Що таке маятник максвела. Визначення моменту інерції маятника Максвелла. Визначення сили натягу ниток під час руху і в момент "Ривка" (нижня точка траєкторії)

Лабораторна робота №1*

Маятник Максвелла

Мета роботи: Визначити момент інерції маятника Максвелл динамічним здатним і порівняти його з теоретичним значенням

Прилади та матеріали:маятник Максвелла, електронний секундомір, змінні кільця.

Лабораторний прилад

Маятник Максвелла є невеликим диском (маховичком) насадженим туго на вісь. Під дією сили тяжіння він опускається на двох нитках, заздалегідь намотаних на вісь маховичка (рис. 1). Нитка під час руху диска вниз розмотується до повної довжини, маховичок, що розкрутився, продовжує обертальний рух у тому ж напрямку і намотує нитки на вісь, внаслідок чого він піднімається вгору, уповільнюючи при цьому своє обертання. Дійшовши до верхньої точки, диск знову опускатиметься вниз і т.д. Маховичок коливатиметься вниз і вгору, тому такий пристрій і називається маятником.

Лабораторна установка

У лабораторній установці маятник Максвелла укріплений на кронштейнах, що дозволяють регулювати довжину підвіски та її паралельність. До верхнього та нижнього кронштейнів прикріплені фотоелектричні датчики, пов'язані функціонально з електронним секундоміром, що вимірює час руху маятника. На маховичськ накладаються змінні кільця, що змінювали момент інерції маятника. На верхньому кронштейні знаходиться

електромагніт, що фіксує початкове положення маховичка з кільцем при віджаті клавіші "ПУСК".

Теоретичний опис роботи та виведення робочої формули

Маятник у процесі коливань здійснює поступальний та обертальний рухи, які описуються відповідними рівняннями. Для складання рівнянь руху розглянемо сили та моменти сил, що діють на маховичок (рис. I). Нехай
- сила тяжіння, - Сила натягу однієї нитки.
- Радіус осі маятника.
10 мм - діаметр осі маятника,
- Маса маятника. - Момент інерції маховичка. Тоді рівняння поступального руху, згідно з другим законом Ньютона, запишеться так:

. (1)

У рівнянні (1) стоїть подвоєне значення сили , тому що на вісь маховичка намотані дві нитки, у кожній з яких виникає сила натягу .

Під дією сил натягу диск здійснює обертальний рух. Момент цих сил дорівнює:

. (2)

Плечем сили є радіус осі маятника, діаметром нитки нехтуємо.

Тоді рівняння обертального руху маховичка можна записати так:

, (3)

де - Кутове прискорення обертання диска.

Кутове прискорення та прискорення центру мас пов'язані співвідношенням:

. (4)

Прискорення , центру мас можна знайти, знаючи довжину шляху та час руху маховичка від верхньої до нижньої точки (з урахуванням нульової початкової швидкості):

. (5)

. (6)

Підставивши (6) до (4), отримаємо:

. (7)

З урахуванням (6) та (7) рівняння (1) та (3) набудуть вигляду:

. (8)

. (9)

Вирішуючи спільно рівняння (8) і (9), отримаємо робочу формулу для визначення моменту інерції маятника Максвелла експериментальним шляхом:

. (10)

У формулі (10) маса
є загальною масою маятника, що включає масу осі маятника, диска і кільця. -?-?

-?
-?
-?

Порядок виконання роботи

1. Увімкнути встановлення в мережу.

2. На маховичок накласти довільно вибраний кільце, притискаючи його до упору.

3. На вісь маятника намотати нитку підвіски, звертаючи увагу на те. щоб вона намотувалась рівномірно, виток до витка.

4. Зафіксувати маятник у верхньому кронштейні, натиснувши кнопку "ПУСК" секундоміра.

5. Натисніть клавішу скидання секундоміра.

6. Натиснути клавішу "ПУСК", при цьому електронний секундомір розпочне відлік часу руху маятника до нижнього кронштейна. Вимірювання повторити 5 разів та занести у відповідну колонку таблиці.

7. За шкалою на вертикальній колонці визначити довжину маятнику.

8. Вимірювання часу (пункт 6) повторити для різних насадних кілець та занести до таблиці.

9. Визначити загальну масу маятника. Значення мас окремих елементів на них.

10. За формулою (10) обчислити момент інерції - маятника для всіх

серій вимірів.

11.Обчислити відносну та абсолютну похибки визначення моменту

інерції за отриманими самостійно формулами. Формула диференціала має вигляд

12. Обчислити теоретичні значення моментів інерції маятника за формулами (11) і порівняти з обчисленими за формулами (10):

, (11)

де
- Момент інерції осі маятника.

- Маса осі маятника, = 10 мм – діаметр осі

- Момент інерції диска.

- Маса диска,
86 мм - зовнішній діаметр диска

- Момент інерції насадного кільця.

- маса кільця,
105 мм – зовнішній діаметр кільця.

13. Остаточні результати визначення моментів інерції маятника подати у такому вигляді:

,
.

14. За отриманими результатами зробити висновки.

Таблиця результатів

№,

, з

, кг

, м

Порівн. знач.

, з

, кг

, м

Контрольні питання

1. Дайте визначення моменту інерції матеріальної точки та твердого тіла.

2. Як записується основне рівняння динаміки обертального руху?

3. Який фізичний пристрій називається маятником Максвелла? Назвіть основні його елементи та поясніть принцип його роботи.

4. Виведіть робочу формулу для визначення моменту інерції маятника Максвелла.

5. Поясніть формулу (11) для теоретичних значень моментів інерції маятника.

6. Виведіть формулу для відносної та абсолютної похибок визначення моментів інерції.

Нижегородський Державний Технічний Університет

Виксунський Філія

Лабораторна робота №1-4

із загальної фізики

Маятник Максвелла

Виконала:

Герасимова Є.М.

ПТК-09

Перевірив:

Маслов В.П.

1. Ціль роботи .

Визначення моменту інерції маятника Максвелла.

2.Короткі відомості з теорії

Дія приладу засновано на одному з основних законів механіки - законі збереження механічної анергії: повна механічна анергія системи, яку діють лише консервативні сили, постійна. Маятник Максвелла є тверде тіло, насаджене на вісь. Ось підвішена на двох нитках, що накручуються на неї (рис.1). Нехтуючи силами тертя, систему вважатимуться консервативною. потенційної анергії. При звільненні маятника він починає рух під дією сили тяжіння: поступальний донизу і обертальний навколо своєї осі. При цьому потенційна енергія перетворюється на кінетичну. Опустившись у крайнє нижнє становище, маятник за інерцією обертатиметься у тому напрямі, нитки намотуються на вісь і маятник підніметься. Так відбуваються коливання маятника.

Малюнок 1

Напишемо рівняння руху маятника. При поступальному русі маятника за другим законом Ньютона з урахуванням чинних ні маятник сил можна написати

де m - маса маятника, g -прискорення сили тяжкості, a - прискорення поступального руху центру мас маятника,

Т-сила натягу однонитки ,

Проектуючи це рівняння, отримаємо

ma = mg-2T. (1)

Для обертального руху маятника запишемо основний закон динаміки обертального руху для абсолютно твердого тіла:

, де J-момент інерції маятника щодо його осі обертання, -кутове прискорення маятника, М -результуючий момент зовнішніх сил щодо осі обертання.

Оскільки момент сили тяжіння щодо осі обертання дорівнює нулю,

, (2)

де r-радіус осі. Так як
та з (1)2Т =m(g-a), можемо написати:

а після перетворень

Прискорення а може бути отримано за виміряним часом руху і проходимим маятником відстані hз рівняння рівноприскореного руху без початкової швидкості:

. Тоді

І якщо підставити діаметр осі D, отримаємо основну розрахункову формулу

. (3)

3.Опис експериментальної установки

З хема лабораторного стенду зображено на рис. 1. Основним елементом стенду є диск 1, через центр якого проходить вісь 2. На цю вісь намотуються дві симетрично розташовані нитки З. У вихідному положенні (показано пунктиром на рис. 1) диск утримується електромагнітами 4. При відключенні електромагнітів диск починає рухатися вниз з одночасним розкручуванням ниток.

Складне рух диска можна як накладання двох незалежних рухів - поступального і обертального. Відстань, що проходить центром інерції диска за рахунок поступального руху, відраховується за вертикальною шкалою 5. Відлік часу поступального руху проводиться по мілісекундоміру 6, на який подається сигнал від фотодатчика 7 в той момент, коли край диска, що опускається, перетинає світловий промінь фотодатчика.

При необхідності змінити загальну зсуву шляху, що проходить диском при поступальному русі, регулюють довжину ниток за допомогою гвинта 8. При цьому платформу 9 з фотодатчиком також відповідно переміщають, звільняючи гвинт 10, так що диск, що опускається, перетинав світловий промінь, але не торкався при цьому самої платформи фотодатчика.

