Еліпс

Еліпс. Фокуси. Рівняння еліпса. Фокусна відстань.

Велика та мала осі еліпса. Ексцентриситет. Рівняння

дотичної до еліпсу. Умова торкання прямої та еліпса.

Еліпсом (Рис.1 ) називається геометричне місце точок, сума відстаней від яких до двох заданих точок F 1 і F 2 фокусами еліпса, є постійна величина.

Рівняння еліпса (рис.1):

Тут початок координатє центром симетрії еліпса,а осі координат – його осями симетрії. Приa > bфокуси еліпса лежать на осі ОХ (рис.1), при a< b фокуси еліпса лежать на осі Про Y, а при a= bеліпс стає коло(фокуси еліпса в цьому випадку збігаються з центром кола). Таким чином, коло є окремий випадок еліпса .

Відрізок F 1 F 2 = 2 з, де , називається фокусною відстанню . ВідрізокAB = 2 aназивається великою віссю еліпса , а відрізок CD = 2 b – малою віссю еліпса . Числоe = c / a , e < 1 называется ексцентриситетом еліпса .

Нехай Р(х 1 , у 1 ) – точка еліпса, тодірівняння дотичної до еліпса в

Вступ

Вперше криві другого порядку вивчалися одним із учнів Платона. Його робота полягала в наступному: якщо взяти дві прямі, що перетинаються, і обертати їх навколо бісектриси кута, ними утвореного, то вийде конусна поверхня. Якщо ж перетнути цю поверхню площиною, то в перерізі виходять різні геометричні фігури, а саме еліпс, коло, парабола, гіпербола та кілька вироджених фігур.

Однак ці наукові знання знайшли застосування лише в XVII, коли стало відомо, що планети рухаються еліптичними траєкторіями, а гарматний снаряд летить параболічною. Ще пізніше стало відомо, що якщо надати тілу першу космічну швидкість, воно буде рухатися по колу навколо Землі, при збільшенні цієї швидкості - по еліпсу, а після досягнення другої космічної швидкості тіло по параболі залишить поле тяжіння Землі.

Еліпс та його рівняння

Визначення 1. Еліпсом називається безліч точок на площині, сума відстаней від кожної з яких до двох заданих точок, званих фокусами, є постійна величина.

Фокуси еліпса позначаються літерами і відстань між фокусами - через, а сума відстаней від будь-якої точки еліпса до фокусів - через. Причому 2a> 2c.

Канонічне рівняння еліпса має вигляд:

де пов'язані між собою рівністю a 2 + b 2 = c 2 (або b 2 - a 2 = c 2).

Величина називається великою віссю, а – малою віссю еліпса.

Визначення 2. Ексцентриситетеліпса називається відношення відстані між фокусами до довжини великої осі.

Позначається літерою.

Оскільки за визначенням 2a>2c, ексцентриситет завжди виражається правильним дробом, тобто. .

Крапки F 1 (–c, 0) та F 2 (c, 0), де називаються фокусами еліпса при цьому величина 2 cвизначає міжфокусна відстань .

Крапки А 1 (–а, 0), А 2 (а, 0), У 1 (0, –b), B 2 (0, b) називаються вершинами еліпса (Мал. 9.2), при цьому А 1 А 2 = 2аутворює велику вісь еліпса, а У 1 У 2 – малу, – центр еліпса.

Основні параметри еліпса, що характеризують його форму:

ε = з/a – ексцентриситет еліпса ;

– фокальні радіуси еліпса (крапка Мналежить еліпсу), причому r 1 = a + εx, r 2 = a – εx;

– директриси еліпса .

Для еліпса справедливо: директриси не перетинають кордон і внутрішню область еліпса, а також мають властивість

Ексцентриситет еліпса висловлює його міру стиснення.

Якщо b > a> 0, то еліпс задається рівнянням (9.7), якого замість умови (9.8) виконується умова

Тоді 2 а- мала вісь, 2 b– велика вісь, – фокуси (рис. 9.3). При цьому r 1 + r 2 = 2b,
ε = c/b, Директриси визначаються рівняннями:

За умови маємо (у вигляді окремого випадку еліпса) коло радіусу R = a. При цьому з= 0, отже, ε = 0.

Точки еліпса мають характеристичною властивістю : сума відстаней від кожної з них до фокусів є постійна, рівна 2 а(Рис. 9.2).

Для параметричного завдання еліпса (формула (9.7)) у випадках виконання умов (9.8) та (9.9) як параметр tможе бути взята величина кута між радіус-вектором точки, що лежить на еліпсі, і позитивним напрямом осі Ox:

Якщо центр еліпса з півосями знаходиться в точці, то його рівняння має вигляд:

приклад 1.Привести рівняння еліпса x 2 + 4y 2 = 16 до канонічного вигляду та визначити його параметри. Зобразити еліпс.

Рішення. Розділимо рівняння x 2 + 4y 2 = 16 на 16, після чого отримаємо:

На вигляд отриманого рівняння укладаємо, що це канонічне рівняння еліпса (формула (9.7)), де а= 4 - велика піввісь, b= 2 - мала піввісь. Значить, вершинами еліпса є точки A 1 (–4, 0), A 2 (4, 0), B 1 (0, –2), B 2 (0, 2). Оскільки половина міжфокусної відстані, то точки є фокусами еліпса. Обчислимо ексцентриситет:

Директриси D 1 , D 2 описуються рівняннями:

Зображаємо еліпс (рис. 9.4).

приклад 2.Визначити параметри еліпса

Рішення.Порівняємо це рівняння з канонічним рівнянням еліпса зі зміщеним центром. Знаходимо центр еліпса З: Велика піввісь мала піввісь прямі - головні осі Половина міжфокусної відстані а значить, фокуси Ексцентриситет Директриси D 1 і D 2 можуть бути описані за допомогою рівнянь (рис. 9.5).

приклад 3.Визначити, яка крива задається рівнянням, зобразити її:

1) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0; 2) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 6 = 0;

3) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0; 4) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 17 = 0;

Рішення. 1) Наведемо рівняння до канонічного виду шляхом виділення повного квадрата двочлена:

x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0;

(x 2 + 4x) + (y 2 – 2y) + 4 = 0;

(x 2 + 4x + 4) – 4 + (y 2 – 2y + 1) – 1 + 4 = 0;

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Таким чином, рівняння може бути наведено до виду

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Це рівняння кола з центром у точці (–2, 1) та радіусом R= 1 (рис. 9.6).

2) Виділяємо повні квадрати двочленів у лівій частині рівняння та отримуємо:

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = –1.

Це рівняння немає сенсу на безлічі дійсних чисел, оскільки ліва частина неотрицательна за будь-яких дійсних значеннях змінних xі y, А права - негативна. Тому кажуть, що це рівняння «уявного кола» або воно задає порожню безліч точок площини.

3) Виділяємо повні квадрати:

x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0;

(x 2 – 2x + 1) – 1 + 4(y 2 + 4y + 4) – 16 + 1 = 0;

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 – 16 = 0;

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 16.

Отже, рівняння має вигляд:

Отримане рівняння, отже, і вихідне задають еліпс. Центр еліпса знаходиться у точці Про 1 (1, –2), головні осі задаються рівняннями y = –2, x= 1, причому велика піввісь а= 4, мала піввісь b= 2 (рис. 9.7).

4) Після виділення повних квадратів маємо:

(x – 1) 2 + 4(y+ 2) 2 - 17 + 17 = 0 або ( x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 0.

Отримане рівняння задає єдину точку площини координатами (1, –2).

5) Наведемо рівняння до канонічного вигляду:

Очевидно, воно задає еліпс, центр якого знаходиться в точці головні осі задаються рівняннями, причому велика піввісь мала піввісь (рис. 9.8).

приклад 4.Записати рівняння дотичної до кола радіуса 2 з центром у правому фокусі еліпса x 2 + 4y 2 = 4 у точці перетину з віссю ординат.

Рішення.Рівняння еліпса наведемо до канонічного виду (9.7):

Отже, і правий фокус - Тому, шукане рівняння кола радіуса 2 має вигляд (рис. 9.9):

Окружність перетинає вісь ординат у точках, координати яких визначаються із системи рівнянь:

Отримуємо:

Нехай це крапки N(0; -1) та М(0; 1). Отже, можна побудувати дві дотичні, позначимо їх Т 1 і Т 2 . За відомою властивістю дотична перпендикулярна до радіусу, проведеного в точку дотику.

Нехай тоді рівняння дотичної Т 1 набуде вигляду:

Значить, або Т 1: Воно рівносильне рівнянню

Визначення 7.1.Багато всіх точок на площині, для яких сума відстаней до двох фіксованих точок F 1 і F 2 є задана постійна величина, називають еліпсом.

Визначення еліпса дає такий спосіб його геометричного побудови. Фіксуємо на площині дві точки F 1 і F 2 а невід'ємну постійну величину позначимо через 2а. Нехай відстань між точками F1 і F2 дорівнює 2c. Уявімо, що нерозтяжна нитка довжиною 2а закріплена в точках F 1 і F 2 наприклад, за допомогою двох голок. Зрозуміло, що це можливо лише за ≥ с. Натягнувши нитку олівцем, накреслимо лінію, яка і буде еліпсом (рис. 7.1).

Отже, описувана множина не порожня, якщо а ≥ с. При а = еліпс є відрізок з кінцями F 1 і F 2 , а при с = 0, тобто. якщо зазначені у визначенні еліпса фіксовані точки збігаються, він є коло радіуса а. Відкидаючи ці вироджені випадки, будемо далі предполати, зазвичай, що > з > 0.

Фіксовані точки F 1 і F 2 у визначенні 7.1 еліпса (див. рис. 7.1) називають фокусами еліпса, відстань між ними, позначена через 2c, - фокальною відстаннюа відрізки F 1 M і F 2 M, що з'єднують довільну точку M на еліпсі з його фокусами, - фокальними радіусами.

Вигляд еліпса повністю визначається фокальною відстанню | F 1 F 2 | = 2с і параметром a, яке положення на площині - парою точок F 1 і F 2 .

З визначення еліпса слід, що він симетричний щодо прямої, що проходить через фокуси F 1 і F 2 , а також щодо прямої, яка ділить відрізок F 1 F 2 навпіл і перпендикулярна йому (рис. 7.2 а). Ці прямі називають осями еліпса. Точка O їх перетину є центром симетрії еліпса, і її називають центром еліпса, А точки перетину еліпса з осями симетрії (точки A, B, C і D на рис. 7.2, а) - вершинами еліпса.

Число a називають великою піввіссю еліпса, а b = √(a 2 - c 2) - його малою піввіссю. Неважко помітити, що при c>0 велика піввісь a дорівнює відстані від центру еліпса до тих його вершин, які знаходяться на одній осі з фокусами еліпса (вершини A і B на рис. 7.2 а), а мала піввісь b дорівнює відстані від центру еліпса до двох інших вершин (вершини C і D на рис. 7.2, а).

Рівняння еліпса.Розглянемо на площині деякий еліпс з фокусами в точках F 1 і F 2 великою віссю 2a. Нехай 2c - фокальна відстань, 2c = | F1F2 |

Виберемо прямокутну систему координат Oxy на площині так, щоб її початок співпав із центром еліпса, а фокуси знаходилися на осі абсцис(Рис. 7.2, б). Таку систему координат називають канонічноїдля аналізованого еліпса, а відповідні змінні - канонічними.

У вибраній системі координат фокуси мають координати F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Використовуючи формулу відстані між точками, запишемо умову | F 1 M | + | F 2 M | = 2a в координатах:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Це рівняння незручно, тому що в ньому присутні два квадратні радикали. Тому перетворимо його. Перенесемо в рівнянні (7.2) другий радикал у праву частину і зведемо у квадрат:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

Після розкриття дужок та приведення подібних доданків отримуємо

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

де ε = c/a. Повторюємо операцію зведення в квадрат, щоб прибрати і другий радикал: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2 або, враховуючи значення введеного параметра ε, (a 2 - c 2) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Оскільки a 2 - c 2 = b 2 > 0, то

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Рівняння (7.4) задовольняють координати всіх точок, що лежать на еліпсі. Але при виведенні цього рівняння використовувалися нееквівалентні перетворення вихідного рівняння (7.2) - два зведення в квадрат, що забирають квадратні радикали. Зведення рівняння квадрат є еквівалентним перетворенням, якщо в обох його частинах стоять величини з однаковим знаком, але ми цього у своїх перетвореннях не перевіряли.

Ми можемо не перевіряти еквівалентність перетворень, якщо врахуємо таке. Пара точок F 1 і F 2 | F 1 F 2 | = 2c, площині визначає сімейство еліпсів з фокусами у цих точках. Кожна точка площини, крім точок відрізка F 1 F 2 належить будь-якому еліпсу зазначеного сімейства. При цьому жодні два еліпси не перетинаються, оскільки сума фокальних радіусів однозначно визначає конкретний еліпс. Отже, описане сімейство еліпсів без перетинів покриває всю площину, крім точок відрізка F1F2. Розглянемо безліч точок, координати яких задовольняють рівняння (7.4) із цим значенням параметра a. Чи може ця множина розподілятися між кількома еліпсами? Частина точок множини належить еліпсу з великою піввіссю a. Нехай у цій множині є точка, що лежить на еліпсі з великою піввіссю а. Тоді координати цієї точки підпорядковуються рівнянню

тобто. рівняння (7.4) та (7.5) мають загальні рішення. Однак легко переконатися, що система

за ã ≠ a рішень не має. Для цього достатньо виключити, наприклад, x з першого рівняння:

що після перетворень призводить до рівняння

не має рішень при ã ≠ a, оскільки . Отже, (7.4) є рівняння еліпса з великою піввіссю a > 0 і малою піввіссю b = √ (a 2 - c 2) > 0. Його називають канонічним рівнянням еліпса.

Перегляд еліпса.Розглянутий вище геометричний спосіб побудови еліпса дає достатньо уявлення про зовнішній вигляд еліпса. Але вид еліпса можна вивчити і з допомогою його канонічного рівняння (7.4). Наприклад, можна, вважаючи у ≥ 0, виразити через x: y = b√(1 - x 2 /a 2), і, дослідивши цю функцію, побудувати її графік. Є ще один спосіб побудови еліпса. Коло радіусу a з центром на початку канонічної системи координат еліпса (7.4) описується рівнянням x 2 + y 2 = а 2 . Якщо її стиснути з коефіцієнтом a/b > 1 вздовж осі ординат, то вийде крива, яка описується рівнянням x 2 + (ya/b) 2 = a 2 тобто еліпс.

Зауваження 7.1.Якщо те ж коло стиснути з коефіцієнтом a/b

Ексцентриситет еліпса. Відношення фокальної відстані еліпса до його великої осі називають ексцентриситетом еліпсата позначають через ε. Для еліпса, заданого

канонічним рівнянням (7.4), ε = 2c/2a = с/a. Якщо ж (7.4) параметри a і b пов'язані нерівністю a

При с =0, коли еліпс перетворюється на окружність, і ε = 0. В інших випадках 0

Рівняння (7.3) еквівалентне рівнянню (7.4), оскільки еквівалентні рівняння (7.4) та (7.2) . Тому рівнянням еліпса є (7.3). Крім того, співвідношення (7.3) цікаве тим, що дає просту, не містить радикалів, формулу для довжини | F 2 M | одного з фокальних радіусів точки M(x; у) еліпса: | F 2 M | = a + εx.

Аналогічна формула другого фокального радіуса то, можливо отримана з міркувань симетрії чи повторенням викладок, у яких перед зведенням у квадрат рівняння (7.2) у праву частину переноситься перший радикал, а чи не другий. Отже, для будь-якої точки M(x; у) на еліпсі (див. рис. 7.2)

|F 1 M | = a - εx, | F 2 M | = a + εx, (7.6)

і кожне із цих рівнянь є рівнянням еліпса.

Приклад 7.1.Знайдемо канонічне рівняння еліпса з великою піввіссю 5 та ексцентриситетом 0,8 та побудуємо його.

Знаючи велику піввісь еліпса a = 5 та ексцентриситет ε = 0,8, знайдемо його малу піввісь b. Оскільки b = √(a 2 - з 2), а з = εa = 4, то b = √(5 2 - 4 2) = 3. Значить канонічне рівняння має вигляд x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Для побудови еліпса зручно зобразити прямокутник із центром на початку канонічної системи координат, сторони якого паралельні осям симетрії еліпса та дорівнюють його відповідним осям (рис. 7.4). Цей прямокутник перетинається з

осями еліпса у його вершинах A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), причому сам еліпс вписаний у нього. На рис. 7.4 вказані також фокуси F 1,2 (±4; 0) еліпса.

Геометричні властивості еліпса.Перепишемо перше рівняння (7.6) у вигляді |F 1 M| = (а/ε - x)ε. Зазначимо, що величина а/ε - x при а > з позитивна, оскільки фокус F 1 не належить еліпсу. Ця величина є відстанню до вертикальної прямої d: x = а/ε від точки M(x; у), що лежить ліворуч від цієї прямої. Рівняння еліпса можна записати у вигляді

|F 1 M|/(а/ε - x) = ε

Воно означає, що цей еліпс складається з тих точок M(x; у) площини, для яких відношення довжини фокального радіусу F 1 M до відстані до прямої d є постійна величина, рівна ε (рис. 7.5).

У прямий d є "двійник" - вертикальна пряма d", симетрична d щодо центру еліпса, яка задається рівнянням x = -а/ε. Щодо d" еліпс описується так само, як і відносно d. Обидві прямі d і d називають директрисами еліпса. Директриси еліпса перпендикулярні до тієї осі симетрії еліпса, на якій розташовані його фокуси, і відстоять від центру еліпса на відстань а/ε = а 2 /с (див. рис. 7.5).

Відстань p від директриси до найближчого до неї фокусу називають фокальним параметром еліпса. Цей параметр дорівнює

p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c

Еліпс має ще одну важливу геометричну властивість: фокальні радіуси F 1 M і F 2 M складають з дотичної до еліпсу в точці M рівні кути (рис. 7.6).

Ця властивість має наочний фізичний зміст. Якщо у фокусі F 1 розташувати джерело світла, то промінь, що виходить з цього фокусу, після відбиття від еліпса піде по другому фокальному радіусу, так як після відбиття він перебуватиме під тим самим кутом до кривої, що й до відбиття. Таким чином, всі промені, що виходять з фокусу F 1 сконцентруються в другому фокусі F 2 і навпаки. З даної інтерпретації зазначену властивість називають оптичною властивістю еліпса.

Канонічне рівняння еліпса має вигляд

де a – велика піввісь; b – мала піввісь. Точки F1(c,0) та F2(-c,0) − c називаються

a, b – півосі еліпса.

Знаходження фокусів, ексцентриситету, директриса еліпса, якщо відомо його канонічне рівняння.

Визначення гіперболи. Фокус гіперболи.

Визначення. Гіперболою називається безліч точок площини, для яких модуль різниці відстаней від двох даних точок, званих фокусами, є величина постійна, менша відстані між фокусами.

За визначенням | r1 - r2 | = 2a. F1, F2 – фокуси гіпербол. F1F2 = 2c.

Канонічне рівняння гіперболи. Напівосі гіперболи. Побудова гіперболи, якщо відома її канонічна рівняння.

Канонічне рівняння:

Велика піввісь гіперболи становить половину мінімальної відстані між двома гілками гіперболи, на позитивній та негативній сторонах осі (ліворуч і праворуч щодо початку координат). Для гілки розташованої на позитивній стороні, піввісь дорівнюватиме:

Якщо виразити її через конічний перетин та ексцентриситет, тоді вираз набуде вигляду:

Знаходження фокусів, ексцентриситету, дирекрису гіперболи, якщо відомо її канонічне рівняння.

Ексцентриситет гіперболи

Визначення. Відношення називається ексцентриситетом гіперболи, де

половина відстані між фокусами, а – дійсна піввісь.

З огляду на те, що с2 – а2 = b2:

Якщо а = b, e = то гіпербола називається рівнобічної (рівносторонньої).

Директриси гіперболи

Визначення. Дві прямі, перпендикулярні до дійсної осі гіперболи і розташовані симетрично щодо центру на відстані a/e від нього, називаються директрисами гіперболи. Їх рівняння: .

Теорема. Якщо r – відстань від довільної точки М гіперболи до будь-якого фокусу, d – відстань від тієї ж точки до відповідної цьому фокусу директриси, то відношення r/d – величина стала, рівна ексцентриситету.

Визначення параболи. Фокус і параболи директриса.

Парабола. Параболою називається геометричне місце точок, кожна з яких однаково віддалена від заданої фіксованої точки та від заданої фіксованої прямої. Крапка, про яку йдеться у визначенні, називається фокусом параболи, а пряма – її директрисою.

Канонічне рівняння параболи. Параметр параболи. Побудова параболи.

Канонічне рівняння параболи в прямокутній системі координат: (або якщо поміняти місцями осі).

Побудова параболи за заданої величини параметра p виконується в наступній послідовності:

Проводять вісь симетрії параболи і відкладають у ньому відрізок KF=p;

Через точку K перпендикулярно осі симетрії проводять директрису DD1;

Відрізок KF ділять навпіл отримують вершину параболи 0;

Від вершини відміряють ряд довільних точок 1, 2, 3, 5, 6 з відстанню між ними, що поступово збільшується;

Через ці точки проводять допоміжні прямі перпендикулярні до осі параболи;

На допоміжних прямих роблять засічки радіусом рівним відстані від прямої до директриси;

Отримані точки з'єднують плавною кривою.