Лінійні рівняння. Види лінійних рівнянь. Розв'язання лінійних рівнянь з прикладами Що називається лінійним рівнянням

Лінійне рівняння- Це рівняння алгебри. У цьому рівнянні повна міра складових його багаточленів дорівнює одиниці.

Лінійні рівняння представляють у такому вигляді:

У загальній формі: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b = 0

У канонічній формі: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b.

Лінійне рівняння з однією змінною.

Лінійне рівняння з 1-ою змінною наводиться до вигляду:

ax+ b=0.

Наприклад:

2х + 7 = 0. Де а = 2, b = 7;

0,1 х - 2,3 = 0.Де а=0,1, b=-2,3;

12х + 1/2 = 0.Де а = 12, b = 1/2.

Число коренів залежить від aі b:

Коли a= b=0 , Отже, рівняння є необмежену кількість рішень, оскільки .

Коли a=0 , b≠ 0 , Отже, у рівняння немає коренів, оскільки .

Коли a ≠ 0 , Отже, у рівняння є лише один корінь.

Лінійне рівняння із двома змінними.

Рівнянням зі змінною xє рівність типу A(x)=B(x), де A(x)і B(x)- Вирази від x. При підстановці множини Tзначень xв рівняння отримуємо істинну числову рівність, яка називається безліччю істинностіцього рівняння чи розв'язання заданого рівняння, а всі такі значення змінної коріння рівняння.

Лінійні рівняння 2-х змінних представляють у такому вигляді:

У загальній формі: ax + by + c = 0,

У канонічній формі: ax + by = -c,

У формі лінійної функції: y = kx + m, де .

Рішенням чи корінням цього рівняння є така пара значень змінних (x; y), яка перетворює його на тотожність . Цих рішень (коренів) у лінійного рівняння з двома змінними необмежену кількість. Геометричною моделлю (графіком) даного рівняння є пряма y=kx+m.

Якщо у рівнянні є ікс у квадраті, то таке рівняння називається

Рівняння з одним невідомим, яке після розкриття дужок та приведення подібних членів набуває вигляду

aх + b = 0, де a і b довільні числа, називається лінійним рівнянням з одним невідомим. Сьогодні розберемося, як ці лінійні рівняння вирішувати.

Наприклад, усі рівняння:

2х + 3 = 7 - 0,5 х; 0,3 х = 0; x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) – лінійні.

Значення невідомого, що звертає рівняння у правильну рівність, називається рішенням або коренем рівняння .

Наприклад, якщо в рівнянні 3х + 7 = 13 замість невідомого х підставити число 2 то отримаємо правильну рівність 3 · 2 +7 = 13. Значить, значення х = 2 є рішення або корінь рівняння.

А значення х = 3 не перетворює рівняння 3х + 7 = 13 у правильну рівність, оскільки 3· 2 +7 ≠ 13. Значить, значення х = 3 не є розв'язком або коренем рівняння.

Розв'язання будь-яких лінійних рівнянь зводиться до розв'язання рівнянь виду

aх + b = 0.

Перенесемо вільний член із лівої частини рівняння в праву, змінивши при цьому знак перед b на протилежний, отримаємо

Якщо a ≠ 0, то х = ‒ b/a .

приклад 1. Розв'яжіть рівняння 3х + 2 =11.

Перенесемо 2 з лівої частини рівняння в праву, змінивши при цьому знак перед 2 протилежний, отримаємо
3х = 11 - 2.

Виконаємо віднімання, тоді
3х = 9.

Щоб знайти їх треба розділити твір на відомий множник, тобто
х = 9: 3.

Значить, значення х = 3 є розв'язком чи коренем рівняння.

Відповідь: х = 3.

Якщо а = 0 та b = 0, Отримаємо рівняння 0х = 0. Це рівняння має нескінченно багато рішень, так як при множенні будь-якого числа на 0 ми отримуємо 0, але b теж дорівнює 0. Рішенням цього рівняння є будь-яке число.

приклад 2.Розв'яжіть рівняння 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

Розкриємо дужки:
5х - 15 + 2 = 3х - 12 + 2х - 1.

5х - 3х - 2х = - 12 - 1 + 15 - 2.

Наведемо такі члени:
0х = 0.

Відповідь: х - будь-яке число.

Якщо а = 0 та b ≠ 0, Отримаємо рівняння 0х = - b. Це рівняння рішень немає, оскільки з множенні будь-якого числа на 0 ми отримуємо 0, але b ≠ 0 .