Величину прискорення поступального руху диска можна змінювати, додаючи диск змінні кільця 11 .

m =(0,050 0,003) кг

m д =(0,050 0,003) кг

m к1 =(0,158 0,003) кг

m к2 =(0,370 0,003) кг

m к2 =(0,670 0,003) кг

4. Вихідні дані

Таблиця №1

де m = д - маса валу і диска,

m до - маса кілець,

r-радіус валу,

R 1 - внутрішній радіус кілець,

R 2 - зовнішній радіус кілець,

h-висота підйому валу.

5.Розрахунки:

Розрахуємо експериментально момент інерції маятника Максвелла за такою формулою:

де m 1 =m +m д +m до I =0,05+0,05+0,158=0,258 кг

m 2 =m +m д +m до II =0,05+0,05+0,370=0,470 кг

m 3 =m +m д +m до III =0,05+0,05+0,670=0,770 кг

Таблиця №2

№ досвіду	m до ,кг	J, кг м 2

Обчислення значень – практично,

Аналіз графіка (графік див. на міліметрівці):

Оскільки зовнішні радіуси кілець різні, то й для кожного маси будуть різні, а отже, матимемо три графіки. Для кожного графіка ми маємо по одній точці
, а знаходимо за формулою

- перетин лінії графіка осі ординат,

на графіку, лінії графіка перетинають вісь ординат у значенні:

- Зміна відстаней,

Обчислення значень теоретично:

4.Визначення натягу ниток N і N max :

Якщо порівнювати силу натягу ниток з силою тяжіння, то ми побачимо, що сила натягу нитки приблизно дорівнює силі тяжкості маятника, а сила натягу нитки maxв 2-2,5 рази більше сили тяжіння маятника.

Визначення похибок:

маса валу+мале кільце+диск:

маса валу+середнє кільце+диск:

маса валу+велике кільце+диск:

радіус валу:

похибка радіусів диск + кільце:

мале кільце+диск:

середнє кільце+диск:

велике кільце+диск:

похибка радіусу диска:

похибка моменту інерції:

Висновок:У ході роботи ми познайомилися з маятником Максвелла, навчилися визначати момент інерції маятника Максвелла. Виниклі розбіжності між практичними та теоретичними обчисленнями пояснюються дією сил опору.

Навчально-методичний посібник

до лабораторної роботи № 1.10

Метою роботиє вивчення законів динаміки обертального руху твердого тіла, ознайомлення з маятником Максвелла і методикою вимірювання на ньому моменту інерції колеса маятника Максвелла щодо осі, що проходить через його центр мас, а також експериментальне знаходження прискорення поступального руху центру мас колеса маятника Максвелла.

1. Основні поняття обертального руху твердого тіла .

Під твердим тілом у механіці розуміється модель абсолютно твердого тіла - Тіла, деформаціями якого в умовах даного завдання можна знехтувати. Таке тіло можна як систему жорстко закріплених матеріальних точок. Будь-який складний рух твердого тіла завжди можна розкласти на два основні види руху - поступальний та обертальний.

Поступальним рухом твердого тіла називається рух, при якому будь-яка пряма, проведена через будь-які дві точки тіла, залишається паралельною до себе у весь час (рис.1). При такому русі всі точки твердого тіла рухаються абсолютно однаково, тобто мають ту саму швидкість, прискорення, траєкторії руху, здійснюють однакові переміщення і проходять однаковий шлях. Отже, поступальний рух твердого тіла можна як рух матеріальної точки. Такою точкою може бути, зокрема, центр мас (центр інерції) тіла. Під центром мас тіла розуміється точка застосування результуючої масових сил, що діють на тіло. Масові сили – це сили, пропорційні масам елементів тіла, куди ці сили діють, за умови що сили, що діють всі елементи тіла, паралельні одне одному.

Оскільки при поступальному русі всі елементарні маси m i твердого тіла рухаються з однаковими швидкостями і прискореннями, то для кожної з них справедливий другий закон Ньютона:

, (1)

де - сума всіх внутрішніх сил, що діють на елементарну масу Δm i (всього таких сил буде i-1, оскільки сама на себе частка не може діяти), а сума всіх зовнішніх сил, що діють на елементарну масу Δm i з боку інших тіл. Просумувавши рівняння (1) по всьому тілу та враховуючи, що сума всіх внутрішніх сил згідно з третім законом Ньютона дорівнює нулю, отримаємо закон динаміки поступального руху твердого тіла:

Або , (3)

де - що результує всіх зовнішніх сил, що діють на тіло в цілому, - імпульс (кількість руху) тіла. Отримане рівняння (3) поступального руху тверде тіло збігається з рівнянням динаміки матеріальної точки.

обертальним рухом твердого тіла називається рух, при якому всі точки тіла описують кола, центри яких лежать на одній і тій же прямій, що називається віссю обертання тіла. При обертальному русі всі точки тіла рухаються з однією і тією ж кутовою швидкістю та кутовим прискоренням і здійснюють однакові кутові переміщення. Однак, як показує досвід, при обертальному русі твердого тіла навколо закріпленої осі маса вже не є мірою його інертності, а сила недостатня для характеристики зовнішнього впливу. Також з досвіду випливає, що прискорення при обертальному русі залежить як від маси тіла, а й її розподілу щодо осі обертання; залежить не тільки від сили, а й від точки її застосування та напрямки дії. Тому для опису обертального руху твердого тіла введені нові характеристики, такі як момент сили, момент імпульсу та момент інерції тіла. При цьому, слід мати на увазі, що існує два різні поняття цих величин: щодо осі та відносно будь-якої точки (полюса, початку), взятої на цій осі.

Моментом сили щодо нерухомої точкиПроназивається векторна величина, що дорівнює векторному твору радіус-вектора , проведеного з точки О в точку докладання результуючої сили , на вектор цієї сили:

(4)

Вектор моменту сили завжди перпендикулярний площині, в якій розташовані вектори і , а його напрямок щодо цієї площини визначається за правилом векторного твору або за правилом буравчика. Відповідно до правила буравчика: якщо рукоятку буравчика обертати за напрямом дії сили, то поступальний рух буравчика збігатиметься з напрямком вектора моменту сили (рис.2). Вектори, напрямок яких пов'язують із напрямком обертання (кутова швидкість, кутове прискорення, момент сили, момент імпульсу тощо), називають псевдовекторами або аксіальними ввідмінність звичайних векторів (швидкість, радіус-вектор, прискорення тощо), які називають полярними .

Величинавектор моменту сили (чисельне значення моменту сили) визначається згідно з формулою векторного твору (4), тобто. , де a -

кут між напрямками векторів та . Розмір p= r·Sinα називається плечем сили (рис.2). Плече сили р - це найкоротша відстань від точки О до лінії дії сили.

Моментом сили щодо осі , називається проекція на цю вісь вектора моменту сили, знайденого щодо будь-якої точки, що належить цій осі. Зрозуміло, що щодо осі момент сили є скалярною величиною.

У системі СІ момент сили вимірюється Нм.

Для введення поняття моменту імпульсу тіла, введемо спочатку це поняття для матеріальної точки, що належить твердому тілу, що обертається.

Моментом імпульсу матеріальної точки Δmiщодо нерухомої точки О називається векторний добуток радіус-вектора , проведеного з точки О в точку Δm i на вектор імпульсу цієї матеріальної точки:

, (5)

де - Імпульс матеріальної точки.

Моментом імпульсу твердого тіла (або механічної системи) щодо нерухомої точки називається вектор , рівний геометричній сумі моментів імпульсу щодо цієї точки Про всіх матеріальних точок даного тіла, тобто. .

Моментом імпульсу твердого тіла щодо осі називається проекція на цю вісь вектора моменту імпульсу тіла щодо будь-якої точки, вибраної на цій осі. Очевидно, у разі момент імпульсу є скалярної величиною. В системі СІ момент імпульсу вимірюється в

Мірою інертності тіл за поступального руху є їх маса. Інертність тіл при обертальному русі залежить не тільки від маси тіла, але і від її розподілу в просторі щодо осі обертання. Мірою інертності тіла при обертальному русі є момент інерції тіла I щодо осі обертання або точки. Момент інерції, як маса, величина скалярна.

Моментом інерції тіла щодо осі обертання називається фізична величина рівна сумі творів мас матеріальних точок, на які можна розбити все тіло, на квадрати відстаней кожної з них до осі обертання:

, (6)

де -Момент інерції матеріальної точки.

Моментом інерції тіла щодо точки, що лежить на осі, називається скалярна величина, що дорівнює сумі творів маси кожної матеріальної точки даного тіла на квадрат її відстані до точки Про. Розрахункова формуламомент інерції аналогічна формулі (6).

У системі СІ момент інерції вимірюється кгм 2 .

2. Основний закон динаміки обертального руху твердого тіла.

Знайдемо зв'язок між моментом сили та моментом імпульсу твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі ГО. І тому подумки розіб'ємо тіло на елементарні частини (маси), які вважатимуться матеріальними точками.

