Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

У геометрії розрізняють такі види паралелепіпедів: прямокутний паралелепіпед (гранями паралелепіпеда виступають прямокутники); прямий паралелепіпед (його бічні грані виступають у ролі прямокутників); похилий паралелепіпед (його бічні грані виступають у ролі перпендикулярів); куб паралелепіпед з абсолютно однаковими вимірами, а грані куба – це квадрати. Паралелепіпеди можуть бути як похилими, так і прямими.

Основні елементи паралелепіпеда — те, що дві грані представленої геометричної фігури, які мають спільне ребро, є протилежними, а ті які мають — суміжними. Вершини паралелепіпеда, які не належать до однієї грані, виступають протилежними щодо один до одного. Паралелепіпед має вимір - це три ребра, які мають спільну вершину.

Відрізок, який сполучає протилежні вершини, називається діагоналлю. Чотири діагоналі паралелепіпеда, перетинаючи в одній точці, одночасно діляться навпіл.

Для того щоб визначити діагональ паралелепіпеда, потрібно визначити сторони та ребра, які відомі за умовою завдання. При відомих трьох ребрах А , У , З проведіть у паралелепіпеді діагональ. Відповідно до властивості паралелепіпеда, яка говорить про те, що всі кути його прямі, визначається діагональ. Побудувати діагональ від однієї з граней паралелепіпеда. Діагоналі потрібно проводити таким чином, щоб діагональ грані, шукана діагональ паралелепіпеда та відоме ребро, створювали трикутник. Після того, як утвориться трикутник, знайдіть довжину цієї діагоналі. Діагональ в іншому отриманому трикутнику виступає в ролі гіпотенузи, тому її можна знайти за теоремою Піфагора, яку необхідно взяти під квадратний корінь. Отже, ми дізнаємося значення другий діагоналі. Щоб знайти першу діагональ паралелепіпеда в утвореному прямокутному трикутнику, також необхідно знайти невідому гіпотенузу (за теоремою Піфагора). За таким же прикладом послідовно знайдіть решту трьох існуючих у паралелепіпеді діагоналі, виконавши додаткові побудови діагоналей, які утворюють прямокутні трикутники і вирішіть за теоремою Піфагора.

Прямокутним паралелепіпедом (ПП) є ні що інше, як призма, основою якої прямокутник. У ПП всі діагоналі рівні, отже будь-яка його діагональ розраховується за такою формулою:

а, в - сторони основи ПП;

с - його висота.

Можна дати інше визначення, розглядаючи декартову прямокутну систему координат:

Діагональ ПП це радіус-вектор будь-якої точки простору, заданої координатами x, y та z у декартовій системі координат. Цей радіус вектор до точки проводиться із початку координат. А координатами точки будуть проекції радіусу-вектора (діагоналі ПП) на координатні осі.

Паралелепіпед та його види

Якщо дослівно перекласти його назву з давньогрецької, то вийде, що це постать, що складається з паралельних площин. Існують такі рівносильні визначення паралелепіпеда:

• призма з основою у вигляді паралелограма;
• багатогранник, кожна грань якого – паралелограм.

Його види виділяються в залежності від того, яка фігура лежить у його основі і як спрямовані бічні ребра. У загальному випадку говорять про похилому паралелепіпеді, у якого основа і всі грані паралелограми. Якщо у попереднього виду бічні грані стануть прямокутниками, його потрібно буде називати вже прямим. А у прямокутногоі основа теж має кути по 90 º.

Причому останній у геометрії намагаються зображати те щоб було помітно, що це ребра паралельні. Тут, до речі, спостерігається основна відмінність математиків від художників. Останнім важливо передати тіло із дотриманням закону перспективи. І в цьому випадку паралельність ребер зовсім непомітна.

Про введені позначення

У наведених нижче формулах справедливі позначення, зазначені у таблиці.

Формули для похилого паралелепіпеда

Перша та друга для площ:

Третя для того, щоб обчислити обсяг паралелепіпеда:

Оскільки основа паралелограм, то для розрахунку його площі потрібно буде скористатися відповідними виразами.

Формули для прямокутного паралелепіпеда

Аналогічно першому пункту дві формули для площ:

І ще одна для обсягу:

Перше завдання

Умови. Даний прямокутний паралелепіпед, обсяг якого потрібно знайти. Відома діагональ - 18 см - і те, що вона утворює кути в 30 і 45 градусів з площиною бічної грані та боковим ребром відповідно.

Рішення.Щоб відповісти на питання задачі, потрібно дізнатися всі сторони у трьох прямокутних трикутниках. Вони дадуть необхідні значення ребер, якими потрібно порахувати обсяг.

Спочатку потрібно з'ясувати, де знаходиться кут 30º. Для цього потрібно провести діагональ бічної грані з тієї ж вершини, звідки креслилася головна діагональ паралелограма. Кут між ними і буде тим, що потрібний.