приклад 3.Розв'яжіть рівняння х + 8 = х + 5.

Згрупуємо в лівій частині члени, які містять невідомі, а в правій – вільні члени:
х - х = 5 - 8.

Наведемо такі члени:
0х = ‒ 3.

Відповідь: немає рішень.

на малюнку 1 зображено схему розв'язання лінійного рівняння

Складемо загальну схему розв'язання рівнянь з однією змінною. Розглянемо рішення прикладу 4.

приклад 4. Нехай треба розв'язати рівняння

1) Помножимо всі члени рівняння на найменше загальне кратне знаменників, що дорівнює 12.

2) Після скорочення отримаємо
4 (х - 4) + 3 · 2 (х + 1) - 12 = 6 · 5 (х - 3) + 24х - 2 (11х + 43)

3) Щоб відокремити члени, які містять невідомі та вільні члени, розкриємо дужки:
4х - 16 + 6х + 6 - 12 = 30х - 90 + 24х - 22х - 86.

4) Згрупуємо в одній частині члени, які містять невідомі, а в іншій – вільні члени:
4х + 6х - 30х - 24х + 22х = - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Наведемо такі члени:
‒ 22х = ‒ 154.

6) Розділимо на – 22 , Отримаємо
х = 7.

Як бачимо, корінь рівняння дорівнює семи.

Взагалі такі рівняння можна вирішувати за наступною схемою:

а) привести рівняння до цілого виду;

б) розкрити дужки;

в) згрупувати члени, що містять невідоме, в одній частині рівняння, а вільні члени – в іншій;

г) навести таких членів;

д) вирішити рівняння виду aх = b, яке одержали після приведення подібних членів.

Однак ця схема не є обов'язковою для будь-якого рівняння. При розв'язанні багатьох простіших рівнянь доводиться починати не з першого, а з другого ( приклад. 2), третього ( приклад. 1, 3) і навіть із п'ятого етапу, як у прикладі 5.

Приклад 5.Розв'яжіть рівняння 2х = 1/4.

Знаходимо невідоме х = 1/4: 2,
х = 1/8 .

Розглянемо розв'язання деяких лінійних рівнянь, що зустрічаються на основному державному екзамені.

Приклад 6.Розв'яжіть рівняння 2 (х + 3) = 5 - 6х.

2х + 6 = 5 - 6х

2х + 6х = 5 - 6

Відповідь: ‒ 0, 125

Приклад 7.Розв'яжіть рівняння – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

- 30 + 18х = 8х - 7

18х - 8х = - 7 +30

Відповідь: 2,3

Приклад 8. Розв'яжіть рівняння

3 (3х - 4) = 4 · 7х + 24

9х - 12 = 28х + 24

9х - 28х = 24 + 12

Приклад 9.Знайдіть f(6), якщо f(x + 2) = 3 7-х

Рішення

Тому що треба знайти f(6), а нам відомо f(x + 2),
то х + 2 = 6.

Вирішуємо лінійне рівняння х + 2 = 6,
отримуємо х = 6 - 2, х = 4.

Якщо х = 4, тоді
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Відповідь: 27.

Якщо у Вас залишилися питання, є бажання розібратися з розв'язанням рівнянь більш ґрунтовно, записуйтесь на мої уроки у РОЗКЛАДІ . Буду рада Вам допомогти!

Також TutorOnline радить переглянути новий відеоурок від нашого репетитора Ольги Олександрівни, який допоможе розібратися як з лінійними рівняннями, так і з іншими.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Лінійні рівняння. Рішення, приклади.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Лінійні рівняння.

Лінійні рівняння – не найскладніша тема шкільної математики. Але є там свої фішки, які можуть спантеличити навіть підготовленого учня. Розберемося?)

Зазвичай лінійне рівняння визначається як рівняння виду:

ax + b = 0 де а та b- Будь-які числа.

2х + 7 = 0. Тут а=2, b=7

0,1 х - 2,3 = 0 Тут а=0,1, b=-2,3

12х + 1/2 = 0 Тут а=12, b=1/2

Нічого складного, правда? Особливо, якщо не помічати слова: "де а і b – будь-які числа"... А якщо помітити, та необережно замислитись?) Адже, якщо а=0, b=0(будь-які числа можна?), то виходить кумедний вираз:

Але це ще не все! Якщо, скажімо, а=0,а b=5,виходить зовсім щось несусвітне:

Що напружує та підриває довіру до математики, так...) Особливо на іспитах. Але ж із цих дивних виразів ще й ікс знайти треба! Якого немає взагалі. І що дивно, цей ікс дуже просто знаходиться. Ми навчимося це робити. У цьому уроці.