Кожна з матеріальних точок, що входять у це тверде тіло, буде рухатися по колу в площині, перпендикулярній осі обертання, а центри всіх цих кіл будуть лежати на цій осі. Зрозуміло, що всі точки тіла в даний час мають однакову кутову швидкість і однакове кутове прискорення. Розглянемо i-матеріальну точку, маса якої Δm i , а радіус кола, по якому вона рухається, r i . На неї діють як зовнішні сили з боку інших тіл, так і внутрішні - з боку інших матеріальних точок, що належать цьому тілу. Розкладемо результуючу силу , що діє на матеріальну точку маси Δm i на дві взаємно перпендикулярні складові сили і , причому так, щоб вектор сили збігався у напрямку з дотичної до траєкторії руху частинки, а сила - перпендикулярна до цієї дотичної (Рис.3). Цілком очевидно, що обертання даної матеріальної точки обумовлено лише дотичною складовою сили, величину якої можна представити у вигляді суми внутрішньої. та зовнішньої сил. В цьому випадку для точки Δm i другий закон Ньютона в скалярному вигляді матиме вигляд

(7)

З урахуванням того, що при обертальному русі твердого тіла навколо осі, лінійні швидкості руху матеріальних точок по кругових траєкторіях різні за величиною та напрямком, а кутові швидкості w для всіх цих точок однакові (і за величиною та напрямком), замінимо в рівнянні (7) лінійну швидкість на кутову (vi = wr i):

. (8)

Введемо до рівняння (8) момент сили, що діє на частку. Для цього помножимо ліву та праву частину рівняння (8) на радіус r i , який по відношенню до результуючої сили є плечем:

. (9)

, (10)

де кожен член у правій частині рівняння (10) є моментом відповідної сили щодо осі обертання. Якщо в це рівняння ввести кутове прискорення обертання матеріальної точки маси Δm i щодо осі ( = ) та її момент інер-

ції ΔI i щодо цієї ж осі ( =ΔI i), то рівняння обертального движ-

ня матеріальної точки щодо осі набуде вигляду:

ΔI i · = (11)

Аналогічні рівняння можна записати всім інших матеріальних точок, які входять у це тверде тіло. Знайдемо суму цих рівнянь з урахуванням того, що величина кутового прискорення для всіх матеріальних точок даного тіла, що обертається, буде однаковою, отримаємо:

Сумарний момент внутрішніх сил дорівнює нулю, тому що кожна внутрішня сила, згідно з третім законом Ньютона, має рівну за величиною, але протилежно спрямовану собі силу, прикладену до іншої матеріальної точки тіла, з таким самим плечем. Сумарний момент = М - є крутний момент всіх зовнішніх сил, що діють на тіло, що обертається. Сума моментів інерції =I визначає момент інерції даного тіла щодо осі обертання. Після підстановки зазначених величин рівняння (12) остаточно отримаємо:

Рівняння (13) називається основним рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла щодо осі. Оскільки = , а момент інерції тіла щодо цієї осі обертання є постійною величиною і, отже, його можна внести під знак диференціала, то рівняння (13) можна записати у вигляді:

. (14)

Величина

називається моментом імпульсу тіла щодо осі. З урахуванням (15) рівняння (14) можна записати у вигляді:

(16)

Рівняння (13-16) носять скалярний характер і застосовуються тільки для опису обертального руху тіл щодо осі. При описі обертального руху тіл щодо точки (або полюса або початку), що належить даної осі, зазначені рівняння відповідно записуються у векторному вигляді:

(13 *); (14 *); (15 *); (16 *).

При порівнянні рівнянь поступального та обертального руху тіла видно, що при обертальному русі замість сили виступає її момент сили, замість маси тіла – момент інерції тіла, замість імпульсу (або кількості руху) – момент імпульсу (або момент кількості руху). З рівнянь (16) і (16 *) випливає відповідно рівняння моментів щодо осі та щодо точки:

dL=Mdt (17); (17 *) .

Відповідно до рівняння моментів щодо осі (17) – зміна моменту імпульсу

са тіла щодо нерухомої осі дорівнює моменту імпульсу зовнішньої сили, що діє на тіло щодо цієї ж осі. Щодо точки (17 *) рівняння моментів формулюється: зміна вектора моменту імпульсу щодо точки дорівнює імпульсу моменту вектора сили, що діє на тіло, щодо цієї точки.

З рівнянь (17) і (17*) випливає закон збереження моменту імпульсу твердого тіла як щодо осі, і щодо точки. З рівняння (17) випливає, якщо сумарний момент усіх зовнішніх сил М щодо осі дорівнює нулю

(M=0, отже і dL=0) момент імпульсу цього тіла щодо осі його обертання залишається постійною величиною (L=Const).

Щодо точки: якщо сумарний вектор моменту всіх зовнішніх сил щодо точки обертання залишається незмінним, то вектор моменту імпульсу цього тіла щодо цієї ж точки залишається постійним.

Слід зазначити, що й система відліку, щодо якої розглядається обертання тіла, є неінерційною , то момент сили М включає як момент сил взаємодії, і момент сил інерції щодо тієї ж осі

або точки.

3. Опис установки. Виведення робочої формули.

Рис.4. Лабораторне встановлення.

Основа 1, оснащене трьома регулювальними опорами, за допомогою яких встановлюється вертикальне положення штативів 2 та 9.

За допомогою міліметрової лінійки 3 і двох пересувних візирів 4 визначається відстань пройдений центром маятника 5 при його падінні. У верхній частині штативів 2 розташований вузол 6 регулювання довжини ниток маятника 5. На нижньому рухомому кронштейні 7 встановлений «світловий бар'єр» 8 – електронний вимірювач часу. На стійці 9 розташований «пусковий пристрій» 10.

Основним елементом установки є маятник 5, що складається з диска, через центр якого проходить вісь діаметром D. На цю вісь намотуються дві симетрично розташовані відносно площини диска нитки однакової довжини.

Дія установки заснована на законі збереження механічної анергії: повна механічна анергія Е системи, на яку діють лише консервативні сили, постійна та визначається відповідно до рівняння:

Е = + , (18)

де -кінетична енергія обертального руху маятника, I-момент інерції маятника, w-кутова швидкість обертального руху диска.

Закручуючи на вісь маятника нитки , ми піднімаємо його на висоту h та створюємо йому запас потенційної енергії. Якщо відпустити маятник, то він починає опускатися під дією сили тяжіння, набуваючи одночасно обертального руху. У нижній точці, коли маятник опуститься на повну довжину ниток, поступальний рух припиниться вниз. При цьому диск, що розкрутився, зі стрижнем продовжує обертальний рух у тому ж напрямку за інерцією і знову намотує нитки на стрижень. Внаслідок цього диск зі стрижнем починає підніматися нагору. Після досягнення найвищої точки цикл коливального руху відновиться. Диск зі стрижнем буде здійснювати коливання вгору і вниз, такий пристрій і називається маятником Максвелла.

Для отримання робочої формули розглянемо сили, які діють маятник Максвелла (рис.5).

Такими силами є: сила тяжіння m, прикладена до центру мас системи та сила натягу ниток. Запишемо для цієї системи рівняння поступального руху маятника. Відповідно до другого закону Ньютона для поступального руху центру маси маятника рівняння руху має вигляд:

m = m +2 , де прискорення центру мас маятника,

Сила натягу однієї нитки. Спроектуємо це рівняння на вісь ОУ, що збігається з напрямком руху центру мас маятника:

m = mg – 2T (19)

Крім поступального руху маятник бере участь і у обертальному русі за рахунок дії на нього моменту сили Т. Тоді для такого руху маятника запишемо основний закон динаміки обертального руху як для абсолютно твердого тіла:

де I – момент інерції колеса маятника щодо осі обертання, -кутове прискорення маятника, М – результуючий момент зовнішніх сил щодо осі обертання колеса маятника.

Якщо немає прослизання між віссю і нитками і нитку можна вважати нерозтяжною, то лінійне прискорення пов'язане з кутовим кінематичним співвідношенням.

ням:
, де v-лінійна швидкість руху центру мас маятника, r-радіус осі маятника. Тоді кутове прискорення можна записати як

(21)

Так як сила тяжіння m проходить через центр маси системи і, отже, її момент сили дорівнює нулю, то момент сили М, що діє на маятник, буде обумовлено дією сумарної сили натягу, що дорівнює 2Т. В цьому випадку, і з урахуванням рівняння (21), рівняння (20) можна записати у вигляді:

(22)

З рівняння (19) знайдемо результуючу силу 2Т і підставимо її на рівняння (22):

. (23)

Розділивши праву і ліву частину рівняння (23) на величину прискорення після простих перетворень, отримаємо формулу для розрахунку моменту інерції I у вигляді:

. (24)

Оскільки величини I, m і r, що входять у рівняння (24), у процесі руху не змінюються, рух маятника має відбуватися з постійним прискоренням. Для такого руху відстань h, пройдена за час t, при русі з нульовою початковою швидкістю дорівнює . Звідки . Підставивши знайдене прискорення рівняння (24) і замінивши величину радіуса осі маятника r на її діаметр D, остаточно отримаємо основну робочу формулу для розрахунку моменту інерції маятника:

. (25)

У робочій формулі (25):

m – маса маятника, що дорівнює сумі мас диска m д, та осі m про;

D – зовнішній діаметр осі маятника разом із намотаною на неї ниткою підвіски

(D = D 0 + d o , де D o – діаметр осі маятника, d o – діаметр нитки підвіски);

t - час проходження маятником відстані h у разі його падіння;

g – прискорення вільного падіння.