Перший трикутник, який дасть одне із значень сторін основи, буде наступним. У ньому містяться сторона і дві проведені діагоналі. Він прямокутний. Тепер потрібно скористатися ставленням протилежного катета (сторони основи) та гіпотенузи (діагоналі). Воно дорівнює синусу 30 º. Тобто невідома сторона основи визначатиметься як діагональ, помножена на синус 30º чи ½. Нехай її буде позначено буквою «а».

Другим буде трикутник, що містить відому діагональ та ребро, з яким вона утворює 45º. Він також прямокутний, і можна знову скористатися ставленням катета до гіпотенузи. Інакше кажучи, бічного ребра до діагоналі. Воно дорівнює косинусу 45 º. Тобто "с" обчислюється як добуток діагоналі на косинус 45 º.

з = 18 * 1/√2 = 9 √2 (см).

У цьому трикутнику потрібно знайти інший катет. Це необхідно для того, щоб потім порахувати третю невідому — «в». Нехай її буде позначено буквою «х». Її легко вирахувати за теоремою Піфагора:

х = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (см).

Тепер слід розглянути ще один прямокутний трикутник. Він містить вже відомі сторони "с", "х" і ту, що потрібно порахувати, "в":

в = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (см).

Усі три величини відомі. Можна скористатися формулою для обсягу та порахувати його:

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (см 3).

Відповідь:об'єм паралелепіпеда дорівнює 729√2 см 3 .

Друге завдання

Умови. Потрібно знайти обсяг паралелепіпеда. У ньому відомі сторони паралелограма, що лежить в основі, 3 і 6 см, а також його гострий кут - 45 º. Бокове ребро має нахил до основи 30º і дорівнює 4 см.

Рішення.Для відповіді питання завдання треба взяти формулу, що була записана обсягу похилого паралелепіпеда. Але в ній невідомі обидві величини.

Площу основи, тобто паралелограма, буде визначено за формулою, в якій потрібно перемножити відомі сторони та синус гострого кута між ними.

S про = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (см 2).

Друга невідома величина – це висота. Її можна провести з будь-якої з чотирьох вершин над основою. Її можна знайти з прямокутного трикутника, у якому висота є катетом, а бічне ребро — гіпотенузою. При цьому кут 30º лежить навпроти невідомої висоти. Отже, можна скористатися ставленням катета до гіпотенузи.

н = 4 * sin 30 º = 4 * 1/2 = 2.

Тепер всі значення відомі і можна обчислити обсяг:

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (см 3).

Відповідь:обсяг дорівнює 18 √2 см 3 .

Третє завдання

Умови. Знайти обсяг паралелепіпеда, якщо відомо, що він прямий. Сторони його основи утворюють паралелограм і дорівнюють 2 і 3 см. Гострий кут між ними 60º. Менша діагональ паралелепіпеда дорівнює більшій діагоналі основи.

Рішення.Для того щоб дізнатися обсяг паралелепіпеда, скористаємося формулою з площею основи та висотою. Обидві величини невідомі, та їх нескладно обчислити. Перша їх висота.

Оскільки менша діагональ паралелепіпеда збігається за розміром з більшою основою, то їх можна позначити однією літерою d. Більший кут паралелограма дорівнює 120 º, оскільки з гострим він утворює 180 º. Нехай друга діагональ основи буде позначена літерою "х". Тепер для двох діагоналей основи можна записати теореми косінусів:

d 2 = а 2 + в 2 - 2ав cos 120 º,

х 2 = а 2 + у 2 - 2ав cos 60 º.

Знаходити значення без квадратів немає сенсу, оскільки потім вони знову зведені на другий ступінь. Після підстановки даних виходить:

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

х 2 = а 2 + у 2 - 2а cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

Тепер висота, вона ж бічне ребро паралелепіпеда, виявиться катетом у трикутнику. Гіпотенузою буде відома діагональ тіла, а другим катетом – «х». Можна записати Теорему Піфагора:

н 2 = d 2 - х 2 = 19 - 7 = 12.

Звідси: н = √12 = 2√3 (см).

Тепер друга невідома величина – площа основи. Її можна порахувати за формулою, згаданою у другому завданні.

S про = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (см 2).

Об'єднавши все у формулу обсягу, отримуємо:

V = 3?3 * 2?3 = 18 (см 3).

Відповідь: V = 18 см 3 .

Четверте завдання

Умови. Потрібно дізнатися обсяг паралелепіпеда, що відповідає таким умовам: основа - квадрат зі стороною 5 см; бічні грані є ромбами; одна з вершин, що знаходяться над основою, рівновіддалена від усіх вершин, що лежать у основі.