Як дізнатися лінійне рівняння на вигляд? Це, дивлячись якийсь зовнішній вигляд.) Фішка в тому, що лінійними рівняннями називаються не тільки рівняння виду ax + b = 0 , але й будь-які рівняння, які перетвореннями та спрощеннями зводяться до цього виду. А хто ж його знає, зводиться воно чи ні?)

Чітко розпізнати лінійне рівняння можна у деяких випадках. Скажімо, якщо перед нами рівняння, в яких є лише невідомі в першому ступені та числа. Причому в рівнянні немає дробів з розподілом на невідоме , це важливо! А розподіл на число,або дріб числовий – це будь ласка! Наприклад:

Це лінійне рівняння. Тут є дроби, але немає іксів у квадраті, кубі і т.д., і немає іксів у знаменниках, тобто. ні поділу на ікс. А ось рівняння

не можна назвати лінійним. Тут ікси все в першому ступені, але є розподіл на вираз з іксом. Після спрощень та перетворень може вийти і лінійне рівняння, і квадратне, і все, що завгодно.

Виходить, що дізнатися лінійне рівняння в якомусь мудрому прикладі не можна, поки його майже не вирішиш. Це засмучує. Але у завданнях, як правило, не питають про вид рівняння, правда? У завданнях велять рівняння вирішувати.Це радує.)

Розв'язання лінійних рівнянь. приклади.

Все рішення лінійних рівнянь складається з тотожних перетворень рівнянь. До речі, ці перетворення (цілі два!) лежать в основі рішень всіх рівнянь математики.Іншими словами, рішення будь-якогорівняння починається з цих самих перетворень. Що стосується лінійних рівнянь, воно (рішення) цих перетвореннях і закінчується повноцінним відповіддю. Має сенс за посиланням сходити, правда?) Тим більше, там теж приклади розв'язання лінійних рівнянь є.

Для початку розглянемо найпростіший приклад. Без будь-яких підводних каменів. Нехай нам потрібно вирішити таке рівняння.

х - 3 = 2 - 4х

Це лінійне рівняння. Ікси все в першому ступені, поділу на ікс немає. Але, власне, нам все одно, яке це рівняння. Нам його вирішувати треба. Схема тут проста. Зібрати все, що з іксами в лівій частині рівності, все, що без іксів (числа) – у правій.

Для цього потрібно перенести - 4х у ліву частину, зі зміною знака, зрозуміло, а - 3 - У праву. До речі, це і є перше тотожне перетворення рівнянь.Здивовані? Значить, за посиланням не ходили, а дарма...) Отримаємо:

х + 4х = 2 + 3

Наводимо подібні, вважаємо:

Що нам не вистачає на повне щастя? Та щоб ліворуч чистий ікс був! П'ятірка заважає. Позбавляємося п'ятірки за допомогою другого тотожного перетворення рівнянь.А саме - ділимо обидві частини рівняння на 5. Отримуємо готову відповідь:

Приклад елементарний, ясна річ. Це для розминки.) Не дуже зрозуміло, чого я тут тотожні перетворення згадував? Ну добре. Беремо бика за роги.) Вирішимо щось солідніше.

Наприклад, ось це рівняння:

З чого почнемо? З іксами – вліво, без іксів – вправо? Можна і так. Маленькими кроками довгою дорогою. А можна відразу, універсальним та потужним способом. Якщо, звичайно, у вашому арсеналі є тотожні перетворення рівнянь.

Задаю вам ключове питання: що вам найбільше не подобається у цьому рівнянні?

95 осіб зі 100 дадуть відповідь: дроби ! Відповідь правильна. От і давайте їх позбудемося. Тому починаємо відразу зі другого тотожного перетворення. На що потрібно помножити дріб зліва, щоб знаменник скоротився геть? Правильно, на 3. А справа? 4. Але математика дозволяє нам множити обидві частини на те саме число. Як викрутимося? А помножимо обидві частини на 12! Тобто. загальний знаменник. Тоді і трійка скоротиться і четвірка. Не забуваймо, що множити треба кожну частину повністю. Ось як виглядає перший крок:

Розкриваємо дужки:

Зверніть увагу! Чисельник (х+2)я взяв у дужки! Це тому, що при множенні дробів, чисельник множиться весь, цілком! А тепер дроби і скоротити можна:

Розкриваємо дужки, що залишилися:

Не приклад, а суцільне задоволення!) Ось тепер згадуємо заклинання з молодших класів: з іксом – ліворуч, без ікса – праворуч!І застосовуємо це перетворення:

Наводимо такі:

І ділимо обидві частини 25, тобто. знову застосовуємо друге перетворення:

От і все. Відповідь: х=0,16

Беремо на замітку: щоб привести вихідне замороченого рівняння до приємного вигляду, ми використовували два (всього два!) тотожні перетворення- Перенесення вліво-вправо зі зміною знака і множення-розподіл рівняння на те саме число. Це універсальний спосіб! Працювати таким чином ми будемо з будь-якими рівняннями! Цілком будь-якими. Саме тому я про ці тотожні перетворення постійно занудно повторюю.)

Як бачимо, принцип розв'язання лінійних рівнянь простий. Беремо рівняння та спрощуємо його за допомогою тотожних перетворень до отримання відповіді. Основні проблеми тут у обчисленнях, а не в принципі вирішення.

Але... Зустрічаються в процесі розв'язання найелементарніших лінійних рівнянь такі сюрпризи, що можуть і у сильний ступор увігнати...) На щастя, таких сюрпризів може бути лише два. Назвемо їх особливими випадками.

Особливі випадки під час вирішення лінійних рівнянь.

Сюрприз перший.

Припустимо, трапилося вам найелементарніше рівняння, що-небудь, типу:

2х +3 = 5х +5 - 3х - 2

Злегка нудна, переносимо з іксом вліво, без ікса - вправо... Зі зміною знака, все чин-чинарем... Отримуємо:

2х-5х +3х = 5-2-3

Вважаємо, і... опаньки! Отримуємо:

Сама собою ця рівність не викликає заперечень. Нуль справді дорівнює нулю. Але ж ікс пропав! А ми зобов'язані записати у відповіді, чому дорівнює ікс.Інакше, рішення не вважається, так ...) Тупик?

Спокій! У таких сумнівних випадках рятують найзагальніші правила. Як розв'язувати рівняння? Що означає розв'язати рівняння? Це означає, знайти всі значення ікса, які, при підстановці у вихідне рівняння, дадуть нам правильну рівність.

Але вірна рівність у нас вжевийшло! 0=0, куди вже вірніше? Залишається збагнути, за яких іксів це виходить. Які значення ікса можна підставляти в вихіднерівняння, якщо ці ікси все одно скорочуються на повний нуль?Ну ж бо?)

Так! Ікси можна підставляти будь-які!Які бажаєте. Хоч 5, хоч 0,05, хоч -220. Вони все одно скоротяться. Якщо не вірите - можете перевірити.) Підставляйте будь-які значення ікса в вихіднерівняння та порахуйте. Весь час виходитиме чиста правда: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 і так далі.

Ось вам і відповідь: х – будь-яке число.

Відповідь можна записати різними математичними значками, суть не змінюється. Це абсолютно правильна і повноцінна відповідь.

Сюрприз другий.

Візьмемо те саме елементарне лінійне рівняння і змінимо в ньому лише одне число. Ось таке вирішуватимемо:

2х +1 = 5х +5 - 3х - 2

Після тих самих тотожних перетворень ми отримаємо щось інтригуюче:

Ось так. Вирішували лінійне рівняння, здобули дивну рівність. Говорячи математичною мовою, ми отримали неправильна рівність.А говорячи простою мовою, неправда це. Маячня. Але тим не менш, це марення - цілком вагома основа для правильного вирішення рівняння.)

Знову міркуємо, виходячи із загальних правил. Які ікси при підстановці у вихідне рівняння дадуть нам вірнерівність? Та ніякі! Немає таких іксів. Чого не підставляй, все скоротиться, залишиться марення.)

Ось вам і відповідь: рішень немає.

Це також цілком повноцінна відповідь. У математиці такі відповіді часто зустрічаються.

Ось так. Зараз, сподіваюся, зникнення іксів у процесі вирішення будь-якого (не тільки лінійного) рівняння вас анітрохи не збентежить. Справа вже знайома.)

Тепер, коли ми розібралися з усіма підводними каменями в лінійних рівняннях, має сенс їх вирішувати.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

На попередніх заняттях ми знайомилися з висловлюваннями, а також навчалися їх спрощувати та обчислювати. Тепер переходимо до більш складного та цікавого, а саме до рівнянь.

