідношенням

Диференціюючи це співвідношення двічі, отримаємо

Спільне рішення рівнянь (9) - (11) дає такі вирази для лінійного прискорення центру мас системи та результуючої сили натягу:

(13)

З (12), (13) видно, що прискорення диска та сила натягу нитки постійні і прискорення завжди спрямоване вниз. Отже, якщо при опусканні маятника координату його центру мас відраховувати від точки його закріплення, то згодом координата змінюватиметься за законом

Підставляючи (14) в (12), навчимо для моменту інерції маятника Максвелла наступне вираження

, де (15)

У нього входять величини, які легко експериментально виміряти: - зовнішній діаметр осі маятника разом з намотаною на нього ниткою підвіски, t - час опускання маятника, x - відстань, пройдена центром мас маятника, m. - маса маятника, що складається з маси осі маятника, маси диска та маси кільця, одягненого на диск. Зовнішній діаметр осі маятника разом із намотаною на нього ниткою підвіски

визначається за формулою

де D - діаметр осі маятника, - діаметр нитки.

Механічна конструкція приладу.

Загальний вигляд маятника Максвелла показано на рис. 3. Основа I оснащена регульованими ніжками 2, які дозволяють зробити вирівнювання приладу. В підставі закріплена колонка 3, до якої прикріплений нерухомий верхній кронштейн 4 і нижній нижній кронштейн 5. На верхньому кронштейні знаходиться електромагніт 6, фотоелектричний датчик 7 і комір 8 для закріплення і регулювання довжини нитки підвіски маятника. Нижній кронштейн разом із прикріпленим до нього фотоелектричним датчиком 9 можна переміщати вздовж колонки та фіксувати у вибраному положенні.

Маятник 10 - це диск, закріплений на осі, на який надягають кільця 11, змінюючи таким чином момент інерції системи.

Маятник з надітим кільцем утримується у верхньому положенні електромагнітом. Довжина нитки маятника визначається за міліметровою шкалою на колонці приладу. Фотоелектричні датчики з'єднані з мілісекундоміром. Вид передньої панелі секундоміра 12 представлений на рис. 4.

На лицьовій панелі мілісекундомера знаходяться наступні ручки керування

"МЕРЕЖА" - вимикач мережі. Натискання цієї клавіші включає напругу живлення. При цьому на цифрових індикаторах висвічуються нулі і включаються лампочки фотоелектричних датчиків.

"СКИДАННЯ" - установка нуля секундоміра. Натискання цієї клавіші викликає скидання електронних схем мілісекундомера, на цифрових індикаторах висвічуються нулі.

"ПІТ" - управління електромагнітом. При натисканні цієї клавіші вимикається електромагніт, у схемі мілісекундомера генерується імпульс дозволу на час.

Виконання роботи.

Нижній кронштейн приладу пересунути та зафіксувати у крайньому нижньому положенні.

На диск маятника одягнути одне з кілець, притискаючи його до упору.

Звільнити гайку коміра для регулювання довжини нитки підвіски. Підібрати довжину нитки таким чином, щоб край сталевого кільця після опускання маятника знаходився на два міліметри нижче від оптичної осі нижнього фотоелектричного датчика. Одночасно зробити коригування установки маятника, звертаючи увагу на те, щоб вісь його була паралельною основою приладу. Затиснути комірець.

Натиснути клавішу "МЕРЕЖА".

Намотати на вісь маятника нитку підвіски, звертаючи увагу на те, щоб вона намоталася рівномірно, виток до витка.

Фіксувати маятник за допомогою електромагніту, звертаючи увагу на т.ч., щоб нитка в цьому положенні не була надто скручена.

Повернути маятник у напрямі майбутнього обертання на кут близько 5°.

Натиснути клавішу "СКИДАННЯ".

Повторити виміри десять разів для визначення середнього часу падіння маятника.

За шкалою на вертикальній колонці приладу визначити довжину нитки маятника.