Рішення.Спершу треба розібратися з умовою. Із першим пунктом про квадрат питань немає. Другий, про ромби, дає зрозуміти, що паралелепіпед похилий. Причому всі його ребра дорівнюють 5 см, оскільки сторони у ромба однакові. А з третього стає зрозумілим, що три діагоналі, проведені з неї, рівні. Це дві, які лежать на бічних гранях, а остання всередині паралелепіпеда. І ці діагоналі дорівнюють ребру, тобто теж мають довжину 5 см.

Для визначення обсягу буде потрібна формула, записана для похилого паралелепіпеда. У ній знову немає відомих величин. Однак площа підстави легко обчислити, тому що це квадрат.

S про = 52 = 25 (см 2).

Трохи складніша справа з висотою. Вона буде такою у трьох фігурах: паралелепіпеді, чотирикутній піраміді та рівнобедреному трикутнику. Останньою обставиною і треба скористатися.

Оскільки вона висота, то є катетом у прямокутному трикутнику. Гіпотенузою в ньому буде відоме ребро, а другий катет дорівнює половині діагоналі квадрата (висота вона і медіана). А діагональ основи знайти просто:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (см).

н = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √ (25 - 25/2) = √ (25/2) = 2,5 √2 (см).

V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (см 3).

Відповідь: 62,5 √2 (см 3).

Учням старших класів буде корисно навчитися вирішувати завдання ЄДІ на знаходження обсягу та інших невідомих параметрів прямокутного паралелепіпеда. Досвід попередніх років підтверджує той факт, що такі завдання є для багатьох випускників досить складними.

При цьому розуміти, як знайти обсяг або площу прямокутного паралелепіпеда, мають старшокласники з будь-яким рівнем підготовки. Тільки в цьому випадку вони зможуть розраховувати на отримання конкурентних балів за підсумками складання єдиного держекзамену з математики.

Основні нюанси, які варто запам'ятати

• Паралелограми, з яких складається паралелепіпед, є його гранями, їхні сторони – ребрами. Вершини цих постатей вважаються вершинами самого багатогранника.
• Усі діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні. Так як це прямий багатогранник, то бічні грані є прямокутниками.
• Так як паралелепіпед - це призма, в основі якої знаходиться паралелограм, ця фігура має всі властивості призми.
• Бічні ребра прямокутного паралелепіпеда перпендикулярні до основи. Отже, є його висотами.

Готуйтеся до ЄДІ разом із «Школковим»!

Щоб заняття проходили легко та максимально ефективно, вибирайте наш математичний портал. Тут ви знайдете весь необхідний матеріал, який буде потрібний на етапі підготовки до єдиного державного іспиту.

Фахівці освітнього проекту «Школкове» пропонують піти від простого до складного: спочатку ми даємо теорію, основні формули та елементарні завдання з вирішенням, а потім поступово переходимо до завдань експертного рівня. Ви можете потренуватися, наприклад, .

Потрібну базову інформацію ви знайдете у розділі "Теоретична довідка". Ви також можете одразу розпочати вирішення завдань на тему «Прямокутний паралелепіпед» в онлайн-режимі. У розділі «Каталог» представлено велику добірку вправ різного ступеня складності. База завдань регулярно поповнюється.

Перевірте, чи легко ви зможете знайти об'єм прямокутного паралелепіпеда прямо зараз. Розберіть будь-яке завдання. Якщо вправа дається вам легко, переходьте до складніших завдань. А якщо виникли певні складнощі, рекомендуємо вам планувати свій день таким чином, щоб ваш розклад включав заняття з дистанційним порталом «Школкове».

Прямокутним паралелепіпедом (ПП) є ні що інше, як призма, основою якої прямокутник. У ПП всі діагоналі рівні, отже будь-яка його діагональ розраховується за такою формулою:

• а, у сторони основи ПП;

  з його висота.

Можна дати інше визначення, розглядаючи декартову прямокутну систему координат:

Діагональ ПП це радіус-вектор будь-якої точки простору, заданої координатами x, y та z у декартовій системі координат. Цей радіус вектор до точки проводиться із початку координат. А координатами точки будуть проекції радіусу-вектора (діагоналі ПП) на координатні осі. Проекції збігаються з вершинами даного паралелепіпеда.



Прямокутний паралелепіпед - це різновид багатогранника, що складається з 6 граней, в основі якого прямокутник. Діагональ - це відрізок, який поєднує протилежні вершини паралелограма.

Формула знаходження довжини діагоналі - квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох вимірів паралелограма.



Знайшлася в інтернеті непогана схема-таблиця з повним перерахуванням всього, що є в паралепіпеді. Існує формула, щоб знайти діагональ, яка позначається d.

Є зображення грані, вершини та інших важливих для паралепіпедів речей.