Рівняння та його коріння

Рівність, що містять змінну (-і) називаються рівняннями. Вирішити рівняння , означає визначити значення змінної, у якому рівність буде правильним. Значення змінної називають коренем рівняння .

Рівняння можуть мати як один корінь, так і кілька або взагалі жодного.

При розв'язанні рівнянь використовуються такі властивості:

• якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини рівняння в іншу, змінивши при цьому знак на протилежний, то вийде рівняння рівносильне даному.
• якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне й те саме число, то вийде рівняння рівносильне даному.

Приклад №1Які з чисел: -2, -1, 0, 2, 3 є корінням рівняння:

Щоб вирішити це завдання необхідно просто по черзі підставити замість змінної x кожне з чисел і виділити ті числа, у яких рівність вважається правильним.

При "х = -2":

\((-2)^2=10-3 \cdot (-2) \)

\(4=4 \) - рівність вірна, значить (-2) - корінь нашого рівняння

При "х = -1"

\((-1)^2=10-3 \cdot (-1) \)

\(1=7 \) - рівність невірна, тому (-1) - не є коренем рівняння

\(0^2=10-3 \cdot 0 \)

\(0=10 \) - рівність невірна, тому 0 не є коренем рівняння

\(2^2=10-3 \cdot 2 \)

\(4=4 \) - рівність вірна, значить 2 - корінь нашого рівняння

\(3^2=10-3 \cdot 3 \)

\(9=1 \) - рівність невірна, тому 3 не є коренем рівняння

Відповідь: із поданих чисел, корінням рівняння \(x^2=10-3x \) є числа -2 та 2.

Лінійне рівняння з однією змінною – це рівняння виду ax = b, де x – змінна, а a та b – деякі числа.

Існує велика кількість видів рівнянь, але рішення багатьох із них зводиться саме до вирішення лінійних рівнянь, тому знання цієї теми є обов'язковим для подальшого навчання!

Приклад №2Розв'язати рівняння: 4(x+7) = 3-x

Для вирішення даного рівняння, в першу чергу, потрібно позбутися дужки, а для цього домножимо на 4 кожне з доданків у дужці, одержуємо:

4х + 28 = 3 - х

Тепер потрібно перенести всі значення з «х» в один бік, а решта в інший бік (не забуваючи міняти знак на протилежний), отримуємо:

4х + х = 3 - 28

Тепер віднімаємо значення ліворуч і праворуч:

Щоб знайти невідомий множник (х) потрібно твір (25) поділити на відомий множник (5):

Відповідь х = -5

Якщо сумніваєтеся у відповіді можна перевірити, підставивши отримане значення наше рівняння замість х:

4(-5+7) = 3-(-5)

8 = 8 - рівняння вирішено правильно!

Вирішити тепер щось складніше:

Приклад №3Знайти коріння рівняння: \((y+4)-(y-4)=6y \)

В першу чергу, також позбудемося дужок:

Відразу бачимо в лівій частині y та -y, а значить їх можна просто викреслити, а отримані числа просто скласти, і записати вираз:

Тепер можна перенести значення з «y» у ліву сторону, а значення з числами у праву. Але ж це не обов'язково, адже не важливо, з якого боку перебувають змінні, головне, щоб вони були без чисел, а отже, нічого переносити не будемо. Але для тих хто не зрозумів, то зробимо, як говорить правило і розділимо обидві частини на (-1), як свідчить властивість:

Щоб знайти невідомий множник, потрібно твір розділити на відомий множник:

\(y=\frac(8)(6) = \frac(4)(3) = 1\frac(1)(3) \)

Відповідь: y = \(1\frac(1)(3) \)

Можна також перевірити відповідь, але зробіть це самостійно.

Приклад №4\((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

Тепер я просто вирішу, без пояснень, а ви подивіться на хід рішення та правильний запис розв'язання рівнянь:

\((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

(0,5x +1,2-3,6 +4,5x = 4,8-0,3x +10,5x +0,6 \)

(0,5x +4,5x +0,3x-10,5x = 4,8 +0,6-1,2 +3,6 \)

\(x=\frac(7,8)(-5,2)=\frac(3)(-2) =-1,5 \)

Відповідь: x = -1,5

Якщо щось не зрозуміло під час рішення пишіть у коментарях

Розв'язання задач за допомогою рівнянь

Знаючи що таке рівняння та навчившись їх обчислювати - ви також відкриваєте собі доступ до розв'язання безлічі завдань, де для вирішення використовуються саме рівняння.