Сторінки роботи

1. Ціль роботи:визначення моменту інерції маятника Максвелла. Визначення сили натягу ниток під час руху і в момент «ривка» (нижня точка траєкторії).

2. Теоретичні засади роботи.

Маятник Максвелла є однорідним диском, насадженим на циліндричний вал (рис. 1); центри мас диска та валу лежать на осі обертання. На вал радіусом r намотані нитки, кінці яких закріплені на кронштейні. При розмотуванні ниток маятник Максвелла здійснює плоский рух. Плоським називають такий рух, при якому всі точки тіла переміщуються у паралельних площинах. Плоский рух маятника можна як суму двох рухів — поступального руху центру мас уздовж осі OY, зі швидкістю Vта обертального руху з кутовою швидкістю wщодо осі O’ Z, що проходить через центр мас маятника.

Тут індекс Зозначає центр мас системи.

Основне рівняння динаміки обертального руху для маятника максвела щодо миттєвої осі O‘ Z, що проходить через центр мас має вигляд

Тут J Z- момент інерції маятника щодо осі O‘ Z.

ЕZ- Проекція кутового прискорення на вісь O’Z; ліва частина рівняння - алгебраїчна сума моментів зовнішніх сил щодо осі O’Z.

Якщо нитка не прослизає, то швидкість центру мас маятника та кутова швидкість wпов'язані кінематичним співвідношенням

а) Визначення моменту інерції маятника Максвелла.

Використовуючи закон збереження механічної енергіїМожна експериментально визначити момент інерції маятника. Для цього вимірюється час tопускання маятника масою mз висоти h.

Приймемо потенційну енергію маятника Максвелла Wп.зв. = 0 у положенні, коли маятник знаходиться у нижній точці. Кінетична енергія у цьому становищі

Тут V- Швидкість центру мас маятника; w- кутова швидкість;

Jмомент інерції маятника щодо осі, що проходить через центр мас: m = mв + mд + mл- Маса маятника; mв, mд,mл- Маси валу, диска та кільця, що входять до складу маятника. У верхньому положенні маятника його потенційна енергія

а кінетична енергія дорівнює нулю. Із закону збереження механічної енергії для маятника Максвелла (дисипативними силами, тобто силами тертя, опору повітря тощо нехтуємо) слід

Оскільки центр мас маятника рухається прямолінійно та рівноприскорено, то

Підставляючи співвідношення (4) в (2) і використовуючи співвідношення між швидкістю центру мас і кутовою швидкістю обертання маятника щодо осі симетрії, отримаємо формулу для розрахунку експериментального моменту інерції маятника Максвелла

Тут r – радіус валу

Отриманий результат порівнюємо зі значенням моменту інерції, що визначається з теоретичних міркувань. Теоретичний момент інерції маятника Максвелла можна розрахувати за Формулою

Тут J B, J Д, J K- моменти інерції складових частин маятника: валу, диска та кільця відповідно. Використовуючи загальну формулу для визначення моменту інерції

знайдемо моменти інерції елементів маятника Максвелла.

МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА

Мета роботи: познайомитися із закономірностями плоского руху тіл, визначити момент інерції диска маятника Максвелла

Обладнання: маятник Максвелла, секундомір.

Плоским рухом твердого тіла називається такий рух, у якому траєкторії всіх точок тіла лежать у паралельних площинах.

Отримаємо рівняння кінетичної енергії плоского руху. Невелика частка тіла, як і належить матеріальній точці, рухається поступально і має кінетичну енергію. Представимо швидкість частки як суму швидкості центру мас V 0 та швидкості руху U iщодо осі Про, що проходить через центр мас перпендикулярно до площини руху (рис. 1). Сумарна кінетична енергія всіх частинок дорівнюватиме.

Вимагаємо, щоб середній член, тобто сума імпульсів частинок щодо осі О,дорівнював би нулю. Так буде, якщо відносний рух буде обертальним, , з кутовою швидкістю ω. (Якщо підставити відносну швидкість у середній член, то отримаємо формулу для розрахунку центру мас тіла).

У результаті кінетична енергія плоского руху може бути представлена як сума енергії поступального руху тіла зі швидкістю центру мас і обертального руху щодо осі, що проходить через центр мас

. (1)

Тут m –маса тіла, – момент інерції тіла щодо осі О,проходить через центр мас.

Розглянемо інший спосіб уявлення плоского руху, як обертання навколо так званої миттєвої осі. Складемо епюри швидкостей у поступальному та обертальному русі для точок тіла, що лежать на перпендикулярі до вектора V 0, (рис. 2).

Є у просторі така точка З,результуюча швидкість якої дорівнює нулю. Через неї проходить так звана миттєва вісь обертання, щодо якої тіло здійснює лише обертальний рух. Відстань між центром мас і миттєвою віссю можна визначити із співвідношення між кутовою та лінійною швидкістю центру мас.

Рівняння кінетичної енергії обертального руху щодо миттєвої осі має вигляд

Тут J с –момент інерції тіла щодо миттєвої осі . Зіставивши рівняння (1) і (2), при , отримаємо

. (3)

Цей вираз називається теоремою Штейнера: момент інерції тіла щодо цієї осі Здорівнює сумі моменту інерції щодо осі Про, що проходить через центр мас і паралельна даній і твору маси тіла на квадрат відстані між осями.

Розглянемо закономірності плоского руху з прикладу маятника Максвелла (рис. 3). Маятник є диском, може бути з одягненим кільцем, на осі якого закріплений круглий стрижень невеликого радіусу r. На кінцях стрижня намотано дві нитки, на яких маятник підвішений. Якщо маятник відпустити, він падає, одночасно обертаючись. Траєкторії всіх точок лежать у паралельних площинах, тому це плоский рух. Центр мас розташований на осі симетрії, а миттєва вісь обертання збігається з утворюючим стрижнем і проходить через точки дотику ниток на відстані rвід центру мас. У нижній точці руху маятник, продовжуючи інерцію обертатися, намотує нитки на стрижень і починає підніматися. В ідеальному випадку, за відсутності опору, він піднявся до початкового становища.

Система тіл маятник – Земля замкнута, а внутрішні сили тяжкості та натягу ниток консервативні. Якщо в першому наближенні можна знехтувати дією сил опору, то можна застосувати закон збереження енергії: потенційна енергія маятника у верхньому вихідному положенні перетворюється в нижній точці на кінетичну енергію плоского руху (1):

. (4)

Підставимо на це рівняння кутову швидкість обертання, і швидкість поступального руху за формулою кінематики рівноприскореного руху. Після перетворень отримаємо розрахункову формулу для моменту інерції щодо осі симетрії

. (5)

Час падіння вимірюється секундоміром. При натисканні на кнопку «Пуск» вимикається електромагніт, який утримує маятник і починається рахунок часу. При перетині маятником променя фотоелемента рахунок припиняється. Висота падіння вимірюється за шкалою на стійці за становищем променя фотоелемента (рис. 3)

Момент інерції щодо осі симетрії для маятника можна розрахувати теоретично як суму моментів інерції стрижня, диска та кільця:

1. Встановіть фотоелемент у нижньому положенні так, щоб маятник при опусканні перекривав промінь фотоелемента. Довжина ниток підвісу регулюється гвинтом із контргайкою на кронштейні стійки. Виміряти висоту падіння як координату променя за шкалою на стійці.

Включити установку до мережі 220 В, натиснути кнопку «Мережа».

2. Обертаючи стрижень, намотати нитку на стрижень, піднявши диск до електромагніту. Відбудеться примагнічування диска. Натиснути кнопку "Пуск". Магніт відпустить маятник і він почне опускатися, почнеться рахунок часу секундоміром. Записати до табл. 1 висоту падіння та час падіння.

