Як знайти найменше загальне кратне двох чисел. Дільники та кратні числа Знаходження спільних дільників

Кратне

КРАТНЕ-ого; пор.Ціле число, що ділиться на це без залишку. Шість - к. чисел два та три. Найменше загальне к. кількох чисел.

Кратне

число, що ділиться на дане ціле число без залишку, наприклад 12 кратно 3. Загальне кратне кількох цілих чисел - число, що ділиться на кожне з них окремо, наприклад 180 - загальне кратне чисел 30, 18, 2. При арифметичних діях особливе значення має найменше загальне кратне: для чисел 30, 18, 2 їм 90.

КАРТНЕ

КРАТНЕ, число, що ділиться на це ціле число без залишку, напр. 12 кратно 3. Загальне кратне кількох цілих чисел - число, що ділиться на кожне з них окремо, напр. 180 - загальне кратне чисел 30, 18, 2. При арифметичних діях особливе значення має найменше загальне кратне: чисел 30, 18, 2 їм буде 90.

Енциклопедичний словник. 2009 .

Дивитись що таке "кратне" в інших словниках:

Число, що ділиться на це ціле число без залишку, напр. 12 кратно 3. Загальне кратне кількох цілих чисел число, що ділиться на кожне з них окремо, напр. 180 загальне кратне чисел 30, 18, 2. При арифметичних діях особливе значение… … Великий Енциклопедичний словник

Натурального числа натуральне число, що ділиться на о без залишку. Число п, яке ділиться на кожне з чисел а, b, . . . , т, зв. загальним кратним цих чисел. З усіх загальних К. двох або декількох чисел одне (не рівне нулю) є найменшим. Математична енциклопедія

Натурального (цілого позитивного) числа а, натуральне число, що ділиться на без залишку. Так, 156 є К. 13, тоді як 108 не є К. 13. Число n, яке ділиться на кожне з чисел а, b, ..., m називається загальним К. цих чисел. З … Велика Радянська Енциклопедія

Порівн. Ціле число, що ділиться на якесь число без залишку. Тлумачний словник Єфремової. Т. Ф. Єфремова. 2000 … Сучасний тлумачний словник Єфремової

Число, що ділиться на це ціле число без залишку, напр. 12 кратно 3. Загальне К. дек. цілих чисел число, що ділиться на кожне з них окремо, напр. 180 загальне К. чисел 30, 18, 2. При арифметич. діях особливе значення має найменше загальне … Природознавство. Енциклопедичний словник

Подільність одне з основних понять арифметики та теорії чисел, пов'язане з операцією поділу. Зміст 1 Визначення 2 Позначення 3 Вікіпедія

Тема «Кратні числа» вивчається у 5 класі загальноосвітньої школи. Її метою є вдосконалення письмових та усних навичок математичних обчислень. На цьому уроці вводяться нові поняття – «кратні числа» та «ділителі», відпрацьовується техніка знаходження дільників та кратних натурального числа, уміння знаходити НОК у різний спосіб.

Ця тема є дуже важливою. Знання з неї можна застосувати під час вирішення прикладів з дробами. Для цього необхідно знайти спільний знаменник шляхом розрахунку найменшого загального кратного (НОК).

Кратним А вважається ціле число, яке ділиться на А без решти.

Кожне натуральне число має нескінченну кількість кратних чисел. Найменшим вважається воно саме. Кратне не може бути менше самого числа.

Потрібно довести, що число 125 кратне числу 5. Для цього потрібно перше число поділити на друге. Якщо 125 ділиться на 5 без залишку, то відповідь позитивна.

Даний спосіб застосовується для невеликих чисел.

При розрахунку НОК трапляються особливі випадки.

1. Якщо потрібно знайти загальне кратне для 2-х чисел (наприклад, 80 і 20), де одне з них (80) ділиться без залишку на інше (20), то це число (80) і є найменше кратне цих двох чисел.

НОК (80, 20) = 80.

2. Якщо два немає спільного дільника, можна сказати, що й НОК - це твір цих двох чисел.

НОК (6, 7) = 42.

Розглянемо останній приклад. 6 та 7 по відношенню до 42 є дільниками. Вони ділять кратне число без залишку.

У цьому прикладі 6 та 7 є парними дільниками. Їх добуток дорівнює самому кратному числу (42).

Число називається простим, якщо ділиться тільки на себе або на 1 (3:1=3; 3:3=1). Інші називаються складовими.

В іншому прикладі слід визначити, чи є 9 дільником по відношенню до 42.

42: 9 = 4 (залишок 6)

Відповідь: 9 не є дільником числа 42, тому що у відповіді є решта.

Дільник відрізняється від кратного тим, що дільник - це число, яким ділять натуральні числа, а кратне саме ділиться цього число.

Найбільший спільний дільник чисел aі b, помножений на їх найменше кратне, дасть добуток самих чисел aі b.

А саме: НОД(а, b) х НОК(а, b) = а х b.

Загальні кратні числа більш складних чисел знаходять в такий спосіб.

Наприклад, знайти НОК для 168, 180, 3024.

Ці числа розкладаємо на прості множники, записуємо у вигляді добутку ступенів:

168 = 2?х3?х7?

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

НОК (168, 180, 3024) = 15120.

Кратне число - це число, яке ділиться на це число без залишку. Найменша загальна кратна (НОК) групи чисел – це найменше число, яке ділиться без залишку на кожне число групи. Щоб знайти найменше загальне кратне, потрібно знайти прості множники цих чисел. Також НОК можна обчислити за допомогою інших методів, які застосовуються до груп з двох і більше чисел.

Кроки

Ряд кратних чисел

Подивіться на ці цифри.Описаний метод краще застосовувати, коли дано два числа, кожне з яких менше 10. Якщо дані великі числа, скористайтеся іншим методом.

• Наприклад, знайдіть найменше загальне кратне чисел 5 та 8. Це невеликі числа, тому можна використати даний метод.

1. Кратне число - це число, яке ділиться на це число без залишку. Кратні числа можна подивитися в таблиці множення.

   • Наприклад, числами, які кратні 5 є: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Запишіть ряд чисел, які кратні першому числу.Зробіть це під кратними числами першого числа, щоби порівняти два ряди чисел.

   • Наприклад, числами, які кратні 8, є: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 та 64.

3. Знайдіть найменше число, яке є в обох рядах кратних чисел.Можливо вам доведеться написати довгі ряди кратних чисел, щоб знайти загальне число. Найменше число, яке є в обох рядах кратних чисел, є найменшим загальним кратним.

   • Наприклад, найменшим числом, яке є у рядах кратних чисел 5 і 8, є число 40. Тому 40 – це найменше загальне кратне чисел 5 і 8.

   Розкладання на прості множники

   1. Подивіться на ці цифри.Описаний метод краще застосовувати, коли дано два числа, кожне з яких більше 10. Якщо дано менші числа, скористайтеся іншим методом.

      • Наприклад, знайдіть найменше загальне кратне чисел 20 та 84. Кожне з чисел більше 10, тому можна використовувати цей метод.

   2. Розкладіть на прості множники перше число.Тобто потрібно знайти такі прості числа, при перемноженні яких вийде це число. Знайшовши прості множники, запишіть у вигляді рівності.

      Розкладіть на прості множники друге число.Зробіть це так, як ви розкладали на множники перше число, тобто знайдіть такі прості числа, при перемноженні яких вийде дане число.

      Запишіть множники, спільні для обох чисел.Запишіть такі множники як операції множення. У міру запису кожного множника закреслюйте його в обох виразах (вирази, що описують розкладання чисел на прості множники).

      До операції множення додайте множники, що залишилися.Це множники, які не закреслені в обох виразах, тобто множники, які не є спільними для обох чисел.

      Обчисліть найменшу загальну кратну.Для цього перемножте числа записаної операції множення.

   Знаходження спільних дільників

   Намалюйте сітку як для гри в хрестики-нуліки.Така сітка є дві паралельні прямі, які перетинаються (під прямим кутом) з іншими двома паралельними прямими. Таким чином, вийдуть три рядки та три стовпці (сітка дуже схожа на значок #). Перше число напишіть у першому рядку та другому стовпці. Друге число напишіть у першому рядку та третьому стовпці.

   • Наприклад, знайдіть найменше загальне кратне чисел 18 та 30. Число 18 напишіть у першому рядку та другому стовпці, а число 30 напишіть у першому рядку та третьому стовпці.

   1. Знайдіть дільник, загальний обох чисел.Запишіть його у першому рядку та першому стовпці. Краще шукати прості дільники, але це не є обов'язковою умовою.

      • Наприклад, 18 та 30 – це парні числа, тому їх спільним дільником буде число 2. Таким чином, напишіть 2 у першому рядку та першому стовпці.

   2. Розділіть кожну кількість на перший дільник.Кожне окреме запишіть під відповідним числом. Частка – це результат розподілу двох чисел.

      Знайдіть дільник, загальний обох приватних.Якщо такого дільника немає, пропустіть наступні два кроки. В іншому випадку дільник запишіть у другому рядку та першому стовпці.

      • Наприклад, 9 і 15 діляться на 3, тому запишіть 3 у другому рядку та першому стовпці.

   3. Розділіть кожну приватну на другий дільник.Кожен результат поділу запишіть під відповідним приватним.

      Якщо потрібно, доповніть сітку додатковими осередками.Повторюйте описані дії, доки приватні не мають спільного дільника.

      Обведіть кружками числа в першому стовпці та останньому рядку сітки.Потім виділені числа запишіть як операції множення.

   Алгоритм Евкліда

   Запам'ятайте термінологію, пов'язану з операцією поділу.Ділене - це число, яке ділять. Дільник – це число, яким ділять. Частка – це результат розподілу двох чисел. Залишок – це число, що залишилося при розподілі двох чисел.

   Запишіть вираз, який описує операцію поділу із залишком.Вираз: ділене = дільник × приватне + залишок (\displaystyle (\text(ділене))=(\text(ділитель))\times (\text(приватне))+(\text(залишок)))). Цей вираз буде використано, щоб записати алгоритм Евкліда та знайти найбільший спільний дільник двох чисел.

   Більше з двох чисел розглядайте як ділимо.Найменше з двох чисел вважайте дільником. Для цих чисел запишіть вираз, який описує операцію поділу із залишком.

   Перший дільник перетворите на нове ділене.Залишок використовуйте як новий дільник. Для цих чисел запишіть вираз, який описує операцію поділу із залишком.

Термін «кратність» відноситься до галузі математики: з точки зору цієї науки, він означає кількість разів, яка певна кількість входить до складу іншого числа.

Поняття кратності

Спрощуючи наведене , можна сказати, що кратність одного числа по відношенню до іншого показує, у скільки разів перше число більше за друге. Таким чином, той факт, що одне число є кратним іншому фактично означає, що більше їх здатне бути розділеним на менше без залишку. Наприклад, кратним числу 3 є 6.

Таке розуміння терміна «кратність» спричиняє виведення з нього кількох важливих наслідків. Перше - те, що будь-яке число може мати необмежену кількість кратних йому чисел. Це з тим, що для того, щоб отримати кратне деякому числу інше число, необхідно перше їх помножити будь-яке ціле позитивне значення, яких, своєю чергою, є безліч. Наприклад, кратними числу 3 є числа 6, 9, 12, 15 та інші, одержувані множенням числа 3 будь-яке ціле позитивне число.

Друга важлива властивість стосується визначення найменшого цілого числа, що є кратним аналізованого. Так, найменшим кратним по відношенню до будь-якого числа є саме це число. Це з тим, що найменшим цілим результатом розподілу одного числа інше є одиниця, саме розподіл числа саме він і забезпечує цей результат. Відповідно, число, кратне розглядуваному, може бути менше, ніж саме це число. Наприклад, для числа 3 найменшим кратним числом буде 3. При цьому визначити найбільше число, що кратне розглядається, фактично неможливо.

Числа, кратні 10

Числа, кратні 10, мають всі перераховані властивості нарівні з іншими кратними числами. Так, з перерахованих властивостей випливає, що найменшим числом, кратним 10, є саме число 10. При цьому, оскільки число 10 є двозначним, можна зробити висновок, що кратним числу 10 можуть бути тільки числа, що складаються не менше ніж із двох знаків.

Щоб отримати інші числа, кратні 10, необхідно число 10 помножити на будь-яке ціле позитивне число. Таким чином, до переліку чисел, кратних 10, увійдуть числа 20, 30, 40, 50 і так далі. Слід звернути увагу, що всі отримані числа повинні ділитися без залишку на 10. При цьому визначити найбільше число, кратне 10, як і у випадках з іншими числами, неможливо.

Крім того, зверніть увагу, що існує простий практичний спосіб визначити, чи є конкретне число кратним 10. Для цього слід з'ясувати, яка його остання цифра. Так, якщо вона дорівнює 0, число, що розглядається, буде кратним 10, тобто може бути без залишку розділене на 10. В іншому випадку число не є кратним 10.