Не вдаватимуся в теорію, краще показати все і відразу на прикладах

Приклад №5У кошику було вдвічі менше яблук, ніж у ящику. Після того, як із кошика переклали в ящик 10 яблук, у ящику їх стало у 5 разів більше, ніж у кошику. Скільки яблук було у кошику, а скільки у ящику?

В першу чергу потрібно визначити, що ми приймемо за «х», у цьому завдання можна прийняти і ящики, і кошики, але я візьму яблука в кошику.

Значить, нехай у кошику було х яблук, тому що в ящику яблук було вдвічі більше, то візьмемо це за 2х. Після того, як із кошика яблука переклали в ящик у кошику яблук стало: х – 10, а значить, у ящику стало – (2х + 10) яблук.

Тепер можна скласти рівняння:

5(х-10) – у ящику стало в 5 разів більше яблук, ніж у кошику.

Прирівняємо перше значення і друге:

2x+10 = 5(x-10) і вирішуємо:

2х + 10 = 5х - 50

2х - 5х = -50 - 10

х = -60/-3 = 20 (яблук) - у кошику

Тепер, знаючи скільки яблук було в кошику, знайдемо скільки яблук було в ящику - оскільки їх було вдвічі більше, то результат помножимо на 2:

2 * 20 = 40 (яблук) - у ящику

Відповідь: у ящику – 40 яблук, а в кошику – 20 яблук.

Я розумію, що багато хто з вас, можливо, не до кінця розібрався у вирішенні завдань, але запевняю до цієї теми ми повернемося і ще не раз на наших уроках, а поки якщо у вас залишилися питання - ставте їх у коментарях.

Насамкінець ще кілька прикладів на вирішення рівнянь

Приклад №6\(2x - 0,7x = 0 \)

Приклад №7\(3p - 1 -(p+3) = 1 \)

Приклад №8\(6y-(y-1) = 4+5y \)

\(6y-y+1=4+5y \)

\(6y-y-5y=4-1 \)

\ (0y = 3 \) - коріння немає, т.к. на нуль ділити не можна!

Всім дякую за увагу. Якщо щось незрозуміло запитуйте у коментарях.

У вашому браузері вимкнено Javascript.
Щоб розрахувати, необхідно дозволити елементи ActiveX!

У статті розглянемо принцип розв'язання таких рівнянь як лінійні рівняння. Запишемо визначення цих рівнянь, поставимо загальний вигляд. Розберемо всі умови знаходження рішень лінійних рівнянь, використовуючи, зокрема, практичні приклади.

Звернемо увагу, що матеріал нижче містить інформацію щодо лінійних рівнянь з однією змінною. Лінійні рівняння із двома змінними розглядаються в окремій статті.

Що таке лінійне рівняння

Визначення 1

Лінійне рівняння- Це рівняння, запис якого такий:
a · x = b, де x- Змінна, aі b- Деякі числа.

Таке формулювання використано у підручнику алгебри (7 клас) Ю.М.Макаричова.

Приклад 1

Прикладами лінійних рівнянь будуть:

3 · x = 11(Рівняння з однією змінною xпри а = 5і b = 10);

− 3 , 1 · y = 0 (лінійне рівняння зі змінною y, де а = - 3, 1і b = 0);

x = − 4і − x = 5 , 37(лінійні рівняння, де число aзаписано у явному вигляді і дорівнює 1 і - 1 відповідно. Для першого рівняння b = - 4;для другого - b = 5, 37) і т.п.

У різних навчальних матеріалах можуть траплятися різні визначення. Наприклад, Віленкін Н.Я. до лінійних відносить також ті рівняння, які можна перетворити на вигляд a · x = bза допомогою перенесення доданків з однієї частини до іншої зі зміною знака та приведення подібних доданків. Якщо слідувати такому трактуванню, рівняння 5 · x = 2 · x + 6 -також лінійне.

А ось підручник алгебри (7 клас) Мордковіча А.Г. задає такий опис:

Визначення 2

Лінійне рівняння з однією змінною x – це рівняння виду a · x + b = 0, де aі b- Деякі числа, звані коефіцієнтами лінійного рівняння.

Приклад 2

Прикладом лінійних рівнянь такого виду можуть бути:

3 · x − 7 = 0 (a = 3 , b = − 7) ;

1, 8 · y + 7, 9 = 0 (a = 1, 8, b = 7, 9).