Закон збереження енергії. Маятник Максвелла

1 Крайова науково-практична конференція навчально-дослідницьких робіт учнів 9-11 класів «Прикладні та фундаментальні питання математики» Прикладні питання математики Закон збереження енергії. Маятник Максвелла Соколова Дар'я Віталіївна, 10 кл., МБОУ «Ліцей 1», м. Перм, Савіна Марина Віталіївна, учитель фізики. Перм

2 Вступ У світі нас оточує стільки цікавих речей, які стали для нас звичними і ми не помічаємо їхньої унікальності. Нас не цікавить походження електрочайника, пульта для телевізора, пилососа, адже ми користуємося цими речами щодня і нам не важливо, на чому ґрунтується їхня робота. Іноді потрібно приділити час вивчення чогось нового. Усім відома іграшка під назвою Йо-йо. За допомогою неї багато хто виконує різні ефектні трюки. Перше визначення Йо-йо іграшка з двох однакових за розміром та вагою дисків, скріплених віссю з прив'язаною до неї мотузкою. Це визначення найдавнішого варіанту іграшки, який можна зустріти й досі. Нам стало цікаво, на чому ґрунтується її робота. Виявилося, що Йо-йо цього типу працює за принципом маятника Максвелла, воно розкручується мотузкою і повертається назад і так, поки не зупиниться. Джеймс Клерк Максвелл

3 Джеймс Клерк Максвелл британський фізик, математик та механік. Шотландець за походженням. Максвелл заклав основи сучасної класичної електродинаміки (рівняння Максвелла), ввів у фізику поняття струму зміщення та електромагнітного поля, отримав ряд наслідків зі своєї теорії (пророцтво електромагнітних хвиль, електромагнітна природа світла, тиск світла та інші). Один із засновників кінетичної теорії газів (встановив розподіл молекул газу за швидкостями). Одним із перших увів у фізику статистичні уявлення, показав статистичну природу другого початку термодинаміки («демон Максвелла»), отримав ряд важливих результатів у молекулярній фізиці та термодинаміці (термодинамічні співвідношення Максвелла, правило Максвелла для фазового переходу рідини газ та інші).

4 Маятник Максвелла Маятник Максвелла є кругле тверде тіло, насаджене на вісь. Ось підвішена на двох нитках, що накручуються на неї. Дія приладу ґрунтується на одному з основних законів механіки — законі збереження механічної енергії: повна механічна енергія системи, на яку діють лише консервативні сили, є постійною. Під дією сили тяжіння маятник здійснює коливання у вертикальному напрямку та водночас крутильні коливання навколо своєї осі. Нехтуючи силами тертя, систему вважатимуться консервативною. Закрутивши нитки, ми піднімаємо маятник на висоту h, повідомивши йому про запас потенційної енергії. При звільненні маятника він починає рух під дією сили тяжіння: поступальний донизу і обертальний навколо своєї осі. При цьому потенційна енергія перетворюється на кінетичну. Опустившись у крайнє нижнє становище, маятник за інерцією обертатиметься у тому напрямі, нитки намотуються на вісь і маятник підніметься. Так відбуваються коливання маятника.

5 Закон збереження енергії Філософські передумови відкриття закону були закладені ще античними філософами. Ясне, хоча ще не кількісне, формулювання дав у «Початках філософії» (1644) Рене Декарт. Аналогічний погляд висловив у XVIII столітті М. У. Ломоносов. У листі до Ейлер він формулює свій «загальний природний закон» (5 липня 1748 року), повторюючи його в дисертації «Міркування про твердість і рідину тіл» (1760). Одним із перших експериментів, що підтверджували закон збереження енергії, був експеримент Жозефа Луї Гей-Люссака, проведений у 1807 році. Намагаючись довести, що теплоємність газу залежить від обсягу, він вивчав розширення газу в порожнечу і виявив, що його температура не змінюється. Проте пояснити цей факт йому не вдалося. На початку XIX століття рядом експериментів було показано, що електричний струм може надавати хімічну, теплову, магнітну та електродинамічну дії. Таке різноманіття спонукало М. Фарадея висловити думку, що полягає в тому, що різні форми, в яких виявляються сили матерії, мають спільне походження, тобто можуть перетворюватися одна на одну. Ця думка, за своєю сутністю, передбачає закон збереження енергії. Перші роботи з встановлення кількісного зв'язку між виконаною роботою і теплотою, що виділилася, були проведені Саді Карно. У 1824 році їм була опублікована невелика брошура «Роздуми про рушійну силу вогню і про машини, здатні розвивати цю силу». Кількісний доказ закону було дано Джеймсом Джоулем у низці класичних дослідів. Результати яких були викладені на фізико-математичній секції Британської асоціації в його роботі 1843 року «Про тепловий ефект магнітоелектрики та механічне значення тепла». Першим усвідомив та сформулював загальність закону збереження енергії німецький лікар Роберт Майєр. Формулювання у точних термінах закону збереження енергії першим дав Герман Гельмгольц. Закон збереження енергії - основний закон природи, який полягає в тому, що енергія замкнутої системи зберігається в часі. Іншими словами, енергія не може виникнути з нічого і не може нікуди зникнути, вона може тільки переходити з однієї форми в іншу. Оскільки закон збереження енергії відноситься не до конкретних величин і явищ, а відображає загальну, застосовну скрізь і завжди закономірність, то правильніше називати його не законом, а принципом збереження енергії. Частковий випадок Закон збереження механічної енергії механічна енергія консервативної механічної системи зберігається у часі. Простіше кажучи, за відсутності диссипативних сил (наприклад сил тертя) механічна енергія не виникає з нічого і не може нікуди зникнути.

6 Вічний двигун Існує безліч міфів про вічні двигуни, але, незважаючи на численні спроби, нікому не вдавалося побудувати вічний двигун, що робить корисну роботу без дії ззовні. Ось деякі моделі вічних двигунів: Ланцюжок куль на трикутній призмі «Пташка Хоттабича» Ланцюжок поплавців

7 Архімедів гвинт і водяне колесо Магніт та жолоби Вчені почали здогадуватися, що вічний двигун збудувати не можна. У 19 столітті було побудовано науку термодинаміка. Однією з основ термодинаміки став закон збереження енергії, який був узагальнення багатьох експериментальних фактів. Термодинаміку можна використовувати для опису роботи ряду механізмів, наприклад двигунів внутрішнього згоряння або холодильних установок. Якщо відомо, як і за яких умов працює механізм, можна розрахувати, скільки він проведе. У 1918 році Емма Нетер довела важливу теорему для теоретичної фізики, згідно з якою в системі, що володіє симетріями, з'являються величини, що зберігаються. Збереженню енергії відповідає однорідність часу. Як слід розуміти «однорідність часу»? Нехай у нас є якийсь пристрій. Якщо я його вмикаю сьогодні, завтра або через багато років, і воно працює щоразу однаково, то для такої системи час однорідний, і в ній працюватиме закон збереження енергії. На жаль, шкільних знань замало, щоб довести теорему Нетер. Але доказ математично суворий, і зв'язок між однорідністю перебігу часу та збереженням енергії однозначний. Спроба побудувати вічний двигун, що працює скільки завгодно довго, це спроба обдурити природу. Така сама безглузда, як і спроба подолати 1000 кілометрів за 10 хвилин на автомобілі зі швидкістю 100 км/год (пам'ятаєте формулу s = vt?).

8 Що ж виходить, енергія завжди зберігається? Чи не встановили фізики межу пізнання зі своїм законом збереження енергії? Звичайно, ні! У випадку, якщо в системі немає однорідності часу, енергія не зберігається. Прикладом такої системи є Всесвіт. Відомо, що Всесвіт розширюється. Сьогодні вона не така, як у минулому, і у майбутньому зміниться. Таким чином, у Всесвіті немає однорідності часу, і для неї закон збереження енергії не застосовується. Більше того, енергія всього Всесвіту не зберігається. Чи дають такі приклади відсутності збереження енергії надію на побудову вічного двигуна? На жаль, не дають. На земних масштабах розширення Всесвіту абсолютно непомітно, і Землі закон збереження енергії виконується з величезною точністю. Отак фізика пояснює неможливість побудови вічних двигунів. Під час виконання цієї роботи ми натрапили на відео в інтернеті. Воно називається "Вічний двигун". На ньому показана нескладна конструкція з картону, яка не припиняючи крутилася. Ми з'ясували, що це одна із найдавніших конструкцій вічного двигуна. Вона представляє зубчасте колесо, в поглибленнях якого прикріплені вантажі, що відкидаються на шарнірах. Геометрія зубів така, що вантажі в лівій частині колеса завжди виявляються ближчими до осі, ніж у правій. За задумом автора, це, відповідно до закону важеля, мало б приводити колесо в постійне обертання. При обертанні вантажі відкидалися б праворуч і зберігали рушійне зусилля.

9 Однак, якщо таке колесо виготовити, воно залишиться нерухомим. Причина цього факту полягає в тому, що хоча праворуч вантажі мають довший важіль, зліва їх більше за кількістю. В результаті моменти сил праворуч і ліворуч виявляються рівними. Ми зробили таку саму картонну конструкцію і переконалися, що вона справді не працює.