Вимірявши діаметри нитки та осі маятника Dу різних перерізах, знайдіть середні значення цих величин і за ними визначте за формулою (16) діаметр осі разом з намотеною на ній ниткою. Для вимірювання Dі можна використовувати мікрометр.

Визначте масу маятника разом із надітим кільцем. Значення мас окремих елементів нанесені ними.

За формулою (15) визначте момент інерції маятника Максвелла. Обчисліть момент інерції маятника теоретично, використовуючи формули (7), (8), і порівняйте отриманий результат з величиною, розрахованої за формулою (15).

Повторіть вимірювання для двох кілець, що залишилися.

Довірчий інтервал △ ℐ можна розрахувати за формулою

де ΔD, , △ t, △ x - довірчі інтервали для прямих вимірювань величин D, , t і x, враховують як випадкові, і систематичні похибки. Способи розрахунку цих величин наведені у посібнику Л.П.Китаєвої "Рекомендації з оцінки похибок вимірювань у фізичному практикумі".

Техніка безпеки.

При роботі з приладом необхідно дотримуватись правил безпеки, що стосуються пристроїв, у яких використовується напруга до 250 вольт. Експлуатація приладу допускається лише за наявності заземлення.

Контрольні питання.

Сформулюйте теорему про рух центру мас системи матеріальних точок.

Дайте визначення моменту інерції однієї матеріальної точки системи матеріальних точок.

Запишіть рівняння руху маятника Максвелла.

Як змінюються прискорення, швидкість і сила натягу ниток під час руху маятника?

Як змінюється механічна енергія маятника Максвелла під час його руху?

Федеральний державний автономний освітній заклад

вищої професійної освіти

«Далекосхідний федеральний університет»

Школа природничих наук

МАЯТНИК МАКСВЕЛЛА
Навчально-методичний посібник

до лабораторної роботи №1.10

Метою роботиє вивчення законів динаміки обертального руху твердого тіла, ознайомлення з маятником Максвелла і методикою вимірювання на ньому моменту інерції колеса маятника Максвелла щодо осі, що проходить через його центр мас, а також експериментальне знаходження прискорення поступального руху центру мас колеса маятника Максвелла.

1. Основні поняття обертального руху твердого тіла .

Під твердим тілом у механіці розуміється модель абсолютно твердого тіла - Тіла, деформаціями якого в умовах даного завдання можна знехтувати. Таке тіло можна як систему жорстко закріплених матеріальних точок. Будь-який складний рух твердого тіла завжди можна розкласти на два основні види руху – поступальний та обертальний.

Поступальним рухом твердого тіла називається рух, у якому будь-яка пряма, проведена через будь-які дві точки тіла, залишається паралельною самої собі у весь час (рис.1). При такому русі всі точки твердого тіла рухаються абсолютно однаково, тобто мають ту саму швидкість, прискорення, траєкторії руху, здійснюють однакові переміщення і проходять однаковий шлях. Отже, поступальний рух твердого тіла можна як рух матеріальної точки. Такою точкою може бути, зокрема, центр мас (центр інерції) тіла. Під центром мас тіла розуміється точка застосування результуючої масових сил, що діють на тіло. Масові сили – це сили, пропорційні масам елементів тіла, куди ці сили діють, за умови що сили, що діють всі елементи тіла, паралельні одне одному.

Оскільки при поступальному русі всі елементарні маси m i твердого тіла рухаються з однаковими швидкостями і прискореннями, то для кожної з них справедливий другий закон Ньютона:

де - сума всіх внутрішніх сил, що діють на елементарну масу Δm i (всього таких сил буде i-1, оскільки сама на себе частка діяти не може), а сума всіх зовнішніх сил, що діють на елементарну масу Δm i з боку інших тіл. Просумувавши рівняння (1) по всьому тілу та враховуючи , що сума всіх внутрішніх сил згідно з третім законом Ньютона дорівнює нулю, отримаємо закон динаміки поступального руху твердого тіла:

де - що результує всіх зовнішніх сил, що діють на тіло в цілому, - імпульс (кількість руху) тіла. Отримане рівняння (3) поступального руху тверде тіло збігається з рівнянням динаміки матеріальної точки.