Але також наведено приклади лінійних рівнянь, які ми вже використовували вище: виду a · x = bнаприклад, 6 · x = 35.

Ми відразу домовимося, що в цій статті під лінійним рівнянням з однією змінною ми розумітимемо рівняння запису a · x + b = 0, де x- Змінна; a, b – коефіцієнти. Подібна форма лінійного рівняння нам бачиться найбільш виправданою, оскільки лінійні рівняння – це рівняння алгебри першого ступеня. А інші рівняння, зазначені вище, та рівняння, наведені рівносильними перетвореннями на вигляд a · x + b = 0, Визначимо, як рівняння, що зводяться до лінійних рівнянь.

За такого підходу рівняння 5 · x + 8 = 0 – лінійне, а 5 · x = − 8- Рівняння, що зводиться до лінійного.

Принцип розв'язання лінійних рівнянь

Розглянемо, як визначити, чи буде задане лінійне рівняння мати коріння і, якщо так, то скільки і як його визначити.

Визначення 3

Факт наявності коренів лінійного рівняння визначаться значеннями коефіцієнтів aі b.Запишемо ці умови:

• при a ≠ 0лінійне рівняння має єдиний корінь x = - b a;
• при a = 0і b ≠ 0лінійне рівняння не має коріння;
• при a = 0і b = 0лінійне рівняння має безліч коренів. По суті, у цьому випадку будь-яке число може стати коренем лінійного рівняння.

Дамо пояснення. Нам відомо, що в процесі розв'язування рівняння можливо здійснювати перетворення заданого рівняння в рівносильне йому, а значить має те ж коріння, що вихідне рівняння, або також не має коріння. Ми можемо робити наступні рівносильні перетворення:

• перенести доданок з однієї частини до іншої, змінивши знак на протилежний;
• помножити або розділити обидві частини рівняння на те саме число, не рівне нулю.

Таким чином, перетворимо лінійне рівняння a · x + b = 0, перенісши доданок bз лівої частини у праву частину зі зміною знака. Отримаємо: a · x = − b.

Отже, виробляємо поділ обох частин рівняння на рівне нулю число а,отримавши в результаті рівність виду x = - b a. Тобто, коли a ≠ 0 ,вихідне рівняння a · x + b = 0рівносильно рівності x = - ba , в якому очевидний корінь - ba .

Методом від протилежного можна продемонструвати, що знайдений корінь - єдиний. Задамо позначення знайденого кореня - b a як х 1 .Висловимо припущення, що є ще один корінь лінійного рівняння з позначенням х 2 .І звичайно: x 2 ≠ x 1 ,а це, у свою чергу, спираючись на визначення рівних чисел через різницю, рівнозначне умові x 1 − x 2 ≠ 0 .З урахуванням вищесказаного ми можемо скласти такі рівності, підставивши коріння:
a · x 1 + b = 0і a · x 2 + b = 0.
Властивість числових рівностей дає можливість зробити почленное віднімання частин рівностей:

a · x 1 + b − (a · x 2 + b) = 0 − 0, звідси: a · (x 1 − x 2) + (b − b) = 0і далі a · (x 1 - x 2) = 0 .Рівність a · (x 1 − x 2) = 0є невірною, оскільки раніше умовою було поставлено, що a ≠ 0і x 1 − x 2 ≠ 0 .Отримана суперечність і служить доказом того, що при a ≠ 0лінійне рівняння a · x + b = 0має лише один корінь.

Обґрунтуємо ще два пункти умов, що містять a = 0.

Коли a = 0лінійне рівняння a · x + b = 0запишеться як 0 · x + b = 0. Властивість множення числа на нуль дає нам право стверджувати, що яке б число не було взято як x, підставивши його на рівність 0 · x + b = 0отримаємо b = 0 . Рівність справедлива при b = 0; в інших випадках, коли b ≠ 0 ,рівність стає невірною.

Таким чином, коли a = 0та b = 0 , будь-яке число може стати коренем лінійного рівняння a · x + b = 0, оскільки при виконанні цих умов, підставляючи замість xбудь-яке число, отримуємо вірну числову рівність 0 = 0 . Коли ж a = 0і b ≠ 0лінійне рівняння a · x + b = 0зовсім не матиме коріння, оскільки при виконанні зазначених умов, підставляючи замість xбудь-яке число, отримуємо неправильну числову рівність b = 0.