10 Практична частина

11 Отже, тепер ми знаємо, що таке маятник Максвелла і на чому ґрунтується його робота. Ми вирішили виготовити різні маятники, щоб з'ясувати, від чого залежить їхня робота. Щоб дізнатися, як залежить робота маятника від нитки, ми виготовили два однакових маятника з нитками, різними за товщиною: У маятника з товстою ниткою T(період час, за який маятник рухається зверху вниз і назад) = 2.6с У маятника з тонкою ниткою T = 2.65с Висновок: робота маятника залежить від товщини нитки. Також нитки розрізнялися по довжині: l = 46см, T = 2.5с l = 92см, T = 4.6с Збільшивши довжину нитки вдвічі, період теж збільшився приблизно вдвічі. Висновок: період пропорційний довжині нитки.

12 Щоб дізнатися чи залежить робота маятника від стрижня, ми виготовили два однакових маятника зі стрижнями, різними за товщиною: У маятника, товщина стрижня якого = 1см, T = 2.5с У маятника, товщина стрижня якого = 1.5см, T = 2с Висновок: що тонший стрижень маятника, то більше вписувалося період.

13 Так само стрижні розрізнялися по довжині: l=11см, T=2,5с l=6см, T=2,5с Висновок: Робота маятника залежить від довжини стрижня. Щоб дізнатися, як залежить робота маятника від диска, ми виготовили два однакових маятника, з різними дисками по ширині:

14 У маятника ширина якого = 1 мм, T = 4,5с У маятника, ширина диска якого = 12мм, T = 5с У 12 разів збільшивши ширину, період збільшився незначно. Висновок: Ширина диска не сильно впливає роботу маятника. Також диски розрізнялися за масою:

15 m велика, T = 5.2с m маленька, T = 5с Різниця мас двох маятників була досить великою, а період майже не змінився. Висновок: Маса диска дуже мало впливає роботу маятника. Також диски мали різний радіус:

16 R=6, T = 5с R=4, T = 3.5с Ми зменшили R на 13 і період теж зменшився приблизно на 13. Висновок: Період пропорційний радіусу. Щоб розрахувати механічну енергію маятника, треба знайти його потенційну та кінетичну енергію з яких вона складається. Потенційна енергія маятника вважається за формулою: Eп=mgh Де m(маса маятника) = 0,054кг g(прискорення вільного падіння) = 9,81м/с2 h(висота на яку опускається маятник) = 0,21м Eп=0,055 9,81 0 ,21 = 0,113 Дж Кінетична енергія маятника знаходиться за формулою: Eк = mv22 + Jω22 = mv22 + Jv22r2 = mv22 (1 + jmr2) Де ω = vr кутова швидкість маятника; r(радіус стрижня маятника) = 0,0003м; v (швидкість опускання центру мас маятника) = 2ht = 2 0,212,6 = 0,16 м / с; t(час опускання маятника) = 2,6с J момент інерції маятника, що знаходиться за формулою: J= mr2 ga-1 = mr2 gt22h- 1

17 Де a = 2ht2 - прискорення поступального руху центру мас маятника J = 0,055 0,0003 0,0003 9,81 2,6 2,62 0,21-1 = 0 Тепер ми можемо порахувати кінетичну енергію маятника: Eк = 0,05 ,16 0,055 0,003 0,003 = 0, 11Дж Тепер легко порахувати механічну енергію нашого маятника: Eм = Eп + Eк Eм = 0,113 +0,11 = 0,223Дж Висновок У своїй роботі ми докладно розповіли про закон збереження енергії та маятник. Ми дізналися, як на роботу маятника впливають усі його складові. Ми відповіли на всі запитання, які виникали у нас на цю тему.

Маятник Максвелла. Визначення моменту інерції тел. та перевірка закону збереження енергії

Транскрипт

1 Лабораторна робота 9 Маятник Максвелла. Визначення моменту інерції тіл ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ Маятник Максвелла є диском, закріпленим на горизонтальній осі і підвішеним біфілярним способом. На диск надягають кільця для того, щоб можна було змінювати масу, і, отже, момент інерції маятника. Рис. 1. Схема лабораторної установки Маятник утримується у верхньому положенні електромагнітом. При вимкненні електромагніту маятник Максвелла, обертаючись навколо горизонтальної осі, опускається вертикально вниз із прискоренням. У цьому виконується закон збереження енергії, тобто. потенційна енергія піднятого маятника переходить у кінетичну енергію поступального та обертального руху. 1 з

2 mv mgh (1) m m 0 m mk маса маятника Максвелла; m 0 маса осі маятника; m маса диска; m k маса кільця. Отримане вираз можна використовувати визначення моменту інерції маятника. Таким чином, за допомогою маятника Максвелла можна вирішити дві експериментальні задачі: 1. Здійснити перевірку закону збереження енергії в механіці; Визначити момент інерції маятника. ПРИЛАДИ І ПРИЛАДДЯ Маятник максвелла, секундомір, вимірювальна лінійка на вертикальній колонці, електромагніт, штангенциркуль. КОРОТКА ТЕОРІЯ Визначення моменту інерції маятника З рівняння (1) визначимо момент інерції маятника. Для цього висловимо величини v і через висоту підйому маятника. Вважаючи поступальний рух маятника донизу рівноприскореним з початковою швидкістю v 0. З рівняння кінематики: at h ; h v, t v a; v r t h () rt r радіус осі диска. з

3 Тоді, підставляючи отримані значення v і вираз (1), отримаємо: mgh 4m h 4 h (3) t r t Отриманий вираз перетворимо щодо моменту інерції: gt mr 1 або h md gt експер 1 (4) h D D 0 DH ; D 0 діаметр осі диска; D H діаметр нитки. Вираз (4) є робочою формулою експериментального визначення моменту інерції маятника. Теоретичне значення моменту інерції маятника Максвелла є сумою моментів інерції: 1. Момент інерції осі маятника 1 0 m0d0, (5) m 0 і D 0 маса і зовнішній діаметр осі маятника.. Момент інерції диска 1 m D0 D, (6) m і D маса та зовнішній діаметр диска. 3 з

4 3. Момент інерції кільця k 1 mk D Dk, (7) m k та D k маса та зовнішній діаметр кільця. Запишемо цю суму: теор 0 k теор 1 m0d 0 1 m 1 D D m D D 0 k k () Вираз () є робочою формулою визначення теоретичного значення моменту інерції маятника Максвелла. Перевірка закону збереження енергії Закон збереження енергії: повна механічна енергія замкнутої системи тіл, між якими діють лише консервативні сили, залишається постійною. W W K W П const Потенційна енергія піднятого маятника дорівнює: W П mgh, (9) m m 0 m mk маса маятника. Кінетична енергія маятника складається з кінетичної енергії поступального руху та кінетичної енергії обертального руху: 4 з

5 W K mv (10) Після заміни значень v та з рівнянь () отримаємо h t 4 m D0 W K (11) m m 0 m mk маса маятника. Якщо не враховувати тертя та опір середовища, то величини w і W K повинні бути однакові. Розрахунок відносної та абсолютної похибок шуканих величин Послідовно логарифмуючи та диференціюючи вираз (4), отримаємо формулу для розрахунку відносної похибки при вимірюванні моменту інерції: D0 ht (1) D ht 0 Абсолютну похибку вимірювання моменту інерції визначимо за формулою: П оцінити отримані результати на даній експериментальній установці, необхідно порівняти експериментальне експер та теоретичне теор значення моменту інерції маятника. Похибки визначення моменту інерції виразиться так:

6 теор експер 100% (14) теор Похибка при визначенні енергії обчислюється за формулою: WП WK W 100% (15) W ХІД РОБОТИ П 1. Виміряти штангенциркулем діаметри диска, кільця, осі маятника, нитки. Нижній кронштейн приладу нижньому положенні. 3. Відрегулювати довжину нитки таким чином, щоб край сталевого кільця, закріпленого на диску, після опускання маятника знаходився на мм нижче оптичної осі нижнього фотоелемента. 4. Відкоригувати вісь маятника так, щоб вона була паралельно до основи приладу. 5. Віджати клавішу «ПУСК» та «СКИДАННЯ». 6. На вісь маятника намотати нитку підвіски та зафіксувати маятник за допомогою електромагніту. Перевірити чи збігається нижній край кільця з нулем шкали на колонці. Якщо ні, відрегулювати. 7. Натиснути клавішу ПУСК. Записати значення часу падіння маятника і повторити замір часу 5 разів з одним і тим же кільцем на диску. Визначити середнє значення часу падіння. 6 з

7 . За шкалою на вертикальній колонці приладу визначити висоту падіння маятника, позначаючи по нижньому краю кільця верхнє та нижнє положення маятника. 9. Використовуючи формули (4, 9, 11), здійснити розрахунки моменту інерції та енергії маятника експер, теор, W П, W K. Обчислення в даній роботі рекомендується виконувати за допомогою Microsoft Office Excel або інших програм для роботи з електронними таблицями 10 Розрахувати похибки визначення моменту інерції та значень енергії W за допомогою формул (1, 13, 14, 15), використовуючи середні значення 11. Зробіть висновок. експер, теор, W K, W П. Таблиця h, м t, з m k, кг експер, кг м теор, кг м W П, Дж W K, Дж Середнє значення 7 з

8 КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ 1. Що називається моментом інерції тіла? Момент інерції це міра інертності тіла у обертовому русі. Поясніть сенс цього виразу. 3. Чому дорівнює момент інерції диска? 4. Запишіть формулу визначення моменту інерції кільця? 5. Чому дорівнює момент інерції тонкостінного циліндра? 6. Виведіть формулу експериментального значення моменту інерції маятника Максвелла. 7. Сформулюйте закон збереження механічної енергії. Дайте визначення потенційної енергії. 9. Дайте поняття кінетичної енергії. 10. Який вигляд має закон збереження енергії для маятника Максвелла? з

фіз / маятник максвела 4-5

Міністерство освіти та науки Російської ФедераціїДержавне освітній закладвищого

«УФІМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ НАФТОВИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

ЗАКОНИ ЗБЕРІГАННЯ У МЕХАНІЦІ.