Якщо у прямокутного паралелепіпеда відомі довжина, висота і ширина (a, b, c), то формула для розрахунку діагоналі буде виглядати таким чином:



Зазвичай вчителі не пропонують своїм учням голу формулу, а докладають зусиль, щоб ті могли самостійно її вивести, ставлячи питання:

• що потрібно дізнатися, які дані ми маємо?
• які властивості має прямокутний паралелепіпед?
• Чи застосовна тут Теорема Піфагора? Як?
• чи достатньо даних для застосування теореми Піфагора, чи потрібні ще якісь розрахунки?

Зазвичай після відповіді на поставлені питання, учні легко самостійно виводять цю формулу.

Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні. Так само як і діагоналі його протилежних граней. Довжину діагоналі можна вирахувати, знаючи довжину рбер паралелограма, що виходять з однієї вершини. Ця довжина дорівнює кореню квадратного із суми квадратів довжин його рбер.



Прямокутний паралелепіпед це один із так званих багатогранників, який складається з 6 граней, кожна з яких є прямокутником. А діагональ – це відрізок, який поєднує протилежні вершини паралелограма. Якщо довжину, ширину і висоту прямокутного паралелепіпеда прийняти за a, b, c відповідно, формула його діагоналі (D) буде виглядати наступним чином: D^2=a^2+b^2+c^2.



Діагональ прямокутного паралелепіпеда- Це відрізок, що сполучає його протилежні вершини. Отже, у нас є прямокутний паралелепіпедз діагоналлю d і зі сторонами a, b, c. Одна з властивостей паралелепіпеда свідчить, що квадрат довжини діагоналі d дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів a, b, c. Звідси висновок, що довжина діагоналіможе бути легко розрахована за такою формулою:



Також:

Як знайти висоту паралелепіпеда?

• Квадрат діагоналі, квадратного паралілепіпеда (дивіться властивості квадратного паралепіпеда) дорівнює сумі квадратів трьох його різних сторін (ширині, висоті, товщині), а відповідно діагоналі квадратного паралепіпеда дорівнює кореню з цієї суми.

  Згадую шкільну програму з геометрії, можна сказати так: діагональ паралелепіпеда дорівнює кореню квадратному отриманому із суми його всіх трьох сторін (позначаються вони маленькими літерами a, b, c).

  Довжина діагоналі прямокутного паралепіпеда дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його сторін.

  Наскільки мені відомо ще зі шкільної програми, клас 9 якщо не помиляюся, і якщо не змінює пам'ять, то діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює кореню квадратної суми квадратів його всіх трьох сторін.

  квадрат діагоналі дорівнює, сумі квадратів ширини, висоти і довжини, виходячи з цієї формули отримуємо відповідь, діагональ дорівнює кореню квадратному з суми його трьох різних вимірів, літерами вони позначаюnсz abc

Теорема. У кожному паралелепіпеді протилежні грані рівні і паралельні.

Так, грані (рис.) BB 1 З 1 З і AA 1 D 1 D паралельні, тому, що дві прямі, що перетинаються BB 1 і B 1 З 1 однієї грані паралельні двом перетинаються прямим AA 1 і A 1 D 1 інший. Ці грані і рівні, тому що B 1 С 1 =A 1 D 1 , B 1 B=A 1 A (як протилежні сторони паралелограмів) і ∠BB 1 С 1 = ∠AA 1 D 1 .

Теорема. У кожному паралелепіпеді всі чотири діагоналі перетинаються в одній точці і діляться в ній навпіл.

Візьмемо (рис.) в паралелепіпеді якісь дві діагоналі, наприклад, AС 1 і DB 1 і проведемо прямі AB 1 і DС 1 .

Так як ребра AD і B 1 З 1 відповідно рівні та паралельні ребру BС, то вони рівні та паралельні між собою.

У результаті фігура ADС 1 B 1 є паралелограм, у якому З 1 A і DB 1 - діагоналі, а паралелограмі діагоналі перетинаються навпіл.

Цей доказ можна повторити про кожних двох діагоналі.

Тому діагональ AC 1 перетинається з BD 1 навпіл, діагональ BD 1 з A 1 З навпіл.

Таким чином, всі діагоналі перетинаються навпіл і, отже, в одній точці.

Теорема. У прямокутному паралелепіпеді квадрат будь-якої діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Нехай (рис.) AC 1 є якась діагональ прямокутного паралелепіпеда.

Провівши AC, отримаємо два трикутники: AC 1 С та ACB. Обидва вони прямокутні:

перший тому, що паралелепіпед прямий, і отже, ребро СС 1 перпендикулярно до основи,

другий тому, що паралелепіпед прямокутний, отже, в основі його лежить прямокутник.

З цих трикутників знаходимо:

AC 2 1 = AC 2 + СС 2 1 і AC 2 = AB 2 + BC 2

Отже, AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + СС 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Слідство. У прямокутному паралелепіпеді всі діагоналі рівні.