обертальним рухом твердого тіла називається рух, при якому всі точки тіла описують кола, центри яких лежать на одній і тій же прямій, що називається віссю обертання тіла. При обертальному русі всі точки тіла рухаються з однією і тією ж кутовою швидкістю та кутовим прискоренням і здійснюють однакові кутові переміщення. Однак, як показує досвід, при обертальному русі твердого тіла навколо закріпленої осі маса вже не є мірою його інертності, а сила недостатня для характеристики зовнішнього впливу. Також з досвіду випливає, що прискорення при обертальному русі залежить як від маси тіла, а й її розподілу щодо осі обертання; залежить не тільки від сили, а й від точки її застосування та напрямки дії. Тому для опису обертального руху твердого тіла введені нові характеристики, такі як момент сили, момент імпульсу та момент інерції тіла . При цьому, слід мати на увазі, що існує два різні поняття цих величин: щодо осі та відносно будь-якої точки (полюса, початку), взятої на цій осі.

Моментом сили щодо нерухомої точки Проназивається векторна величина, що дорівнює векторному твору радіус-вектора , проведеного з точки О в точку докладання результуючої сили , на вектор цієї сили:

Вектор моменту сили завжди перпендикулярний площині, в якій розташовані вектори і , а його напрямок щодо цієї площини визначається за правилом векторного твору або за правилом буравчика. Відповідно до правила буравчика: якщо рукоятку буравчика обертати за напрямом дії сили, то поступальний рух буравчика збігатиметься з напрямком вектора моменту сили (рис.2). Вектори, напрямок яких пов'язують із напрямком обертання (кутова швидкість, кутове прискорення, момент сили, момент імпульсу тощо), називають псевдовекторами або аксіальними вна відміну від звичайних векторів (швидкість, радіус-вектор, прискорення тощо), які називають полярними .

Величинавектор моменту сили (чисельне значення моменту сили) визначається згідно з формулою векторного твору (4), тобто. , де a -
4

кут між напрямками векторів та . Розмір p= r·Sinα називається плечем сили (рис.2). Плече сили р - це найкоротша відстань від точки О до лінії дії сили.

Моментом сили щодо осі , називається проекція на цю вісь вектора моменту сили, знайденого щодо будь-якої точки, що належить цій осі. Зрозуміло, що щодо осі момент сили є скалярною величиною.

У системі СІ момент сили вимірюється Нм.

Для введення поняття моменту імпульсу тіла, введемо спочатку це поняття для матеріальної точки, що належить твердому тілу, що обертається.

Моментом імпульсу матеріальної точки Δ m i щодо нерухомої точки О називається векторний добуток радіус-вектора , проведеного з точки О в точку Δm i на вектор імпульсу цієї матеріальної точки:

де – імпульс матеріальної точки.

Моментом імпульсу твердого тіла (або механічної системи) щодо нерухомої точки називається вектор , рівний геометричній сумі моментів імпульсу щодо цієї точки Про всіх матеріальних точок даного тіла, тобто. .

Моментом імпульсу твердого тіла щодо осі називається проекція на цю вісь вектора моменту імпульсу тіла щодо будь-якої точки, вибраної на цій осі. Очевидно, у разі момент імпульсу є скалярної величиною. В системі СІ момент імпульсу вимірюється в

Мірою інертності тіл за поступального руху є їх маса. Інертність тіл при обертальному русі залежить не тільки від маси тіла, але і від її розподілу в просторі щодо осі обертання. Мірою інертності тіла при обертальному русі є момент інерції тіла I щодо осі обертання або точки. Момент інерції, як маса, величина скалярна.

Моментом інерції тіла щодо осі обертання називається фізична величина рівна сумі творів мас матеріальних точок, на які можна розбити все тіло, на квадрати відстаней кожної з них до осі обертання:

де - Момент інерції матеріальної точки.

Моментом інерції тіла щодо точки, що лежить на осі, називається скалярна величина, що дорівнює сумі творів маси кожної матеріальної точки даного тіла на квадрат її відстані до точки О. Розрахункова формула моменту інерції аналогічна формулі (6).

У системі СІ момент інерції вимірюється кгм 2 .

2. Основний закон динаміки обертального руху твердого тіла .

Знайдемо зв'язок між моментом сили та моментом імпульсу твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі ГО. І тому подумки розіб'ємо тіло на елементарні частини (маси), які вважатимуться матеріальними точками.

Кожна з матеріальних точок, що входять у це тверде тіло, буде рухатися по колу в площині, перпендикулярній осі обертання, а центри всіх цих кіл будуть лежати на цій осі. Зрозуміло, що всі точки тіла в даний час мають однакову кутову швидкість і однакове кутове прискорення. Розглянемо i-матеріальну точку, маса якої Δm i , а радіус кола, по якому вона рухається, r i . На неї діють як зовнішні сили з боку інших тіл, так і внутрішні - з боку інших матеріальних точок, що належать цьому тілу. Розкладемо результуючу силу , що діє на матеріальну точку маси Δm i на дві взаємно перпендикулярні складові сили , причому так, щоб вектор сили збігався у напрямку з дотичної до траєкторії руху частинки, а сила - перпендикулярна до цієї дотичної (Рис.3). Цілком очевидно, що обертання цієї матеріальної точки обумовлено лише дотичної складової сили, величину якої можна у вигляді суми внутрішньої та зовнішньої сил. У цьому випадку для точки Δm i другий закон Ньютона у скалярному вигляді матиме вигляд

(7)

З урахуванням того, що при обертальному русі твердого тіла навколо осі, лінійні швидкості руху матеріальних точок по кругових траєкторіях різні за величиною та напрямком, а кутові швидкості w для всіх цих точок однакові (і за величиною та напрямком), замінимо в рівнянні (7) лінійну швидкість на кутову (vi = wr i):

. (8)

Введемо до рівняння (8) момент сили, що діє на частку. Для цього помножимо ліву та праву частину рівняння (8) на радіус r i , який по відношенню до результуючої сили є плечем:

. (9)

, (10)

де кожен член у правій частині рівняння (10) є моментом відповідної сили щодо осі обертання. Якщо в це рівняння ввести кутове прискорення обертання матеріальної точки маси Δm i щодо осі (=) та її момент інер-

ції ΔI i щодо цієї ж осі (=ΔI i), то рівняння обертального движ-

ня матеріальної точки щодо осі набуде вигляду:

Аналогічні рівняння можна записати всім інших матеріальних точок, які входять у це тверде тіло. Знайдемо суму цих рівнянь з урахуванням того, що величина кутового прискорення для всіх матеріальних точок даного тіла, що обертається, буде однаковою, отримаємо:

Сумарний момент внутрішніх сил дорівнює нулю, тому що кожна внутрішня сила, згідно з третім законом Ньютона, має рівну за величиною, але протилежно спрямовану собі силу, прикладену до іншої матеріальної точки тіла, з таким самим плечем. Сумарний момент = М - є крутний момент всіх зовнішніх сил, що діють на тіло, що обертається. Сума моментів інерції = визначає момент інерції даного тіла щодо осі обертання. Після підстановки зазначених величин рівняння (12) остаточно отримаємо:

Рівняння (13) називається основним рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла щодо осі. Оскільки =, а момент інерції тіла щодо цієї осі обертання є постійною величиною і, отже, його можна внести під знак диференціала, то рівняння (13) можна записати у вигляді:

Величина

називається моментом імпульсу тіла щодо осі. З урахуванням (15) рівняння (14) можна записати у вигляді:

Рівняння (13-16) носять скалярний характер і застосовуються тільки для опису обертального руху тіл щодо осі. При описі обертального руху тіл щодо точки (або полюса або початку), що належить даної осі, зазначені рівняння відповідно записуються у векторному вигляді:

(13 *); (14 *); (15 *); (16 *).

При порівнянні рівнянь поступального та обертального руху тіла видно, що при обертальному русі замість сили виступає її момент сили, замість маси тіла – момент інерції тіла, замість імпульсу (або кількості руху) – момент імпульсу (або момент кількості руху). З рівнянь (16) і (16 *) випливає відповідно рівняння моментів щодо осі та щодо точки:

dL=Mdt (17); (17 *).

Відповідно до рівняння моментів щодо осі (17) – зміна моменту імпульсу

са тіла щодо нерухомої осі дорівнює моменту імпульсу зовнішньої сили, що діє на тіло щодо цієї ж осі. Щодо точки (17 *) рівняння моментів формулюється: зміна вектора моменту імпульсу щодо точки дорівнює імпульсу моменту вектора сили, що діє на тіло, щодо цієї точки.

З рівнянь (17) і (17*) випливає закон збереження моменту імпульсу твердого тіла як щодо осі, і щодо точки. З рівняння (17) випливає, якщо сумарний момент усіх зовнішніх сил М щодо осі дорівнює нулю

(M=0, отже і dL=0) момент імпульсу цього тіла щодо осі його обертання залишається постійною величиною (L=Const).

Щодо точки: якщо сумарний вектор моменту всіх зовнішніх сил щодо точки обертання залишається незмінним, то вектор моменту імпульсу цього тіла щодо цієї ж точки залишається постійним.

Слід зазначити, що й система відліку, щодо якої розглядається обертання тіла, є неінерційною , то момент сили М включає як момент сил взаємодії, і момент сил інерції щодо тієї ж осі

або точки.

3 . Опис установки. Виведення робочої формули.

Рис.4. Лабораторне встановлення.

Основа 1, оснащене трьома регулювальними опорами, за допомогою яких встановлюється вертикальне положення штативів 2 та 9.

За допомогою міліметрової лінійки 3 і двох пересувних візирів 4 визначається відстань пройдений центром маятника 5 при його падінні. У верхній частині штативів 2 розташований вузол 6 регулювання довжини ниток маятника 5. На нижньому рухомому кронштейні 7 встановлений «світловий бар'єр» 8 – електронний вимірювач часу. На стійці 9 розташований «пусковий пристрій» 10.

Основним елементом установки є маятник 5, що складається з диска, через центр якого проходить вісь діаметром D. На цю вісь намотуються дві симетрично розташовані відносно площини диска нитки однакової довжини.

Дія установки заснована на законі збереження механічної анергії: повна механічна анергія Е системи, на яку діють лише консервативні сили, постійна та визначається відповідно до рівняння:

де -кінетична енергія обертального руху маятника, I-момент інерції маятника, w-кутова швидкість обертального руху диска.

Закручуючи на вісь маятника нитки , ми піднімаємо його на висоту h та створюємо йому запас потенційної енергії. Якщо відпустити маятник, то він починає опускатися під дією сили тяжіння, набуваючи одночасно обертального руху. У нижній точці, коли маятник опуститься на повну довжину ниток, поступальний рух припиниться вниз. При цьому диск, що розкрутився, зі стрижнем продовжує обертальний рух у тому ж напрямку за інерцією і знову намотує нитки на стрижень. Внаслідок цього диск зі стрижнем починає підніматися нагору. Після досягнення найвищої точки цикл коливального руху відновиться. Диск зі стрижнем буде здійснювати коливання вгору і вниз, такий пристрій і називається маятником Максвелла.

Для отримання робочої формули розглянемо сили, які діють маятник Максвелла (рис.5).

Такими силами є: сила тяжіння m, прикладена до центру мас системи та сила натягу ниток. Запишемо для цієї системи рівняння поступального руху маятника. Відповідно до другого закону Ньютона для поступального руху центру маси маятника рівняння руху має вигляд:

m= m+2, де прискорення центру мас маятника,

Сила натягу однієї нитки. Спроектуємо це рівняння на вісь ОУ, що збігається з напрямком руху центру мас маятника:

m= mg – 2T (19)

Крім поступального руху маятник бере участь і у обертальному русі за рахунок дії на нього моменту сили Т. Тоді для такого руху маятника запишемо основний закон динаміки обертального руху як для абсолютно твердого тіла:

де I – момент інерції колеса маятника щодо осі обертання, -кутове прискорення маятника, М – результуючий момент зовнішніх сил щодо осі обертання колеса маятника.

Якщо немає прослизання між, після простих перетворень, отримаємо формулу для розрахунку моменту інерції I у вигляді:

Оскільки величини I, m і r, що входять у рівняння (24), у процесі руху не змінюються, рух маятника має відбуватися з постійним прискоренням. Для такого руху відстань h, пройдене за час t, при русі з початковою нульовою швидкістю дорівнює . Звідки. Підставивши знайдене прискорення рівняння (24) і замінивши величину радіуса осі маятника r на її діаметр D, остаточно отримаємо основну робочу формулу для розрахунку моменту інерції маятника:

У робочій формулі (25):

m – маса маятника, що дорівнює сумі мас диска m д, та осі m про;

D – зовнішній діаметр осі маятника разом із намотаною на неї ниткою підвіски

(D = D 0 + d o , де D o – діаметр осі маятника, d o – діаметр нитки підвіски);

t - час проходження маятником відстані h у разі його падіння;

g – прискорення вільного падіння.

Порядок виконання роботи.

Регулюючи довжину ниток регулювальними гвинтами 6, встановіть горизонтальне положення стрижня (осі), на якому закріплено колесо маятника Максвелла.
Встановіть світловий бар'єр 8 так, щоб під час руху маятника Максвелла стрижень (вісь маятника) вільно проходив через світловий бар'єр.
Вимірювальною лінійкою 3 визначте відстань h, яку переміститься під час руху центр мас колеса Максвелла.

10

товщину нитки d o .

За даними таблиці:

а) використовуючи формулу (25) визначити середнє значення моменту інерції колеса маятника Максвелла, знайти похибку та відносну помилку результату;

в) за даними таблиці h i і t i побудувати графік залежності відстані, пройденого точкою центру мас колеса Максвелла за вертикального руху вниз, від часу.

Таблиця D = (D o + d o) = ... ... м

№ пп	h i , м	t i , з	I i , кг·м 2	ΔI i , кг·м 2	(ΔI i) 2	а i , мс -2	(Δ а i ,)	(Δ а i ,) 2
1.
2.
………
…….
7.

Нижегородський Державний Технічний Університет

Виксунський Філія

Лабораторна робота №1-4

із загальної фізики

Маятник Максвелла

Виконала:

Герасимова Є.М.

ПТК-09

Перевірив:

Маслов В.П.

1. Ціль роботи .

Визначення моменту інерції маятника Максвелла.

2.Короткі відомості з теорії

Дія приладу засновано на одному з основних законів механіки - законі збереження механічної анергії: повна механічна анергія системи, яку діють лише консервативні сили, постійна. Маятник Максвелла є тверде тіло, насаджене на вісь. Ось підвішена на двох нитках, що накручуються на неї (рис.1). Нехтуючи силами тертя, систему вважатимуться консервативною. потенційної анергії. При звільненні маятника він починає рух під дією сили тяжіння: поступальний донизу і обертальний навколо своєї осі. При цьому потенційна енергія перетворюється на кінетичну. Опустившись у крайнє нижнє становище, маятник за інерцією обертатиметься у тому напрямі, нитки намотуються на вісь і маятник підніметься. Так відбуваються коливання маятника.

Малюнок 1

Напишемо рівняння руху маятника. При поступальному русі маятника за другим законом Ньютона з урахуванням чинних ні маятник сил можна написати

де m - маса маятника, g -прискорення сили тяжкості, a - прискорення поступального руху центру мас маятника,

Т-сила натягу однонитки ,

Проектуючи це рівняння, отримаємо

ma = mg-2T. (1)

Для обертального руху маятника запишемо основний закон динаміки обертального руху для абсолютно твердого тіла:

, де J-момент інерції маятника щодо його осі обертання, -кутове прискорення маятника, М -результуючий момент зовнішніх сил щодо осі обертання.

Оскільки момент сили тяжіння щодо осі обертання дорівнює нулю,

, (2)

де r-радіус осі. Так як
та з (1)2Т =m(g-a), можемо написати:

а після перетворень

Прискорення а може бути отримано за виміряним часом руху і проходимим маятником відстані hз рівняння рівноприскореного руху без початкової швидкості:

. Тоді

І якщо підставити діаметр осі D, отримаємо основну розрахункову формулу

. (3)

3.Опис експериментальної установки

З хема лабораторного стенду зображено на рис. 1. Основним елементом стенду є диск 1, через центр якого проходить вісь 2. На цю вісь намотуються дві симетрично розташовані нитки З. У вихідному положенні (показано пунктиром на рис. 1) диск утримується електромагнітами 4. При відключенні електромагнітів диск починає рухатися вниз з одночасним розкручуванням ниток.

Складне рух диска можна як накладання двох незалежних рухів - поступального і обертального. Відстань, що проходить центром інерції диска за рахунок поступального руху, відраховується за вертикальною шкалою 5. Відлік часу поступального руху проводиться по мілісекундоміру 6, на який подається сигнал від фотодатчика 7 в той момент, коли край диска, що опускається, перетинає світловий промінь фотодатчика.

При необхідності змінити загальну зсуву шляху, що проходить диском при поступальному русі, регулюють довжину ниток за допомогою гвинта 8. При цьому платформу 9 з фотодатчиком також відповідно переміщають, звільняючи гвинт 10, так що диск, що опускається, перетинав світловий промінь, але не торкався при цьому самої платформи фотодатчика.

Величину прискорення поступального руху диска можна змінювати, додаючи диск змінні кільця 11 .

m =(0,050 0,003) кг

m д =(0,050 0,003) кг

m к1 =(0,158 0,003) кг

m к2 =(0,370 0,003) кг

m к2 =(0,670 0,003) кг

4. Вихідні дані

Таблиця №1

де m = д - маса валу і диска,

m до - маса кілець,

r-радіус валу,

R 1 - внутрішній радіус кілець,

R 2 - зовнішній радіус кілець,

h-висота підйому валу.

5.Розрахунки:

Розрахуємо експериментально момент інерції маятника Максвелла за такою формулою:

де m 1 =m +m д +m до I =0,05+0,05+0,158=0,258 кг

m 2 =m +m д +m до II =0,05+0,05+0,370=0,470 кг

m 3 =m +m д +m до III =0,05+0,05+0,670=0,770 кг

Таблиця №2

№ досвіду	m до ,кг	J, кг м 2

Обчислення значень – практично,

Аналіз графіка (графік див. на міліметрівці):

Оскільки зовнішні радіуси кілець різні, то й для кожної маси будуть різні, а отже, матимемо три графіки. Для кожного графіка ми маємо по одній точці
, а знаходимо за формулою

- перетин лінії графіка осі ординат,

на графіку, лінії графіка перетинають вісь ординат у значенні:

- Зміна відстаней,

Обчислення значень теоретично:

4.Визначення натягу ниток N і N max :

Якщо порівнювати силу натягу ниток з силою тяжіння, то ми побачимо, що сила натягу нитки приблизно дорівнює силі тяжіння маятника, а сила натягу нитки maxв 2-2,5 рази більша за силу тяжіння маятника.

Визначення похибок:

маса валу+мале кільце+диск:

маса валу+середнє кільце+диск:

маса валу+велике кільце+диск:

радіус валу:

похибка радіусів диск + кільце:

мале кільце+диск:

середнє кільце+диск:

велике кільце+диск:

похибка радіусу диска:

похибка моменту інерції:

Висновок:У ході роботи ми познайомилися з маятником Максвелла, навчилися визначати момент інерції маятника Максвелла. Виниклі розбіжності між практичними та теоретичними обчисленнями пояснюються дією сил опору.