Навчально-методичний посібник до лабораторної роботи з механіки

Навчально-методичний посібник призначений для студентів усіх форм навчання. Містить короткі відомості з теорії та опису порядку виконання лабораторної роботи з розділу "Механіка".

Упорядники: Лейберт Б.М., доц., канд.техн.наук Шестакова Р.Г., доц., канд.хім.наук

Гусманова Г.М., доц., канд.хім.наук

Уфімський державний нафтовий технічний університет, 2010

Мета роботи: визначення моменту інерції маятника Максвелла із застосуванням закону збереження енергії.

Прилади та приладдя: Маятник Максвелла, штангенциркуль.

При вивченні обертального руху замість поняття "маса" користуються поняттям "момент інерції". Моментом інерції матеріальної точки щодо якоїсь осі обертання називається величина, рівна добутку маси i-їточки на квадрат відстані від цієї точки до осі обертання

Тверде тіло є сукупність n матеріальних точок, тому його момент інерції щодо осі обертання дорівнює

У разі безперервного розподілу мас ця сума зводиться до інтегралу

де інтегрування ведеться з усього обсягу тіла.

Відповідно до (3) отримані моменти інерції тіл будь-якої форми. Наприклад, момент інерції однорідного циліндра (диска) щодо осі циліндра дорівнює

де R - радіус циліндра, внутрішнім радіусом R 1 дорівнює

m – його маса, а момент інерції порожнього циліндра з зовнішнім радіусом R 2 щодо осі циліндра

I 1 m R 1 2 R 2 2 .

З визначення моменту інерції

слід, що момент інерції твер-

Дого тіла - адитивна величина. Адді-

тивність моменту інерції означає, що

момент інерції системи тіл дорівнює сум-

ме моментів інерції всіх тіл,

чих у систему. Як приклад оп-

ределимо момент інерції маятника Максвелла, який складається з трьох елементів.

тов: осі, ролика та кільця (рис. 1). Вісь – суцільний циліндр, для якого

Кільце та ролик – порожнисті циліндри, для яких

m K D K 2 D P 2

m P D P 2 D 0 2 .

Згідно властивості адитивності, момент інерції маятника Максвелла дорівнює сумі моментів інерції осі, ролика та кільця.

Тут m 0 , m р, m до, D 0 , D р, D к - відповідно маси та зовнішні діаметри осі ролика та кільця.

Визначимо момент інерції маятника Максвелла експериментально з урахуванням закону збереження енергії (рис. 2). Маятник Мак-Свелла являє собою диск, вісь якого підвішена на двох нитках, що накручуються на неї. Закрутивши маятник, ми

тим самим піднімаємо його на висоту h над початковим становищем та повідомляємо йому потенційну енергію

Надаємо маятнику рухатися під дією сили тяжіння. При розкручуванні нитки маятник одночасно здійснює обертальний та поступальний рух. Дійшовши до нижнього положення, маятник знову почне підніматися вгору з тією початковою швидкістю, яку він досяг у нижній точці. Якщо знехтувати силами тертя, то на основі за-

кона збереження механічної енергії потенційна енергія маятника Максвелла перетворюється в нижній точці на кінетичну енергію поступального та обертального рухів

mgh mV 2 I 2 , 2 2

де V - швидкість поступального руху центру мас маятника; - кутова швидкість обертального руху;

I – момент інерції маятника щодо осі обертання. Використовуючи зв'язок між лінійною та кутовою швидкістю

де r - радіус осі маятника, знайдемо з (10)

Повернення товару в роздріб 1з82 Питання: Як відобразити повернення товарів при оформленні операцій роздрібної торгівліу "1С:Бухгалтерії 8" (ред. 3.0)? Дата публікації 21.06.2016 Використано реліз 3.0.43 Продаж товарів у роздрібній торгівлі Для оформлення документа на повернення товарів від роздрібного покупця в […]
Відповідальна особа керівника не має права підпису цього документа 1с Питання: Де можна заповнити список підстав на право підпису документів у "1С:Бухгалтерії 8" (ред. 3.0)? Дата публікації 11.08.2016 Використано реліз 3.0.43 Як встановити відповідальних осіб за ведення регістрів бухгалтерського та [...]
Закон розбір слова за складом ФЕДЕРАЛЬНИЙ, -а, -а. 1. Те саме, що федеративний. Пропозиції зі словом "федеральний": Регулювання значної кількості земельних відносинвіднесено до рівня федерального закону. Такі органи федеральної виконавчої владинемає права займатися управлінням […]
Правила гри в Техаський Холдем У «техаському покері», або як правильніше говорити - «Техаському Холдемі», як втім і у всіх інших різновидах покеру, перш ніж почнеться роздача карт, два гравці після дилера (BU) повинні поставити примусові ставки (блайнди) . Розглянемо приклад покерної роздачі в […]
Як спілкуватися з турфірмами Ми продовжуємо публікацію серії матеріалів, у сезон відпусток корисних для кожного відпочиваючого. У поданому матеріалі - коротка інформаціяпро те, як забезпечити свою юридичну (а часом - і не тільки!) безпеку при складанні та підписанні численних паперів, що оформлюють […]
Закон є закон / La legge è legge (1958) Назва: Закон є закон Назва зарубіжна: La legge è legge Країна: Італія, Франція Режисер: Крістіан-Жак У ролях: Фернандель, Тото, Рене Женен, Анрі Аріюс, Альбер Дінан, Наталі Неваль , Ніно Безоцці, Льода Глорія, Ганна Марія ЛючаніРолі дублювали: […]
Союз та в складному реченніправило Складносурядна пропозиція Між простими пропозиціями, що входять до складу складного, ставиться кома: Настав ранок, і всі розійшлися по будинках. Кома не ставиться, якщо з'єднані спілками пропозиції мають спільні другорядний член, ввідне слово, порівняльний […]
Правила знімання: Теорія бабника / The Jerk Theory (2009) Назва: Правила знімання: Теорія бабніка Назва зарубіжна: The Jerk Theory Країна: США Режисер: Скотт С. Андерсон У ролях: Джош Хендерсон, Дженна Дуан-Татум, Лорен Сторм, Лорен Сторм, , Ентоні Гескінс, Абрахам Тейлор, Джесі Твісс, Денні […]

Федеральний державний автономний освітній заклад

вищої професійної освіти

«Далекосхідний федеральний університет»

Школа природничих наук

МАЯТНИК МАКСВЕЛЛА
Навчально-методичний посібник

до лабораторної роботи №1.10

1. Основні поняття обертального руху твердого тіла .

Під твердим тілом у механіці розуміється модель абсолютно твердого тіла - Тіла, деформаціями якого в умовах даного завдання можна знехтувати. Таке тіло можна як систему жорстко закріплених матеріальних точок. Будь-який складний рух твердого тіла завжди можна розкласти на два основні види руху - поступальний та обертальний.

Поступальним рухом твердого тіла називається рух, при якому будь-яка пряма, проведена через будь-які дві точки тіла, залишається паралельною до себе у весь час (рис.1). При такому русі всі точки твердого тіла рухаються абсолютно однаково, тобто мають ту саму швидкість, прискорення, траєкторії руху, здійснюють однакові переміщення і проходять однаковий шлях. Отже, поступальний рух твердого тіла можна як рух матеріальної точки. Такою точкою може бути, зокрема, центр мас (центр інерції) тіла. Під центром мас тіла розуміється точка застосування результуючої масових сил, що діють на тіло. Масові сили – це сили, пропорційні масам елементів тіла, куди ці сили діють, за умови що сили, що діють всі елементи тіла, паралельні одне одному.

де - сума всіх внутрішніх сил, що діють на елементарну масу Δm i (всього таких сил буде i-1, оскільки сама на себе частка діяти не може), а сума всіх зовнішніх сил, що діють на елементарну масу Δm i з боку інших тіл. Просумувавши рівняння (1) по всьому тілу та враховуючи , що сума всіх внутрішніх сил згідно з третім законом Ньютона дорівнює нулю, отримаємо закон динаміки поступального руху твердого тіла:

де - що результує всіх зовнішніх сил, що діють на тіло в цілому, - імпульс (кількість руху) тіла. Отримане рівняння (3) поступального руху тверде тіло збігається з рівнянням динаміки матеріальної точки.

обертальним рухом твердого тіла називається рух, при якому всі точки тіла описують кола, центри яких лежать на одній і тій же прямій, що називається віссю обертання тіла. При обертальному русі всі точки тіла рухаються з однією і тією ж кутовою швидкістю та кутовим прискоренням і здійснюють однакові кутові переміщення. Однак, як показує досвід, при обертальному русі твердого тіла навколо закріпленої осі маса вже не є мірою його інертності, а сила недостатня для характеристики зовнішнього впливу. Також з досвіду випливає, що прискорення при обертальному русі залежить як від маси тіла, а й її розподілу щодо осі обертання; залежить не тільки від сили, а й від точки її застосування та напрямки дії. Тому для опису обертального руху твердого тіла введені нові характеристики, такі як момент сили, момент імпульсу та момент інерції тіла . При цьому, слід мати на увазі, що існує два різні поняття цих величин: щодо осі та відносно будь-якої точки (полюса, початку), взятої на цій осі.

Моментом сили щодо нерухомої точки Проназивається векторна величина, що дорівнює векторному твору радіус-вектора , проведеного з точки О в точку докладання результуючої сили , на вектор цієї сили:

Вектор моменту сили завжди перпендикулярний площині, в якій розташовані вектори і , а його напрямок щодо цієї площини визначається за правилом векторного твору або за правилом буравчика. Відповідно до правила буравчика: якщо рукоятку буравчика обертати за напрямом дії сили, то поступальний рух буравчика збігатиметься з напрямком вектора моменту сили (рис.2). Вектори, напрямок яких пов'язують із напрямком обертання (кутова швидкість, кутове прискорення, момент сили, момент імпульсу тощо), називають псевдовекторами або аксіальними вна відміну від звичайних векторів (швидкість, радіус-вектор, прискорення тощо), які називають полярними .

Величинавектор моменту сили (чисельне значення моменту сили) визначається згідно з формулою векторного твору (4), тобто. , де a -
4

кут між напрямками векторів та . Розмір p= r·Sinα називається плечем сили (рис.2). Плече сили р - це найкоротша відстань від точки О до лінії дії сили.

Моментом сили щодо осі , називається проекція на цю вісь вектора моменту сили, знайденого щодо будь-якої точки, що належить цій осі. Зрозуміло, що щодо осі момент сили є скалярною величиною.

У системі СІ момент сили вимірюється Нм.

Моментом імпульсу матеріальної точки Δ m i щодо нерухомої точки О називається векторний добуток радіус-вектора , проведеного з точки О в точку Δm i на вектор імпульсу цієї матеріальної точки:

де – імпульс матеріальної точки.

Моментом імпульсу твердого тіла (або механічної системи) щодо нерухомої точки називається вектор , рівний геометричній сумі моментів імпульсу щодо цієї точки Про всіх матеріальних точок даного тіла, тобто. .

Моментом імпульсу твердого тіла щодо осі називається проекція на цю вісь вектора моменту імпульсу тіла щодо будь-якої точки, вибраної на цій осі. Очевидно, у разі момент імпульсу є скалярної величиною. В системі СІ момент імпульсу вимірюється в

Моментом інерції тіла щодо осі обертання називається фізична величина рівна сумі творів мас матеріальних точок, на які можна розбити все тіло, на квадрати відстаней кожної з них до осі обертання:

де -Момент інерції матеріальної точки.

Моментом інерції тіла щодо точки, що лежить на осі, називається скалярна величина, що дорівнює сумі творів маси кожної матеріальної точки даного тіла на квадрат її відстані до точки О. Розрахункова формула моменту інерції аналогічна формулі (6).

У системі СІ момент інерції вимірюється кгм 2 .

2. Основний закон динаміки обертального руху твердого тіла .

Кожна з матеріальних точок, що входять у це тверде тіло, буде рухатися по колу в площині, перпендикулярній осі обертання, а центри всіх цих кіл будуть лежати на цій осі. Зрозуміло, що всі точки тіла в даний час мають однакову кутову швидкість і однакове кутове прискорення. Розглянемо i-матеріальну точку, маса якої Δm i , а радіус кола, по якому вона рухається, r i . На неї діють як зовнішні сили з боку інших тіл, так і внутрішні - з боку інших матеріальних точок, що належать цьому тілу. Розкладемо результуючу силу , що діє на матеріальну точку маси Δm i на дві взаємно перпендикулярні складові сили , причому так, щоб вектор сили збігався у напрямку з дотичної до траєкторії руху частинки, а сила - перпендикулярна до цієї дотичної (Рис.3). Цілком очевидно, що обертання цієї матеріальної точки обумовлено лише дотичної складової сили, величину якої можна у вигляді суми внутрішньої та зовнішньої сил. В цьому випадку для точки Δm i другий закон Ньютона в скалярному вигляді матиме вигляд

(7)

. (8)

. (9)

, (10)

ції ΔI i щодо цієї ж осі (=ΔI i), то рівняння обертального движ-

ня матеріальної точки щодо осі набуде вигляду:

Сумарний момент внутрішніх сил дорівнює нулю, тому що кожна внутрішня сила, згідно з третім законом Ньютона, має рівну за величиною, але протилежно спрямовану собі силу, прикладену до іншої матеріальної точки тіла, з таким самим плечем. Сумарний момент = М - є крутний момент всіх зовнішніх сил, що діють на тіло, що обертається. Сума моментів інерції = визначає момент інерції даного тіла щодо осі обертання. Після підстановки зазначених величин рівняння (12) остаточно отримаємо:

Рівняння (13) називається основним рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла щодо осі. Оскільки =, а момент інерції тіла щодо цієї осі обертання є постійною величиною і, отже, його можна внести під знак диференціала, то рівняння (13) можна записати у вигляді:

Величина

називається моментом імпульсу тіла щодо осі. З урахуванням (15) рівняння (14) можна записати у вигляді:

(13 *); (14 *); (15 *); (16 *).

dL=Mdt (17); (17 *).

Відповідно до рівняння моментів щодо осі (17) – зміна моменту імпульсу

(M=0, отже і dL=0) момент імпульсу цього тіла щодо осі його обертання залишається постійною величиною (L=Const).

Слід зазначити, що й система відліку, щодо якої розглядається обертання тіла, є неінерційною , то момент сили М включає як момент сил взаємодії, і момент сил інерції щодо тієї ж осі

або точки.

3 . Опис установки. Виведення робочої формули.

Рис.4. Лабораторне встановлення.

Для отримання робочої формули розглянемо сили, які діють маятник Максвелла (рис.5).

m= m+2, де прискорення центру мас маятника,

m= mg – 2T (19)

Якщо немає прослизання між, після простих перетворень, отримаємо формулу для розрахунку моменту інерції I у вигляді:

Оскільки величини I, m і r, що входять у рівняння (24), у процесі руху не змінюються, рух маятника має відбуватися з постійним прискоренням. Для такого руху відстань h, пройдене за час t, при русі з початковою нульовою швидкістю дорівнює . Звідки. Підставивши знайдене прискорення рівняння (24) і замінивши величину радіуса осі маятника r на її діаметр D, остаточно отримаємо основну робочу формулу для розрахунку моменту інерції маятника:

У робочій формулі (25):

m – маса маятника, що дорівнює сумі мас диска m д, та осі m про;

D – зовнішній діаметр осі маятника разом із намотаною на неї ниткою підвіски

(D = D 0 + d o , де D o – діаметр осі маятника, d o – діаметр нитки підвіски);

t - час проходження маятником відстані h у разі його падіння;

g – прискорення вільного падіння.

Порядок виконання роботи.

Регулюючи довжину ниток регулювальними гвинтами 6, встановіть горизонтальне положення стрижня (осі), на якому закріплено колесо маятника Максвелла.
Встановіть світловий бар'єр 8 так, щоб під час руху маятника Максвелла стрижень (вісь маятника) вільно проходив через світловий бар'єр.
Вимірювальною лінійкою 3 визначте відстань h, яку переміститься під час руху центр мас колеса Максвелла.

10

товщину нитки d o .

За даними таблиці:

а) використовуючи формулу (25) визначити середнє значення моменту інерції колеса маятника Максвелла, знайти похибку та відносну помилку результату;

в) за даними таблиці h i і t i побудувати графік залежності відстані, пройденого точкою центру мас колеса Максвелла за вертикального руху вниз, від часу.

Таблиця D = (D o + d o) = ... ... м

№ пп	h i , м	t i , з	I i , кг·м 2	ΔI i , кг·м 2	(ΔI i) 2	а i , мс -2	(Δ а i ,)	(Δ а i ,) 2
1.
2.
………
…….
7.