Всі наведені міркування дають нам можливість записати алгоритм, що дає змогу знайти рішення будь-якого лінійного рівняння:

• за видом запису визначаємо значення коефіцієнтів aі bта аналізуємо їх;
• при a = 0і b = 0рівняння матиме нескінченно багато коренів, тобто. будь-яке число стане коренем заданого рівняння;
• при a = 0і b ≠ 0
• при a, відмінному від нуля, починаємо пошук єдиного кореня вихідного лінійного рівняння:

1. перенесемо коефіцієнт bу праву частину зі зміною знака на протилежний, наводячи лінійне рівняння до виду a · x = − b;
2. обидві частини отриманої рівності ділимо на число a, що дасть нам корінь заданого рівняння, що шукається: x = - b a .

Власне описана послідовність дій і є відповідь на питання, як знаходити рішення лінійного рівняння.

Насамкінець уточнимо, що рівняння виду a · x = bвирішуються за схожим алгоритмом з єдиною відмінністю, що число bу такому записі вже перенесено в потрібну частину рівняння, і при a ≠ 0можна відразу виконувати розподіл частин рівняння на число a.

Таким чином, щоб знайти рішення рівняння a · x = b,використовуємо такий алгоритм:

• при a = 0і b = 0рівняння матиме нескінченно багато коренів, тобто. будь-яке число може стати його коренем;
• при a = 0і b ≠ 0задане рівняння не матиме коріння;
• при a, не рівному нулю, обидві частини рівняння поділяються на число a, що дає можливість знайти єдиний корінь, який дорівнює b a.

Приклади розв'язування лінійних рівнянь

Приклад 3

Необхідно вирішити лінійне рівняння 0 · x − 0 = 0.

Рішення

Після запису заданого рівняння бачимо, що a = 0і b = − 0(або b = 0,що те саме). Таким чином, задане рівняння може мати безліч коренів або будь-яке число.

Відповідь: x- Будь-яке число.

Приклад 4

Необхідно визначити, чи має коріння рівняння 0 · x + 2, 7 = 0.

Рішення

За записом визначаємо, що а = 0, b = 2, 7. Таким чином, задане рівняння не матиме коріння.

Відповідь:вихідне лінійне рівняння немає коренів.

Приклад 5

Задано лінійне рівняння 0 , 3 · x − 0 , 027 = 0 .Потрібно вирішити його.

Рішення

По запису рівняння визначаємо, що а = 0,3; b = - 0 , 027 що дозволяє нам стверджувати наявність єдиного кореня у заданого рівняння.

Наслідуючи алгоритм, переносимо b у праву частину рівняння, змінивши знак, отримуємо: 0,3 · x = 0,027.Далі розділимо обидві частини отриманої рівності на а = 0 3 тоді, x = 0 027 0 3 .

Здійснимо поділ десяткових дробів:

0,027 0,3 = 27 300 = 3 · 9 3 · 100 = 9 100 = 0, 09

Отриманий результат є коренем заданого рівняння.

Коротко рішення запишемо так:

0 , 3 · x - 0 , 027 = 0 , 0 , 3 · x = 0 , 027 , x = 0 , 027 0 , 3 , x = 0 , 09 .

Відповідь: x = 0,09.

Для наочності наведемо рішення рівняння запису a · x = b.

Приклад N

Задані рівняння: 1) 0 · x = 0; 2) 0 · x = − 9; 3) - 3 8 · x = - 3 3 4 . Потрібно вирішити їх.

Рішення

Усі задані рівняння відповідають запису a · x = b. Розглянемо по черзі.

У рівнянні 0 · x = 0, a = 0 і b = 0що означає: будь-яке число може бути коренем цього рівняння.

У другому рівнянні 0 · x = − 9: a = 0 і b = − 9 ,таким чином, це рівняння не матиме коріння.

По виду останнього рівняння - 3 8 · x = - 3 3 4 запишемо коефіцієнти: a = - 3 8, b = - 3 3 4, тобто. рівняння має єдиний корінь. Знайдемо його. Поділимо обидві частини рівняння на a отримаємо в результаті: x = - 3 3 4 - 3 8 . Спростимо дріб, застосувавши правило поділу негативних чисел з наступним переведенням змішаного числа в звичайний дріб і поділом звичайних дробів:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 · 8 3 = 15 · 8 4 · 3 = 10

Коротко рішення запишемо так:

3 8 · x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 x = 10 .

Відповідь: 1) x– будь-яке число, 2) рівняння немає коренів, 3) x = 10 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter