Яку оцінку має можливість події p. Класичне та статистичне визначення ймовірності. Каталог формул з теорії ймовірності онлайн

Фактично формули (1) та (2) це короткий запис умовної ймовірності на основі таблиці сполученості ознак. Повернемося, наприклад, розглянутому (рис. 1). Припустимо, нам стало відомо, ніби якась сім'я збирається купити широкоекранний телевізор. Яка ймовірність того, що ця сім'я справді придбає такий телевізор?

Мал. 1. Поведінка покупців широкоекранних телевізорів

В даному випадку нам необхідно обчислити умовну ймовірність Р (купівля здійснена | купівля планувалася). Оскільки нам відомо, що сім'я планує придбання, вибірковий простір складається не з усіх 1000 сімей, а лише з тих, що планують придбання широкоекранного телевізора. Із 250 таких сімей 200 справді купили цей телевізор. Отже, ймовірність того, що сім'я дійсно придбає широкоекранний телевізор, якщо вона запланувала це, можна обчислити за такою формулою:

Р (купівля здійснена | купівля планувалася) = кількість сімей, які планували та купили широкоекранний телевізор / кількість сімей, які планували купити широкоекранний телевізор = 200 / 250 = 0,8

Той самий результат дає формула (2):

де подія Аполягає в тому, що сім'я планує покупку широкоформатного телевізора, а подію У- У тому, що вона його дійсно купить. Підставляючи у формулу реальні дані, отримуємо:

Дерево рішень

На рис. 1 сім'ї розділені на чотири категорії: які планували покупку широкоекранного телевізора і не планували, а також купили такий телевізор і не купили. Аналогічну класифікацію можна виконати за допомогою дерева розв'язків (рис. 2). Дерево, зображене на рис. 2, має дві гілки, що відповідають сім'ям, які планували придбати широкоекранний телевізор, та сім'ям, які не робили цього. Кожна з цих гілок поділяється на дві додаткові гілки, що відповідають сім'ям, які купили і не купили широкоекранний телевізор. Імовірності, записані на кінцях двох основних гілок, є безумовними ймовірностями подій Аі А'. Імовірності, записані на кінцях чотирьох додаткових гілок є умовними ймовірностями кожної комбінації подій Аі У. Умовні ймовірності обчислюються шляхом поділу спільної ймовірності подій на безумовну ймовірність кожного з них.

Мал. 2. Дерево рішень

Наприклад, щоб визначити ймовірність того, що сім'я придбає широкоекранний телевізор, якщо вона запланувала зробити це, слід визначити ймовірність події купівля запланована та здійснена, а потім поділити його на ймовірність події купівля запланована. Переміщаючись по дереву рішення, зображене на рис. 2, отримуємо наступну (аналогічну попередньому) відповідь:

Статистична незалежність

У прикладі з покупкою широкоекранного телевізора ймовірність того, що випадково обрана сім'я придбала широкоекранний телевізор за умови, що вона планувала це зробити, дорівнює 200/250 = 0,8. Нагадаємо, що безумовна ймовірність того, що випадково обрана сім'я набула широкоекранного телевізора, дорівнює 300/1000 = 0,3. Звідси випливає дуже важливий висновок. Апріорна інформація про те, що сім'я планувала покупку, впливає на ймовірність самої покупки.Інакше кажучи, ці дві події залежать одна від одної. На противагу цьому прикладу існують статистично незалежні події, ймовірності яких не залежать одна від одної. Статистична незалежність виражається тотожністю: Р(А|В) = Р(А), де Р(А|В)- ймовірність події Аза умови, що сталася подія У, Р(А)- Безумовна ймовірність події А.

Зверніть увагу на те, що події Аі У Р(А|В) = Р(А). Якщо таблиці сполученості ознак, має розмір 2×2, ця умова виконується хоча б однієї комбінації подій Аі У, воно буде справедливим і для будь-якої іншої комбінації. У нашому прикладі події купівля запланованаі купівля здійсненане є статистично незалежними, оскільки інформація про одну подію впливає на ймовірність іншої.

Розглянемо приклад, де показано, як перевірити статистичну незалежність двох подій. Запитаємо у 300 сімей, які купили широкоформатний телевізор, чи задоволені вони своєю покупкою (рис. 3). Визначте, чи пов'язані між собою ступінь задоволеності покупкою та тип телевізора.

Мал. 3. Дані, що характеризують ступінь задоволеності покупців широкоекранних телевізорів

Судячи з цих даних,

В той же час,

Р (покупець задоволений) = 240/300 = 0,80

Отже, ймовірність того, що покупець задоволений покупкою, і того, що сім'я купила HDTV-телевізор, є рівними між собою, і ці події є статистично незалежними, оскільки ніяк не пов'язані між собою.

Правило множення ймовірностей

Формула для обчислення умовної ймовірності дозволяє визначити ймовірність спільної події А і В. Дозволивши формулу (1)

щодо спільної ймовірності Р(А та В), Отримуємо загальне, правило множення ймовірностей. Ймовірність події А і Вдорівнює ймовірності події Аза умови, що настала подія У У:

(3) Р(А та В) = Р(А|В) * Р(В)

Розглянемо як приклад 80 сімей, які купили широкоекранний HDTV-телевізор (рис. 3). У таблиці зазначено, що 64 сім'ї задоволені покупкою та 16 – ні. Припустимо, що серед них випадково вибираються дві родини. Визначте ймовірність, що обидва покупці виявляться задоволеними. Використовуючи формулу (3), отримуємо:

Р(А та В) = Р(А|В) * Р(В)

де подія Аполягає в тому, що друга сім'я задоволена своєю покупкою, а подія У- У тому, що перша сім'я задоволена своєю покупкою. Імовірність того, що перша сім'я задоволена своєю покупкою, дорівнює 64/80. Однак ймовірність того, що друга сім'я також задоволена своєю покупкою, залежить від першої родини. Якщо перша сім'я після опитування не повертається у вибірку (вибір без повернення), кількість респондентів знижується до 79. Якщо перша сім'я виявилася задоволеною своєю покупкою, ймовірність того, що друга сім'я також буде задоволена, дорівнює 63/79, оскільки у вибірці залишилося лише 63 сім'ї, задоволені своїм придбанням. Таким чином, підставляючи у формулу (3) конкретні дані, отримаємо наступну відповідь:

Р(А та В) = (63/79)(64/80) = 0,638.

Отже, ймовірність того, що обидві сім'ї задоволені своїми покупками, дорівнює 63,8%.

Припустимо, що після опитування перша сім'я повертається у вибірку. Визначте ймовірність того, що обидві сім'ї виявляться задоволеними своєю покупкою. У цьому випадку ймовірність того, що обидві сім'ї задоволені своєю покупкою однакові, і дорівнюють 64/80. Отже, Р(А та В) = (64/80)(64/80) = 0,64. Таким чином, ймовірність того, що обидві сім'ї задоволені своїми покупками, дорівнює 64%. Цей приклад показує, що вибір другої сім'ї залежить від вибору першої. Таким чином, замінюючи у формулі (3) умовну ймовірність Р(А|В)ймовірністю Р(А), ми одержуємо формулу множення ймовірностей незалежних подій.

Правило збільшення ймовірностей незалежних подій.Якщо події Аі Ує статистично незалежними, ймовірність події А і Вдорівнює ймовірності події А, помноженої на ймовірність події У.

(4) Р(А та В) = Р(А)Р(В)

Якщо це правило виконується для подій Аі УОтже, вони є статистично незалежними. Таким чином, існують два способи визначити статистичну незалежність двох подій:

Події Аі Ує статистично незалежними один від одного тоді і лише тоді, коли Р(А|В) = Р(А).
Події Аі Bє статистично незалежними один від одного тоді і лише тоді, коли Р(А та В) = Р(А)Р(В).

Якщо в таблиці сполученості ознак, що має розмір 2×2, одна з цих умов виконується хоча б для однієї комбінації подій Аі B, воно буде справедливим і для будь-якої іншої комбінації.

Безумовна ймовірність елементарної події

(5) Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2) + … + P(A|B k)Р(B k)

де події B 1 , B 2 ... B k є взаємовиключними і вичерпними.

Проілюструємо застосування цієї формули з прикладу рис.1. Використовуючи формулу (5), отримуємо:

Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2)

де Р(А)- ймовірність того, що купівля планувалася, Р(У 1)- ймовірність того, що покупка здійснена, Р(В 2)- Імовірність того, що покупка не здійснена.

ТЕОРЕМА БАЙЄСА

Умовна ймовірність події враховує інформацію про те, що сталася інша подія. Цей підхід можна використовувати як для уточнення ймовірності з урахуванням нової інформації, так і для обчислення ймовірності, що ефект, що спостерігається, є наслідком певної конкретної причини. Процедура уточнення цих ймовірностей називається теоремою Байєса. Вперше вона була розроблена Томасом Байєсом у 18 столітті.

Припустимо, що компанія, згадана вище, досліджує ринок збуту нової моделі телевізора. У минулому 40% телевізорів, створених компанією, мали успіх, а 60% моделей визнання не отримали. Перш ніж оголосити про випуск нової моделі, фахівці з маркетингу ретельно досліджують ринок та фіксують попит. У минулому успіх 80% моделей, які здобули визнання, прогнозувався заздалегідь, водночас 30% сприятливих прогнозів виявились невірними. Для нової моделі відділ маркетингу дав сприятливий прогноз. Яка ймовірність того, що нова модель телевізора матиме попит?

Теорему Байєса можна вивести з визначень умовної ймовірності (1) та (2). Щоб обчислити ймовірність Р(В|А), візьмемо формулу (2):

і підставимо замість Р(А і В) значення формули (3):

Р(А та В) = Р(А|В) * Р(В)

Підставляючи замість Р(А) формулу (5), отримуємо теорему Байєса:

де події B 1 , 2 , … k є взаємовиключними і вичерпними.

Введемо такі позначення: подія S - телевізор користується попитом, подія S' - телевізор не користується попитом, подія F - сприятливий прогноз, подія F’ - несприятливий прогноз. Припустимо, що P(S) = 0,4, P(S') = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S') = 0,3. Застосовуючи теорему Байєса отримуємо:

Можливість попиту на нову модельтелевізора за умови сприятливого прогнозу дорівнює 0,64. Таким чином, ймовірність відсутності попиту за умови сприятливого прогнозу дорівнює 1-0,64 = 0,36. Процес обчислень подано на рис. 4.

Мал. 4. (а) Обчислення за формулою Байєса для оцінки ймовірності попиту телевізорів; (б) Дерево рішення для дослідження попиту на нову модель телевізора

Розглянемо приклад застосування теореми Байєса для медичної діагностики. Імовірність того, що людина страждає від певного захворювання, дорівнює 0,03. Медичний тест дозволяє перевірити, чи це так. Якщо людина дійсно хвора, ймовірність точного діагнозу (стверджує, що людина хвора, коли вона дійсно хвора) дорівнює 0,9. Якщо людина здорова, ймовірність хибнопозитивного діагнозу (стверджує, що людина хвора, коли вона здорова) дорівнює 0,02. Допустимо, що медичний тест дав позитивний результат. Яка ймовірність того, що людина дійсно хвора? Яка ймовірність точного діагнозу?

Введемо такі позначення: подія D - людина хвора, подія D' - людина здорова, подія Т - позитивний діагноз, подія Т' - негативний діагноз. З умови завдання випливає, що Р(D) = 0,03, P(D') = 0,97, Р(T|D) = 0,90, P(T|D') = 0,02. Застосовуючи формулу (6), отримуємо:

Імовірність того, що при позитивному діагнозі людина дійсно хвора, дорівнює 0,582 (див. також рис. 5). Знаменник формули Байєса дорівнює ймовірності позитивного діагнозу, тобто. 0,0464.

Все на світі відбувається детерміновано чи випадково…
Арістотель

Імовірність: основні правила

Теорія ймовірностей обчислює ймовірність різних подій. Основним теоретично ймовірностей є поняття випадкового події.

Наприклад, ви кидаєте монету, вона випадково падає на герб або решку. Наперед ви не знаєте, на який бік монета впаде. Ви укладаєте договір страхування, заздалегідь не знаєте, будуть чи ні проводитися виплати.

У актуарних розрахунках необхідно вміти оцінювати можливість різних подій, тому теорія ймовірностей грає ключову роль. Жодна область математики не може оперувати з ймовірностями подій.

Розглянемо докладніше підкидання монети. Є два взаємно виключають результати: випадання герба або випадання решки. Результат кидання є випадковим, оскільки спостерігач неспроможна проаналізувати і врахувати всі чинники, які впливають результат. Яка ймовірність випадання герба? Більшість відповість ½, але чому?

Нехай формально Аозначає випадання герба. Нехай монета кидається nразів. Тоді ймовірність події Аможна визначити як частку тих кидків, у яких випадає герб:

де nзагальна кількість кидків, n(A)кількість випадань герба.

Відношення (1) називається частотоюподії Ау довгій серії випробувань.

Виявляється, у різних серіях випробувань відповідна частота при великих nгрупується біля деякої постійної величини Р(А). Ця величина називається ймовірністю події Аі позначається буквою Р- скорочення від англійського слова probability - ймовірність.

Формально маємо:

(2)

Цей закон називається законом великих чисел.

Якщо монета правильна (симетрична), то ймовірність випадання герба дорівнює ймовірності випадання решки і дорівнює ½.

Нехай Аі Удеякі події, наприклад, стався чи ні страховий випадок. Об'єднанням двох подій називається подія, яка полягає у виконанні події А, події У, або обох подій разом. Перетином двох подій Аі Уназивається подія, що полягає у здійсненні як події А, так і події У.

Основні правилаобчислення ймовірностей подій такі:

1. Імовірність будь-якої події укладена між нулем та одиницею:

2. Нехай А і У дві події, тоді:

Читається так:ймовірність об'єднання двох подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій мінус ймовірність перетину подій. Якщо події є несумісними або непересічними, то ймовірність об'єднання (суми) двох подій дорівнює сумі ймовірностей. Цей закон називається законом додавання ймовірностей.

Ми говоримо, що події є достовірними, якщо його ймовірність дорівнює 1. При аналізі тих чи інших явищ виникає питання, як впливає настання події Уна настання події А. Для цього вводиться умовна ймовірність :

(4)

Читається так:ймовірність настання Аза умови Удорівнює ймовірності перетину Аі У, поділеної на ймовірність події У.
У формулі (4) передбачається, що ймовірність події Убільше нуля.

Формулу (4) можна записати також у вигляді:

Це формула множення ймовірностей.

Умовну ймовірність називають також апостеріорної ймовірністю події А- ймовірність настання Апісля наступу У.

У цьому випадку саму ймовірність називають апріорний ймовірністю. Є ще кілька важливих формул, що інтенсивно використовуються в актуарних розрахунках.

Формула повної ймовірності

Допустимо, що проводиться досвід, про умови якого можна заздалегідь зробити взаємноприпущення (гіпотези), що виключають один одного:

Ми припускаємо, що має місце або гіпотеза, або … або. Імовірності цих гіпотез відомі та рівні:

Тоді має місце формула повноїймовірності :

(6)

Ймовірність настання події Адорівнює сумі творів ймовірності наступу Апри кожній гіпотезі на ймовірність цієї гіпотези.

Формула Байєса

Формула Байєса дозволяє перераховувати ймовірність гіпотез у світлі нової інформації, яку дав результат А.

Формула Байєса у певному сенсі є зворотною до формули повної ймовірності.

Розглянемо таке практичне завдання.

Завдання 1

Припустимо, відбулася авіакатастрофа та експерти зайняті дослідженням її причин. Заздалегідь відомі 4 причини, через які сталася катастрофа: або причина, або , або , або . За наявною статистикою ці причини мають такі ймовірності:

Під час огляду місця катастрофи знайдено сліди займання пального, згідно зі статистикою ймовірність цієї події за тих чи інших причин така:

Питання: яка причина катастрофи найімовірніша?

Обчислимо ймовірність причин за умови настання події А.

Звідси видно, що найімовірнішою є перша причина, оскільки її ймовірність максимальна.

Завдання 2

Розглянемо посадку літака на аеродром.

При посадці погодні умови можуть бути такими: низької хмарності немає, низька хмарність є. У першому випадку ймовірність благополучної посадки дорівнює P1. У другому випадку - Р2. Зрозуміло, що P1>P2.

Прилади, що забезпечують сліпу посадку, мають можливість безвідмовної роботи Р. Якщо є низька хмарність та прилади сліпої посадки відмовили, ймовірність вдалого приземлення дорівнює Р3, причому Р3<Р2 . Відомо, що для даного аеродрому частка днів на рік з низькою хмарністю дорівнює .

Знайти можливість благополучної посадки літака.

Потрібно знайти ймовірність.

Є два взаємно виключні варіанти: прилади сліпої посадки діють, прилади сліпої посадки відмовили, тому маємо:

Звідси за формулою повної ймовірності:

Завдання 3

Страхова компанія займається страхуванням життя. 10% застрахованих у цій компанії є курцями. Якщо застрахований не палить, ймовірність його смерті протягом року дорівнює 0.01. Якщо ж він курець, то ця ймовірність дорівнює 0.05.

Якою є частка курців серед тих застрахованих, які померли протягом року?

Варіанти відповідей: (А) 5%, (Б) 20%, (В) 36%, (Г) 56%, (Д) 90%.

Рішення

Введемо події:

Умова завдання означає, що

Крім того, оскільки події і утворюють повну групу попарно несумісних подій, то .
Імовірність, що цікавить нас, - це.

Використовуючи формулу Байєса, ми маємо:

тому вірним є варіант ( У).

Завдання 4

Страхова компанія продає договори страхування життя трьох категорій: стандартні, привілейовані та ультрапривілейовані.

50% усіх застрахованих є стандартними, 40% - привілейованими та 10% - ультрапривілейованими.

Імовірність смерті протягом року для стандартного застрахованого дорівнює 0.010, для привілейованого – 0.005, а для ультра привілейованого – 0.001.

Чому дорівнює ймовірність того, що застрахований, що помер, є ультрапривілейованим?

Рішення

Введемо на розгляд такі події:

У термінах цих подій ймовірність, що цікавить нас, - це. За умовою:

Оскільки події , утворюють повну групу попарно несумісних подій, використовуючи формулу Байєса ми маємо:

Випадкові величини та їх характеристики

Нехай деяка випадкова величина, наприклад, збитки від пожежі чи розмір страхових виплат.
Випадкова величина повністю характеризується своєю функцією розподілу.

Визначення.Функція називається функцією розподілу випадкової величини ξ .

Визначення.Якщо існує така функція, що для довільних a виконано

то кажуть, що випадкова величина ξ має густина розподілу ймовірності f(x).

Визначення.Нехай. Для безперервної функції розподілу F теоретичною α-квантиллюназивається рішення рівняння.

Таке рішення може бути не єдиним.

Квантиль рівня ½ називається теоретичною медіаною , квантили рівнів ¼ і ¾ -нижньою та верхньою квартилями відповідно.

В актуарних додатках важливу роль відіграє нерівність Чебишева:

за будь-якого

Математичне очікування символ.

Читається так:ймовірність того, що модуль більше менше або дорівнює математичному очікуванню величини модуль , поділеному на .

Час життя як випадкова величина

Невизначеність моменту смерті є основним фактором ризику страхування життя.

Щодо моменту смерті окремої людини не можна сказати нічого певного. Однак якщо ми маємо справу з великою однорідною групою людей і не цікавимося долею окремих людей цієї групи, то ми знаходимося в рамках теорії ймовірностей як науки про масові випадкові явища, що володіють властивістю стійкості частот.

Відповідно, ми можемо говорити про тривалість життя як про випадкову величину Т.

Функція виживання

Теоретично ймовірностей описують стохастичну природу будь-якої випадкової величини Тфункцією розподілу F(x),яка визначається як ймовірність того, що випадкова величина Тменше, ніж число x:

.

В актуарній математиці приємно працювати не з функцією розподілу, а з додатковою функцією розподілу . Щодо тривалого життя - це ймовірність того, що людина доживе до віку xроків.

називається функцією виживання(survival function):

Функція виживання має такі властивості:

У таблицях тривалості життя зазвичай вважають, що існує певний граничний вік (limiting age) (як правило, років) і відповідно при x>.

При описі смертності аналітичними законами зазвичай вважають, що життя необмежено, проте підбирають вигляд і параметри законів те щоб ймовірність життя понад деякого віку була зневажливо мала.

Функція виживання має простий статистичний зміст.

Припустимо, що ми спостерігаємо за групою з новонароджених (як правило), яких ми спостерігаємо і можемо фіксувати моменти їхньої смерті.

Позначимо кількість живих представників цієї групи у віці через . Тоді:

.

Символ Eтут і нижче використовується для позначення математичного очікування.

Отже, функція виживання дорівнює середній частці новонароджених, що дожили до віку з деякої фіксованої групи.

В актуарної математики часто працюють не з функцією виживання, а з щойно введеною величиною (зафіксувавши початковий розмір групи).

Функція виживання може бути відновлена за щільністю:

Характеристики тривалості життя

З практичної точки зору важливі такі характеристики:

1 . Середнєчас життя

,
2 . Дисперсіячасу життя

,
де
,

Наведені на даний момент у відкритому банку завдань ЄДІ з математики (mathege.ru), вирішення яких засноване на одній лише формулі, що є класичним визначенням ймовірності.
Зрозуміти формулу найпростіше на прикладах.
приклад 1.У кошику 9 червоних кульок та 3 синіх. Кулі відрізняються лише кольором. Навмання (не дивлячись) дістаємо один з них. Яка ймовірність того, що обрана таким чином куля виявиться синього кольору?
Коментар.У завданнях з теорії ймовірності відбувається щось (у разі наша дія з витягування кулі), що може мати різний результат - результат. Потрібно помітити, що результат можна дивитися по-різному. "Ми витягли якусь кулю" - теж результат. "Ми витягли синю кулю" - результат. "Ми витягли саме ось цю кулю з усіх можливих куль" - такий найменш узагальнений погляд на результат називається елементарним результатом. Саме елементарні результати маються на увазі у формулі для обчислення ймовірності.
Рішення.Тепер обчислимо можливість вибору синьої кулі.
Подія А: "вибрана куля виявилася синього кольору"
Загальна кількість всіх можливих результатів: 9+3=12 (кількість всіх куль, які ми могли б витягнути)
Число сприятливих для події А результатів: 3 (кількість таких результатів, при яких подія А сталася, тобто кількість синіх куль)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Відповідь: 0,25
Порахуємо для того ж завдання можливість вибору червоної кулі.
Загальна кількість можливих наслідків залишиться тим же, 12. Число сприятливих наслідків: 9. Шукана ймовірність: 9/12=3/4=0,75
Імовірність будь-якої події завжди лежить у межах від 0 до 1.
Іноді у повсякденному мовленні (але не теоретично ймовірності!) ймовірність подій оцінюють у відсотках. Перехід між математичною та розмовною оцінкою здійснюється шляхом множення (або поділу) на 100%.
Отже,
При цьому ймовірність дорівнює нулю у подій, які не можуть статися – неймовірні. Наприклад, у нашому прикладі це була б можливість витягнути з кошика зелену кулю. (Кількість сприятливих результатів дорівнює 0, Р(А)=0/12=0, якщо рахувати за формулою)
Імовірність 1 мають події, які абсолютно точно відбудуться без варіантів. Наприклад, ймовірність того, що «обрана куля виявиться або червоною або синьою» - для нашого завдання. (Кількість сприятливих результатів: 12, Р(А)=12/12=1)
Ми розглянули класичний приклад, що ілюструє визначення ймовірності. Усі подібні завдання ЄДІ з теорії ймовірності вирішуються застосуванням цієї формули.
На місці червоних та синіх куль можуть бути яблука та груші, хлопчики та дівчатка, вивчені та невивчені квитки, квитки, що містять та не містять питання з якоїсь теми (прототипи , ), браковані та якісні сумки або садові насоси (прототипи , ) – принцип залишається тим самим.
Дещо відрізняються формулюванням завдання теорії ймовірності ЄДІ, де потрібно обчислити ймовірність випадання якоїсь події на певний день. ( , ) Як і попередніх завданнях потрібно визначити, що є елементарним результатом, після чого застосувати ту ж формулу.
приклад 2.Конференція триває три дні. Першого і другого дня виступають по 15 доповідачів, третього дня – 20. Яка ймовірність того, що доповідь професора М. випаде на третій день, якщо порядок доповідей визначається жеребкуванням?
Що є елементарним результатом? – Присвоєння доповіді професора якогось одного із усіх можливих порядкових номерів для виступу. У жеребкуванні бере участь 15+15+20=50 осіб. Таким чином, доповідь професора М. може отримати один із 50 номерів. Отже, і елементарних результатів лише 50.
А які результати сприятливі? – Ті, за яких виявиться, що професор виступатиме третього дня. Тобто останні 20 номерів.
За формулою ймовірність P(A)=20/50=2/5=4/10=0,4
Відповідь: 0,4
Жеребкування тут є встановленням випадкової відповідності між людьми та впорядкованими місцями. У прикладі 2 встановлення відповідності розглядалося з погляду того, яке з місць могла б зайняти конкретна людина. Можна до тієї ж ситуації підходити з іншого боку: хто з людей з якою ймовірністю міг би потрапити на конкретне місце (прототипи , , , ):
приклад 3.У жеребкуванні беруть участь 5 німців, 8 французів та 3 естонці. Яка ймовірність того, що першим (/другим/сьомим/останнім – не важливо) виступатиме француз.
Кількість елементарних результатів – кількість всіх можливих людей, які могли б по жеребкуванню потрапити на це місце. 5+8+3=16 осіб.
Сприятливі наслідки – французи. 8 людей.
Шукана ймовірність: 8/16=1/2=0,5
Відповідь: 0,5
Трохи відрізняється прототип. Залишилися завдання про монети () та гральні кістки (), дещо творчіші. Вирішення цих завдань можна переглянути на сторінках прототипів.
Наведемо кілька прикладів на кидання монети чи кубика.
приклад 4.Коли підкидаємо монету, якою є ймовірність випадання рішки?
Виходів 2 – орел чи решка. (Вважається, що монета ніколи не падає на ребро) Сприятливий результат - решка, 1.
Можливість 1/2=0,5
Відповідь: 0,5.
Приклад 5.А якщо підкидаємо монету двічі? Яка ймовірність того, що обидва рази випаде орел?
Головне визначити, які елементарні результати розглядатимемо під час підкидання двох монет. Після підкидання двох монет може вийти один із наступних результатів:
1) PP – обидва рази випала решка
2) PO – перший раз решка, вдруге орел
3) OP – вперше орел, вдруге решка
4) OO – обидва рази випав орел
Інших варіантів немає. Отже, елементарних результатів 4. Сприятливий їх лише перший, 1.
Імовірність: 1/4 = 0,25
Відповідь: 0,25
Яка ймовірність того, що із двох підкидань монети один раз випаде решка?
Кількість елементарних результатів те саме, 4. Сприятливі результати – другий і третій, 2.
Можливість випадання однієї решки: 2/4=0,5
У таких завданнях може стати в нагоді ще одна формула.
Якщо при одному киданні монети можливих варіантів результату у нас 2, то для двох кидання результатів буде 2 · 2 = 2 2 = 4 (як у прикладі 5), для трьох кидання 2 · 2 · 2 = 2 3 = 8, для чотирьох: 2·2·2·2=2 4 =16, … для N кидання можливих результатів буде 2·2·...·2=2 N .
Так, можна знайти можливість випадання 5 решок з 5 кидань монети.
Загальна кількість елементарних результатів: 25 =32.
Сприятливих результатів: 1. (РРРРР – усі 5 разів решка)
Імовірність: 1/32 = 0,03125
Те ж саме і для гральної кістки. При одному киданні можливих результатів тут 6. Значить, для двох кидань: 6 · 6 = 36, для трьох 6 · 6 · 6 = 216, і т. д.
Приклад 6.Кидаємо гральну кістку. Яка ймовірність, що випаде парне число?
Усього результатів: 6, за кількістю граней.
Сприятливих: 3 результати. (2, 4, 6)
Імовірність: 3/6 = 0,5
Приклад 7.Кидаємо дві гральні кістки. Яка ймовірність, що у сумі випаде 10? (округлити до сотих)
Для одного кубика 6 можливих наслідків. Значить, для двох, за вищезгаданим правилом, 6 · 6 = 36.
Які результати будуть сприятливими у тому, щоб у сумі випало 10?
10 треба розкласти у сумі двох чисел від 1 до 6. Це можна зробити двома способами: 10=6+4 і 10=5+5. Отже, для кубиків можливі варіанти:
(6 на першому та 4 на другому)
(4 на першому та 6 на другому)
(5 на першому та 5 на другому)
Разом, 3 варіанти. Шукана ймовірність: 3/36=1/12=0,08
Відповідь: 0,08
Інші типи завдань B6 будуть розглянуті в одній із таких статей «Як вирішувати».

Коротка теорія

Для кількісного порівняння подій за рівнем можливості їх появи вводиться числова міра, яка називається ймовірністю події. Імовірністю випадкової подіїназивається число, що є виразом об'єктивної можливості появи події.

Величини, що визначають, наскільки значні об'єктивні підстави розраховувати появу події, характеризуються ймовірністю події. Необхідно підкреслити, що ймовірність є об'єктивна величина, яка існує незалежно від того, хто пізнає, і обумовлена всією сукупністю умов, які сприяють появі події.

Пояснення, які ми дали поняттю ймовірності, є математичним визначенням, оскільки де вони визначають це поняття кількісно. Існує кілька визначень ймовірності випадкової події, які широко застосовуються під час вирішення конкретних завдань (класичне, геометричне визначення ймовірності, статистичне тощо).

Класичне визначення ймовірності подіїзводить це поняття до елементарнішого поняття рівноможливих подій, яке вже не підлягає визначенню і передбачається інтуїтивно ясним. Наприклад, якщо гральна кістка – однорідний куб, то випадання будь-якої з граней цього куба будуть рівноможливими подіями.

Нехай достовірна подія розпадається на рівноможливі випадки, сума яких дає подію. Тобто випадки, на які розпадається, називаються сприятливими для події, оскільки поява одного з них забезпечує наступ.

Імовірність події позначатимемо символом.

Імовірність події дорівнює відношенню числа випадків , що сприяють йому, із загального числа можливих, рівноможливих і несумісних випадків до , тобто.

Це класичне визначення ймовірності. Таким чином, для знаходження ймовірності події необхідно, розглянувши різні результати випробування, знайти сукупність єдино можливих, рівноможливих і несумісних випадків, підрахувати їх загальне число n, число випадків m, що сприяють даній події, і потім виконати розрахунок за вищенаведеною формулою.

Імовірність події, що дорівнює відношенню числа сприятливих події наслідків досвіду до загального числа наслідків досвіду називається класичною ймовірністювипадкової події

З визначення випливають такі властивості ймовірності:

Властивість 1. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.

2. Імовірність неможливої події дорівнює нулю.

Властивість 3. Імовірність випадкової події є позитивним числом, укладеним між нулем і одиницею.

Властивість 4. Імовірність настання подій, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці.

Властивість 5. Імовірність настання протилежної події визначається так само, як і можливість настання події A.

Число випадків, що сприяють появі протилежної події. Звідси ймовірність настання протилежної події дорівнює різниці між одиницею та ймовірністю настання події A:

Важливе достоїнство класичного визначення ймовірності події у тому, що з допомогою ймовірність події можна визначити, не вдаючись до досвіду, а з логічних міркувань.

При виконанні комплексу умов достовірна подія обов'язково станеться, а неможлива обов'язково не станеться. Серед подій, які при створенні комплексу умов можуть статися, а можуть не відбутися, на появу одних можна розраховувати з великою підставою, на появу інших з меншою підставою. Якщо, наприклад, в урні білих куль більше, ніж чорних, то сподіватися появу білої кулі при вийманні з урни навмання більше підстав, ніж поява чорної кулі.

На сусідній сторінці розглядається.

Приклад розв'язання задачі

Приклад 1

У ящику знаходиться 8 білих, 4 чорних та 7 червоних куль. Навмання витягнуто 3 кулі. Знайти ймовірності наступних подій: – витягнуто принаймні 1 червону кулю, – є принаймні 2 кулі одного кольору, – є принаймні 1 червона та 1 біла куля.

Рішення завдання

Загальна кількість результатів випробування знайдемо як кількість поєднань із 19 (8+4+7) елементів по 3:

Знайдемо ймовірність події– витягнуто принаймні 1 червону кулю (1,2 або 3 червоні кулі)

Шукана ймовірність:

Нехай подія– є принаймні 2 кулі одного кольору (2 або 3 білі кулі, 2 або 3 чорні кулі та 2 або 3 червоні кулі)

Число результатів, що сприяють події:

Шукана ймовірність:

Нехай подія– є принаймні одна червона та 1 біла куля

(1 червоний, 1 білий, 1 чорний або 1 червоний, 2 білих або 2 червоні, 1 білий)

Число результатів, що сприяють події:

Шукана ймовірність:

Відповідь: P(A)=0.773;P(C)=0.7688; P(D)=0.6068

Приклад 2

Кинуті дві гральні кістки. Знайти ймовірність того, що сума очок не менше ніж 5.

Рішення

Нехай подія – сума очок не менше 5

Скористаємося класичним визначенням ймовірності:

Загальна кількість можливих результатів випробування

Число випробувань, що сприяють цікавій для нас події

На грані першого грального кубика, що випала, може з'явитися одне очко, два очки ..., шість очок. Аналогічно шість результатів можливі при киданні другого кубика. Кожен з наслідків кидання першої кістки може поєднуватися з кожним із наслідків другої. Таким чином, загальна кількість можливих елементарних результатів випробування дорівнює кількості розміщень з повтореннями (вибір з розміщеннями 2 елементів із сукупності обсягу 6):

Знайдемо ймовірність протилежної події – сума очок менше 5

Сприятиме події наступні поєднання очок, що випали:

№ 1-а кістка 2-я кістка 1 1 1 2 1 2 3 2 1 4 3 1 5 1 3
На ціну сильно впливає терміновість рішення (від доби до кількох годин). Онлайн-допомога на іспиті/заліку здійснюється за попереднім записом.
Заявку можна залишити прямо в чаті, попередньо скинувши умову завдань та повідомивши необхідні вам терміни вирішення. Час відповіді – кілька хвилин.

Щоб кількісно порівнювати між собою події за рівнем їхньої можливості, очевидно, потрібно з кожною подією пов'язати певне число, яке тим більше, чим можливіша подія. Таку кількість ми назвемо ймовірністю події. Таким чином, ймовірність подіїє чисельний захід ступеня об'єктивної можливості цієї події.

Першим за часом визначенням ймовірності слід вважати класичне, що виникло з аналізу азартних ігор і спочатку застосовувалося інтуїтивно.

Класичний спосіб визначення ймовірності заснований на понятті рівноможливих та несумісних подій, які є наслідками даного досвіду і утворюють повну групу несумісних подій.

Найбільш простим прикладом рівноможливих і несумісних подій, що утворюють повну групу, є поява тієї чи іншої кулі з урни, що містить кілька однакових за розміром, вагою та іншим відчутним ознаками куль, що відрізняються лише кольором, ретельно перемішаних перед вилученням.

Тому про випробування, результати якого утворюють повну групу несумісних і рівноможливих подій, говорять, що воно зводиться до схеми урн, або схеми випадків, або укладається в класичну схему.

Рівноможливі та несумісні події, що становлять повну групу, називатимемо просто випадками чи шансами. При цьому в кожному досвіді поряд з випадками можуть відбуватися складніші події.

Приклад : При підкиданні гральної кістки поряд з випадками А i - випадання i-окулярів на верхній грані можна розглядати такі події, як В - випадання парних очок, С - випадання числа очок, кратних трьом …

По відношенню до кожної події, яка може статися при здійсненні експерименту, випадки поділяються на сприятливі, у яких ця подія відбувається, і несприятливі, у яких подія немає. У попередньому прикладі, події В сприяють випадки А2, А4, А6; події С - випадки А3, А6.

Класичною ймовірністюПоява деякої події називається відношення числа випадків, що сприяють появі цієї події, до загального числа випадків рівноможливих, несумісних, що становлять повну групу в даному досвіді:

де Р(А)- ймовірність появи події А; m- Число випадків, що сприяють події А; n- загальна кількість випадків.

Приклади:

1) (дивись приклад вище) Р(В)= , Р(С) =.

2) У урні знаходяться 9 червоних та 6 синіх куль. Знайти ймовірність того, що вийняті навмання одна, дві кулі виявляться червоними.

А- Вийнята навмання куля червона:

m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- вийняті навмання дві кулі червоні:

З класичного визначення ймовірності випливають такі властивості (показати самостійно):

1) Імовірність неможливої події дорівнює 0;

2) Імовірність достовірної події дорівнює 1;

3) Імовірність будь-якої події укладена між 0 та 1;

4) Імовірність події, протилежної події А,

Класичне визначення ймовірності передбачає, що кількість результатів випробування є звичайною. Насправді ж часто зустрічаються випробування, число можливих випадків яких нескінченно. Крім того, слабка сторона класичного визначення полягає в тому, що дуже часто неможливо уявити результат випробування як сукупність елементарних подій. Ще важче вказати підстави, що дозволяють вважати елементарні наслідки випробування рівноможливими. Зазвичай про рівноможливість елементарних результатів випробування укладають з міркувань симетрії. Проте такі завдання практично зустрічаються дуже рідко. З цих причин поруч із класичним визначенням ймовірності користуються та інші визначення ймовірності.

Статистичною ймовірністюподії А називається відносна частота появи цієї події у проведених випробуваннях:

де – ймовірність появи події А;

Відносна частота появи події А;

Число випробувань, у яких з'явилася подія А;

Загальна кількість випробувань.

На відміну від класичної ймовірності, статистична ймовірність є характеристикою досвідченої, експериментальної.

Приклад : Для контролю якості виробів з партії вибрано 100 виробів, серед яких 3 вироби виявилися бракованими. Визначити можливість шлюбу.

Статистичний спосіб визначення ймовірності застосуємо лише до тих подій, які мають такі властивості:

Події, що розглядаються, повинні бути результатами тільки тих випробувань, які можуть бути відтворені необмежену кількість разів при одному і тому ж комплексі умов.

Події повинні мати статистичну стійкість (або стійкість відносних частот). Це означає, що у різних серіях випробувань відносна частота події змінюється незначно.

Число випробувань, у яких з'являється подія А, має бути досить велике.

Легко перевірити, що властивості ймовірності, які з класичного визначення, зберігаються і за статистичному визначенні ймовірності.