§3. Нескінченні та односторонні похідні. Поняття похідної функції у точці. Односторонні та нескінченні похідні Односторонні та нескінченні похідні приклади

Нехай функція f (x) = y визначена в околиці точки x 0 .

Визначення 8.1. Похідної функції f у точці x 0 називається число, що позначається , рівне межі відношення збільшення функції в цій точці до збільшення аргументу ∆x при прагненні ∆x до нуля, якщо ця межа існує:

або, якщо позначити , то при і

Визначення 8.2. Функція, що має кінцеву похідну в точці х 0 називається диференційованої в цій точці.

Визначення 8.3. Якщо в точках 0 функція f (x) безперервна, а межа (8.1) дорівнює нескінченності (+∞ або −∞) , то говорять про нескінченну похідну.

Визначення 8.4. Межі

називаються правосторонньою та лівосторонньою похідною, відповідно.

Для існування похідної необхідно і достатньо, щоб існували обидві односторонні похідні і вони були рівними один одному:

Похідна позначається й іншими способами, наприклад:

Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до плоскої кривої. Кут між кривими.

На кривій f (x) y оберемо дві різні точки М 0 і М 1 (рис.8.1) і через них проведемо єдину пряму l, яка називається січею до графіка. Використовуючи рівняння прямої, що проходить через дві задані точки і яке має вигляд , отримаємо рівняння сіючої

Порівнюючи рівняння (8.4) з рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом, укладаємо, що кутовий коефіцієнт k січної l має вигляд

Тоді і рівняння січної (8.4) перейде до рівняння дотичної:

Таким чином, похідна функції f(x) = y, обчислена у точці х= х 0 є кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції f(x) = y у точці

У цьому полягає геометричний сенс похідної.

Визначення 8.6. Пряма, перпендикулярна до дотичної у точці М 0 називається нормаллю до кривої f(x) = y у точці М 0 .

З умови k 1 k 2 =− 1 перпендикулярності прямих укладаємо, що кутовий коефіцієнт н нормалі виражається через кутовий коефіцієнт k кас дотичної за формулою Отже, рівняння нормалі до кривої f(x) = y у точці М 0 має вигляд

Визначення 8.7. Нехай дві криві f(x)=y та g(x)=y перетинаються в точці тобто. Кутом між заданими кривими називається кут між дотичними до кривих, проведеним у точці їх перетину:

Док-во: x=siny

Y / = 1_ = 1____ =1________

x / y cosy cos(arcsinx)

= 1___________ = 1___

√1-sin 2 *arccosx √1-x 2

38. Похідна зворотної функції. (з доказом)

Нехай функція y=f(x) (1), задана на множині х (велика), а у – безліч її можливих значень тоді кожному х€ Х ставиться у відповідність єдине значення у€У з іншого боку кожному у€У відповідатиме одне або кілька значень х€ Х. У випадку, коли кожному у€ відповідає лише одне значення х€ Х, для якого f(x)=у на множині У можна визначити функцію х=g(y) (2) безліччю значень якого є безліч х. Функцію (2) називають зворотною стосовно першої. Функції (1) та (2) – взаємозворотні функції.

Позначають зворотну функцію x = (y).

T.1: Якщо функцію y=f(x) визначено суворо монотонно і безперервно на відрізку , то зворотну функцію х= (y) визначено суворо монотонно і безперервно на відрізку [А,В], де А= f(а), В = f(b). Сувора монотонність: для будь-яких точок , € х< ( >) виконується нерівність f() f(, ))

Т.2: Нехай функція у = f(x) задовольняє умовам теореми про існування зворотної функції і в точці має кінцеву похідну f'() 0, тоді функція х = g (y) точці так само має кінцеву похідну рівну .

Доказ: Надамо збільшення у≠0, тоді функція х=g(y) отримає збільшення х≠0. Вочевидь, що = .

Визначення . Форма еліпса визначається характеристикою, яка є відношенням фокусної відстані до більшої осі та називається ексцентриситетом. е = с/a.Т.к. з< a, то е < 1.

З еліпсом пов'язані дві прямі, звані директрисами.Їхні рівняння: x = a/e; x = -a/e.

Визначення 1. Кажуть, що функція має у точці x 0 нескінченну похідну, якщо

При цьому пишуть
або
.

приклад 1.
,
:

II Односторонні похідні

Визначення 2. Права
та ліва
похідні функції
у точці x 0 визначаються рівностями:

і
.

Із загальних теорем про межі можна отримати таку теорему.

Теорема 1. Функція
має в точці x 0 похідну тоді і лише тоді, коли вона має в цій точці рівні один одному односторонні похідні.

приклад 2. Для функції
знайти праву та ліву похідну в нулі.

Так як
, то
не існує.

Наступна теорема дозволяє у деяких випадках спростити обчислення односторонніх похідних.

Теорема 2. Нехай функція
має в інтервалі
кінцеву похідну
, причому, існує (кінцевий чи ні)
. Тоді в точці x 0 існує права похідна та
.

Аналогічне твердження має місце і для лівої похідної.

У §2була обчислена похідна функції
для
:
. Результат прикладу 1 (
) за допомогою теореми 2 виходить моментально:

Аналогічно виходить і
. Збіг односторонніх похідних означає, що і
.

Зауваження. Якщо у функції
існують кінцеві, не рівні один одному похідні
і
, то графік функції мають не збігаються права і ліва дотичні в точці
. Така точка графіки називається кутовий. Якщо ж похідна (хоча б одностороння) дорівнює + або
, це означає, що з графіка є вертикальна дотична.

§4. Диференційованість функції

Визначення. Говорять, що функція
диференційована в точці x 0 , якщо її збільшення можна подати у вигляді

де A- деяке число, що не залежить від
.

Теорема 1. Для того, щоб функція
, була диференційованою в точці x 0 необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці кінцеву похідну.

Доведення. Необхідність.Нехай
диференційована. Розділимо обидві частини рівності (1) на
:

Переходячи до межі при
, отримаємо

тобто. у точці x 0 існує похідна і вона дорівнює A:
.

Достатність. Нехай існує кінцева похідна
.

Тоді
і, отже,

У цьому співвідношенні неважко побачити рівність (1). Теорему доведено.

Таким чином, для функції однієї змінної диференційованість та існування кінцевої похідної – поняття рівносильні.

називають формулою нескінченно малих прирощень.

Між поняттями диференційності та безперервності існує зв'язок, що встановлюється наступною теоремою.

Теорема 2. Якщо функція
диференційована в точці x 0 то вона і безперервна в цій точці.

Справді, з формули (1) випливає, що
, а це є одне з визначень безперервності.

Природно виникає питання, чи справедливе твердження, зворотне теоремі 2, тобто. "Безперервна функція диференційована". На це питання слід дати негативну відповідь: існують функції, безперервні в деякій точці, але не диференційовані в цій точці. Прикладом може бути функція з прикладу 2 §3:
. Вона безперервна в нулі, але
не існує.

Наведемо ще один приклад такої функції.

приклад 1.

Ця функція – неелементарна, можлива точка розриву
(У цій точці один елементарний вираз змінюється інше). Але

отже,
безперервна в точці
. Знайдемо похідну функції в нулі (за визначенням!):

Але нам уже відомо, що коли аргумент синуса прагне , синус межі не має. Отже,
немає, тобто.
недиференційована на нулі.

Зазначимо, що математиками побудовані приклади функцій, безперервних на певному проміжку, але не мають похідної в жодній точці цього проміжку.